九年级数学上册 第4章 一元二次方程 4.6 一元二次方程根与系数的关系教案2（新版）青岛版-（新版）青岛版初中九年级上册数学教案.doc

一元二次方程根与系数的关系
教学目标：
1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。
2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。
3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。
教学重点：根与系数的关系的推导、运用。
教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。
教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。
教学过程：
一、复习
1、一元二次方程的一般式？
（板书） ，
2、一元二次方程有实数根的条件是什么？（
3、由的符号 ，即△＞0，△=0，△＜0 判定一元二次方程的根的情况如何？反过来，若方程有两个不相等的实数根，说明△怎么样等？
4、一元二次方程的求根公式

二、问题情境，导入新课：
解下列方程，并填写表格：

方 程

+

观察上面的表格，你能得到什么结论？
（1）关于x的方程的两根，与系数p，q之间有什么关系？
（2）关于x的方程的两根，与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
二、探究新知：
1、根与系数关系：
（1）关于x的方程的两根，与系数p，q的关系是：
， 。
引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？
（2）形如的方程，如果，两根为，，引导学生利用上面的结论猜想，与各项系数A.B.c之间有何关系。
然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程
∵
∴
∴，
对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。
证明：∵，当时根为：

设，，则
∴

学生思考、归纳并回答下列问题：
（1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？
（2）运用根与系数的关系要注意些什么？（根与系数关系使用的前提是：
a.是一元二次方程，即。
b.方程为一般形式。即形如：。
c.判别式大于等于零，即。）

三、应用举例
例1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
例2、已知方程的一个根是－3，求另一根及k的值。
先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示：

从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？
例3、已知的两个实数根，求的值。
分析：因为是原方程的两个实数根，故都满足原方程，将代入原方程可得，
而，利用根与系数的关系可知，从而可求的值。

若一元二次方程-4 x+2=0的两根是、，求下列各式的值：
（1）+ （2）+
（提示：整体代入）

四、巩固练习：
1、已知方程的两根互为相反数，求k的值。

2、已知关于x的方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值。

3、备选题：关于x的方程两实数根的平方和等于11，求k的值。

五、归纳小结：今天我们学习了一元二次方程根与系数的关系，刚才通过填空题我们小结了一下，知道这两个关系我们可以用来求两根和、两根积，而且可以验算所求的根是否正确，更重要的是利用韦达定理可以简捷地解决许多有关一元二次方程的问题。
六、达标检测：
1、若方程的两个根为，，则，的值是_____________。
2、已知是方程的两个实数根，则的值为____________。
3、若方程的两根为，，则的值为_______________ 。
4、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值。