资源描述
反比例函数
第1课时
★新课标要求
一、知识与技能
1．理解并掌握反比例函数的概念．
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式．
二、过程与方法
1．经历抽象反比例函数概念的过程，体会函数的模型思想，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识．
2．经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点．
三、情感、态度与价值观
1．从现实情境抽象反比例函数概念，体会数学学习的重要性，提高学生的学习数学的兴趣．
2．通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神．
★教学重点
理解和领会反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式．
★教学难点
理解和领会反比例函数的概念．
★教学方法
1．注意新旧知识的衔接，渗透类比的数学思想．
2．分组讨论、交流学习成果．
★教学过程
一、引入新课
教师活动：每年的“春节联欢晚会”都是在中央电视台一号演播大厅摄制的，在欣赏明星们的表演时，你是否注意到舞台上那五光十色、变化万千的灯光呢？一会儿阳光灿烂，一会儿星光闪烁，一会儿电闪雷鸣……，你知道这种声光效果是怎样产生的吗？原来这种效果是通过改变电阻来控制电流变化来实现的，当电流较小时，灯光较暗；当电流较大时，灯光较亮．你知道电压一定时，电流和电阻之间是什么关系吗？这节课我们将来学习这种新型的关系——反比例函数关系．
二、进行新课
1．反比例函数的概念
学生活动：自学课本开始“观察与思考”中的内容．先在小组内合作交流,再进行全班性的问答或交流．学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数．
思考：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数解析式表示？这些函数有什么共同点？
（1）京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化；
（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长度y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化；
（3）已知北京市的总面积为1．68×104平方千米，人均占有的土地面积S（单位：平方千米/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化．
教师活动：鼓励学生积极主动地合作交流．
学生活动：分析并解答出“思考”中的问题：
（1），其中v是自变量，t是v的函数；
（2），其中x是自变量，y是x的函数；
（3），其中n是自变量，S是n的函数；
上面的函数关系式，都具有的形式，其中k是常数．
总结出概念：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零．
教师活动：强调指出反比例函数（k≠0）还可以写成（k≠0）或xy＝k（k≠0）的形式．
教师活动：展示例1（补充例）：
例1 下列等式，哪些是反比例函数？
（1）； （2）； （3）xy＝21； （4）； （5）；
（6）； （7）y＝x－4．
教师活动：分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（k为常数，k≠0）的形式．
学生活动：回答判断的结果．
师生共同评定．
教师活动：出示例2（补充例）：
例2 当m取什么值时，函数是反比例函数？
学生活动：一生分析：反比例函数（k≠0）的另一种表达式是（k≠0），后一种写法中x的次数是－1，因此m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝
－1．
学生活动：求出m的值，小组内交流．
教师活动：注意不要遗漏k≠0这一条件，也要防止出现3－m2＝1的错误．
2．利用待定系数法求反比例函数的解析式
教师活动：出示例3．
例3 已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6．
（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）求当x=4时y的值．
学生活动：独立思考，然后小组合作交流．
教师活动：巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导．
三、课堂练习
四、课堂总结、点评
反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解．在概念的形成过程中，从感性认识到理性认识一旦建立概念，即已摆脱其原型成为数学对象．反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象．
第二课时
★新课标要求
一、知识与技能
1．会用描点法画反比例函数的图象．
2．探索并理解反比例函数的性质．
二、过程与方法
1．经历探索反比例函数图象的过程，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．
2．运用类比和数形结合的数学思想方法观察、猜测、归纳总结出反比例函数的性质．
三、情感、态度与价值观
1．由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣．
2．认识类比的数学思想方法和数形结合的思想方法在数学学习中的广泛应用．
★教学重点
理解并掌握反比例函数的图象和性质．
★教学难点
反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析．
★教学方法
鼓励学生自主学习，通过自己动手画图观察、猜测、归纳结论．
★教学过程
一、引入新课
教师活动：我们已经知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，那么你猜测反比例函数y=（k0）的图象是什么样的呢？
学生活动：猜测、交流．
二、进行新课
1．反比例函数的图象
教师活动：出示自学指导：①用“描点”法画反比例函数图象时应怎样取点？
②反比例函数y＝中，x、y的取值能是0吗？函数图象与x轴、y轴有交点吗？
③反比例函数的两个分支能连在一起吗？
④反比例函数图象的名称是什么？
学生活动：对照自学指导，自学例2和反比例函数性质．
教师活动：出示例2．
例2 画出反比例函数与的图象．
学生活动：讨论、交流，用描点法画函数图象．
教师活动：强调：（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值；
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确；
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线；
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
2．反比例函数的性质
学生活动：观察自己所画的反比例函数的图象，探索反比例函数的性质，并与同桌交流．
学生活动：归纳总结反比例函数的性质：
①反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．
②当k＞0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
③当k＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
教师活动：出示例题（补充例）已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？
学生活动：分析并求解：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即（k≠0）自变量x的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k＜0，则m－1＜0，不要忽视这个条件．
三、课堂练习
四、课堂总结、点评
1．用描点法画反比例函数的图象．需要注意的是：在y=（k≠0）中，由于x≠0，同时y≠0，因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴．
2．对照反比例函数的图象归纳理解反比例函数的性质．需要提醒的是：反比例函数的图象在哪个象限由k决定，且y值随x值变化只能在“每一个象限内”研究．
第三课时
★新课标要求
一、知识与技能
1．会用待定系数法求反比例函数的解析式．
2．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质．
3．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题．
二、过程与方法
1．经历求解函数解析式的过程，领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法．
2．经历独立思考和与同伴讨论交流等过程，提高分析问题、解决问题和语言表达能力．
三、情感、态度与价值观
1．培养学生勇于探索，勤于思考的精神．
2．加强学生团队及合作精神．
3．和同伴讨论交流，分享成功的喜悦，增强学习的自信心．
★教学重点
理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题．
★教学难点
学会利用图象分析、解决问题．
★教学方法
教师引导学生自主学习，通过分组探讨、小组内合作交流及独立思考获取知识．
★教学过程
一、引入新课
教师活动：老师在黑板上写了这样一道题：“已知点（2，5）在反比例函数y=的图象上，试判断点（-5，-2）是否也在此图象上．”题中的“？”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数．
学生活动：解答此题目，并和同伴交流、与同学们分享成功的喜悦．
二、进行新课
1．求反比例函数的解析式
教师活动：出示例3．
例3 已知反比例函数的图象经过点（2，6）．
（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？
（2）点，，是否在这个函数的图象上？
学生活动：读题、理解题意，独立完成此题目，小组内交流解题过程．
教师活动：解释本题的出题意图：理解点在图象上的含义，掌握如何用待定系数法去求解析式；通过函数解析式分析图象及性质，由“数”到“形”，体会数形结合思想，加深对反比例函数图象和性质的理解．
2．反比例函数的图象和性质的应用
教师活动：出示例4．
例4 下图是反比例函数的图象的一支．根据图象回答下列问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？、
（2）在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么b和有怎样的大小关系？
学生活动：读题、理解题意，独立完成此题目，小组内交流解题结果．
教师活动：解释本题的出题意图：已知函数图象求解析式中的未知系数，并由双曲线的变化趋势分析函数值y随x的变化情况，此过程是由“形”到“数”，目的是为了提高从函数图象中获取信息的能力，加深对函数图象及性质的理解．
教师活动：出示补充例：若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数（k＜0）图象上，则a、b、c的大小关系怎样？
学生活动：读题，分析题意，思考解题思路．
教师帮助学生分析：由k＜0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，因为A、B在第二象限，且－1＞－2，故b＞a＞0；又C在第四象限，则c＜0，所以b＞a＞0＞c．
教师活动：强调指出：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时y随x的增大而增大，就会误认为3最大，则c最大，出现错误．
教师活动：此题还可以画草图，比较a、b、c的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用．
三、课堂练习
四、课堂总结、点评
反比例函数的性质及运用：
（1）k的符号决定图象所在象限．
（2）在每一象限内，y随x的变化情况，在不同象限，不能运用此性质．
第四课时
★新课标要求
一、知识与技能
1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题．
2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力．
二、过程与方法
1．经历分析实际变量之间的关系，将实际问题抽象成数学问题的过程，提高学生观察、分析问题和建立反比例函数模型的能力．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感、态度与价值观
1．在丰富的数学活动中，经过创新思维，体会观察生活与数学的紧密联系，增强学习过程中的探索意识和解决问题的能力．
2．积极参与交流，并积极发表意见，体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
3．增强学生克服困难和战胜困难的自信心．
★教学重点
掌握从实际问题中建构反比例函数模型．
★教学难点
从实际问题中寻找变量之间的关系，建立函数模型．
★教学方法
渗透数形结合的数学思想，加强同学之间的合作交流．
★教学过程
一、引入新课
教师活动：寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区．你能解释一下小明这样做的道理吗？
学生活动：讨论交流，提高求知欲和浓厚的学习兴趣．
二、进行新课
1．从实际问题中建构反比例函数模型
教师活动：出示例1．
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．
（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？
（2）公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下掘进多深？
当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为了15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要（精确到0.01m2）？
学生活动：先认真读题、充分理解题意、独立思考，然后小组内合作交流．
教师活动：深入学生的讨论中，鼓励学生积极主动的阐述自己的见解．
通过本例题教师应引导学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系．而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题．
教师活动：出示例2．
例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装卸货物，装载完毕正好用了8天时间．
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
学生活动：先认真读题、充分理解题意、独立思考，然后小组内合作交流．
教师活动：鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系．
师生共同完成本题的求解过程．
三、课堂总结、点评
本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？可以是什么？逐步形成考查实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．
第五课时
★新课标要求
一、知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用物理杠杆和电学中知识、反比例函数的知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间关系的过程，提高分析和解决实际问题的能力．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感、态度与价值观
1．主动参与交流，并积极发表意见培养学生的合作意识和团队精神．
2．体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
3．注重数学在其它学科中的应用，熟悉数学知识与其它学科知识间的内在联系，提高数学的综合运用能力．
★教学重点
掌握从物理问题中建构反比例函数模型．
★教学难点
分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题.
★教学方法
鼓励学生积极思考和讨论交流，在探讨的过程中获取知识、掌握解题的方法、技巧．
★教学过程
一、引入新课
教师活动：1．小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢？其原理是什么？
2．台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？
学生活动：学生讨论、交流，提高学习兴趣．
二、进行新课
利用反比例函数解决物理中的问题．
教师活动：在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用．我们来看下面的例子．
教师活动：出示例3．
例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米．
（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？
（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
学生活动：认真审题、独立思考寻找解题的途径．
学生活动：写出“杠杆定律”：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．
教师活动：引导学生揭示“杠杆平衡”与“反比例函数”之间的关系．
师生共同完成此解题过程．
教师活动：从此题的结论，你能得到什么启示？
学生活动：积极思考，总结出：根据反比例函数的性质，当k＞O时，在第一象限F随l的增大而减小，即动力臂越长越省力．
教师活动：古希腊科学家阿基米德说“给我一个支点，我可以把地球撬动．”就是这个道理.
教师活动：出示例４．
例4 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆．已知电压为220伏，这个用电器的电路图如下图所示．
（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？
（2）这个用电器输出功率的范围多大？
学生活动：认真审题、独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用．
学生活动：小组讨论后，独立完成此解题过程．
教师活动：巡视，帮助学有困难的学生．
教师活动：利用反比例函数可以解决实际生活中的很多问题，大大地方便了我们的生活．
三、课堂练习
四、课堂总结、点评
反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础．用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系．
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