八年级数学鸡兔同笼教案 北师大版.doc

鸡兔同笼
●教学目标
(一)教学知识点
1.会用二元一次方程组解决实际问题.
2.在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界.
(二)能力训练要求
1.在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程解决现实问题的意识和应用能力.
2.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，进一步提高解方程组的技能.
(三)情感与价值观要求
1.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养应用数学的意识.
2.在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣.
●教学重点
1.让学生经历和体验到方程组解决实际问题的过程.
2.进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力.
●教学难点
用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程.
●教学方法
自主发现法.
学生在教师的启发引导下通过对具体实际的问题分解，组织学生自主交流，探索去发现列方程建模的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学的意识.
●教具准备
投影片一张：鸡兔同笼(记作§7.3 A).
●教学过程
Ⅰ.提出问题，激发兴趣
［师］我们本章的开头就介绍过“鸡兔同笼”的问题，这节课我们接着用方程来解决此问题，看结果如何？
Ⅱ.讲授新课
出示投影片(§7.3 A)
1.今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
(1)“上有三十五头”“下有九十四足”如何解释？
(2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗？
(3)你能解决这样的问题吗？
2.有2元，5元，10元人民币共50张，合计305元，其中2元的张数与5元的张数相同，三种人民币各有多少张？
(1)这个问题和上面的“鸡兔同笼”问题有联系吗？
(2)你准备设几个未知数？
(3)你能根据题目中的已知量、未知量及它们之间的关系列出方程组吗？
(4)你能解决这样的问题吗？
［师］就上面的问题，我们先分组讨论.
(学生在讨论时，教师可参与到学生的讨论，听学生的想法，以便能及时了解学生的思路)
［师生共析］1.(1)“上有三十五头”是指“鸡和兔共有35只.即“鸡的只数+兔的只数=35只”.“下有九十四足”是指鸡的腿与兔子的腿的和为94条.即“鸡的腿+兔子的腿=94”.
(2)根据(1)中的数量关系，我们可以设鸡有x只，兔有y只，可得x+y=35 ①，2x+4y=94 ②,把①和②联立方程组，得
① ②

(3)解法一：由①得y=35－x ③
把③代入②中，得2x+4(35－x)=94
解得x=23
把x=23代入①，得y=12.
所以原方程组的解为
解法二：②－①×2，得
2y=24
y=12
把y=12代入①，得x=23
所以原方程组的解为
答：鸡有23只，兔子有12只.
和这一章最开始引言中用算术方法和一元一次方程的方法来解“鸡免同笼”的问题来比较，用列二元一次方程组来解决此题会更直观，更容易理解.
2.(1)这个问题类似于“鸡兔同笼”的问题.因为它也是将“2元，5元，10元”的人民币混合在了一起，只知道总共有多少张，合起来共多少元，求2元，5元，10元的人民币各有多少张？
(2)在这个题目中，设两个未知数也可以；设三个未知数也可以.我们先来看设两个未知数的情况.由于2元和5元的张数相同，我们可以各设有x张，10元的张数有y张.
(3)根据题目中的已知条件可找到两个等量关系即：2元的张数+5元的张数+10元的张数=50张，2元的总面值+5元的总面值+10元的总面值=305元，于是我们根据(1)中的未知数列出二元一次方程组：
① ②

(4)用代入消元法和加减消元法都可解决.可由同学们板演完成.
解法一：由①得y=50－2x ③
把③代入②，得x=15
把x=15代入③，得y=20
所以原方程组的解为
解法二：①×10－②，得
x=15
把x=15代入①，得y=20
所以原方程组的解为
答：2元和5元的人民币各有15张，10元的人民币有20张.
［议一议］如果2、(2)中设有三个未知数，即如果设2元的人民币有x张，5元的人民币y张，10元的人民币z张，如何列出方程组，解上述问题呢？
［生］我们在设未知数时，没有利用2元的人民币和5元的人民币张数相等这个条件，因此列出的方程就多出一个，再加上我们刚才的两个相等关系，列出的是一个三元一次方程组即由x=y ①，x+y+z=50 ②，2x+5y+10z=305 ③，组成的三元一次方程组.
［师］我们没有详细地讲过三元一次方程组的解法，但我们借鉴二元一次方程组的基本思路——消元，可以解答这个三元一次方程组.下面我们一同来解方程组
① ② ③

我们可以将①代入②和③，得二元一次方程组

解这个二元一次方程组，得

把y=15代入①得x=15
所以方程组的解为
［生］老师，看来解方程组未知数出了并不可怕，关键是掌握解方程组的基本思路——消元.
［师］的确如此.我们学会了解方程组可以解决许多问题.下面我们再来看一下例子.估计大家小学的时候见过.
［例1］以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
谁来给大家解释一下题意.
［生］老师，我试一下.这个题目的大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子三折即折成三等份，则一份绳子的长度比井多五尺；如果将绳子四折即折成四等份，则一份绳子的长度比井深多一尺.绳长、井深各是多少尺？
［师］这位同学解释得很棒.接下来我们就将此问题转化成数学模型方程组来解决它.首先我们可以从题目中找到相等关系.你知道相等关系蕴含在哪两句话里?你能用含文字的等式表示出来吗?
［生］可以.我认为相等关系蕴含在“将绳三折测之，绳多五尺”和“若将绳四折测之，绳多一尺”.这两句话中，用等式表示出来为：
绳长÷3－井深=5 ①
绳长÷4－井深=1 ②
［生］老师，我认为相等关系也在这两句话中，但我用下面的等式表示：
绳长－3×井深=5×3 ③
绳长－4×井深=1×4 ④
［师］很好.我们现在设出未知数，设绳长为x尺，井深为y尺，根据①、②得方程组为：

根据③、④得方程组：

我们观察这两个方程组虽然形式上不同，但我们将第一个方程组中的方程化简，整理便可得出第二个方程组.因此这两个方程组是“同工异曲”的效果.下面我们在练习本上解出方程组的解，你可以任意选其中之一.
(然后让两位学生黑板上板演，教师讲评)
解法一：设绳长x尺，井深y尺，则
① ②

①－②，得=4,
=4
x=48
将x=48代入①，得y=11
答：绳长48尺，井深11尺.
解法二：设绳子长x尺，井深y尺，则
③ ④

由③－④，得y=11
把y=11代入④，得x=48
答：绳长48尺，井深11尺.
［师生共析］我们在列方程组解决实际问题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程(组)，建模过程就可完成，因此我们说解决实际问题的建模过程非常重要.
Ⅲ.随堂练习
课本P199.
① ②
1.解：设每头牛值“金”x两，每只羊值“金”y两，则
由①×2－②×5，得y=.
把y=代入②，得x=.
所以，每头牛值“金”两，每头羊值“金”两.
2.解：设甲带钱x，乙带钱y，
① ②
则
由①×2－②，得x=37
把x=37代入①，得y=25
所以甲带钱37，乙带钱25.
Ⅳ.课时小结
本节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程，体会到方程组是刻画现实世界的有效模型，从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.
Ⅴ.课后作业
1.课本P199习题7.4.
2.收集资料：算经+书(网址：www.CBE)的数学史料，以一组为单位办1份数学史料手抄报.
Ⅵ.活动与探究
如图，在一个正方体的顶点处填上1~9的数码中的8个，每一个顶点只填一个数码.使得正方体每个面上的四个顶点所填数码之和均为18，那么未被填上的数码是什么？
过程：如果用1~9中的每一个数去试，过程会很繁.根据题意，我们可以利用方程这个数学模型，使问题简单化.

结果：设未被填上的数为x，根据题意，可得：
(1+2+…+9－x)÷2=18
得45－x=36
x=9
所以未被填上的数是9.
●板书设计
§7.3 鸡兔同笼
一、鸡兔同笼
解：设鸡兔各有x只、y只，
根据题意，得：

(由学生板演解方程组的过程)
二、例题讲解
例1(课本P198)
三、随堂练习
(由学生板演)