九年级数学二次函数全章教案 苏科版.doc

九年级数学二次函数全章教案
2.1 二次函数所描述的关系
一、由实际问题探索二次函数
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．毛
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产量
y=(100+z)(600—5x)=-5x2+100x+60000．
二、想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多?
我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试．
x/棵

y/个

三．做一做
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．
四、二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)
注意：定义中只要求二次项系数不为零，一次项系数、常数项可以为零。

例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2，圆面积s与半径r的关系s=Try2等也都是二次函数的例子．
随堂练习
1.下列函数中(x,t是自变量)，哪些是二次函数?
y=-+3x²．y=x²-x³+25,y=2²+2x,s=1+t+5t²
2．圆的半径是l㎝，假设半径增加x㎝时，圆的面积增加y㎝²．
(1)写出y与x之间的关系表达式；
(2)当圆的半径分别增加lcm、㎝、2㎝时，圆的面积增加多少?
五、课时小结
1．经历探索和表示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义 及一般形式。
2．用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多。
六、活动与探究
若是二次函数，求m的值.
七、作业
习题2.1
1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系是：h=4.9t²， 填 表表示物体在前5s下落的高度：
t/s
1
2
3
4
5
h/m

⒉某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m。
（1）长方体的长和宽用x(m)表示，长方体需要涂漆的表面积S(㎡)如何表示？
(2)如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需要费用用y(元)表示，那么y的表达式是什么？
§2.1 二次函数所描述的关系

一、教学目标
（一） 知识与能力：1.探索并归纳二次函数的定义；2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
（二） 过程与方法：1.经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的关系；2.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
（三） 情感态度与价值观：把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
（四） 教学重点：经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验；能够表示简单变量之间的二次函数关系.
（五） 教学难点：用二次函数表示变量之间关系.
二、教学设计
（一） 复习引入
回忆学过的函数类型－一次函数（正比例函数）、反比例函数、三角函数；函数定义－在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.本节课我们将开始学习初中阶段的最后一个函数二次函数.
（二） 新课
1、由实际问题探索二次函数
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产量
y＝(100+x)(600—5x)＝-5x2+100x+60000．
提出问题：判断上式中的y是否是x的函数？若是，与我们前面所学的函数相同吗？
（根据函数的定义，y是x的函数，从形式上看不同于我们所学函数，猜测是二次函数）
2、想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多?
我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试．
x/棵
8
9
10
11
12
y/个
60480
60495
60500
60495
60480
从表格中发现：增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多.
3、做一做
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)：
.
如果考虑利息税，那么.
4、二次函数的定义
一般地，形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.
注意：定义中只要求二次项系数a不为零（必须存在二次项），一次项系数b、常数项c可以为零。最简单形式的二次函数－
例如，y＝-5x2+100x+60000和y＝100x2+200x+100都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系，圆面积s与半径r的关系等也都是二次函数的例子．
（三）随堂练习 P36 1、2
（四）小结
1.二次函数的一般形式：；
2．用尝试求值的方法探索函数的最大值.
（五）作业 习题2.1
（六）教学反思.毛

2．2 结识抛物线

一、函数y=x2的图象．
在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么?你想直观地了解它的性质吗?
先作二次函数y=x2的图象．毛
(1)观察y= x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：
x

y

(2)在直角坐标系中描点．
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象．
二、议一议
对于二次函数y=x2的图象，
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．
(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?
(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?
(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?
(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．
三、二次函数y=x²的图象的性质
（1）抛物线的开口向上；
（2）它的图象有最低点，最低点的坐标是（0，0）；
（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴。在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）；
（5）因为图像有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，
四.
四边四边形四做一做
二次函数的图象y=-x²是什么形状?先想一想,然后作出它的图象.它与二次函数y=x²的图象有什么关系?与同伴交流。
五．课时小结
1． 作二次函数y=x2的图象
2．作二次函数y=-x2的图象
3．函数y=x²与y=-x²的图象的比较
六．作业
1．说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形状。
2．设正方形的边长为a，面积为s，试作出S随a的变化而变化的图象。

结识抛物线教学设计
河北省鹿泉市上庄镇中学 刘敬川
义务教育课程标准试验教科书  九年级 下册  P38----P41
教材与学生现实分析：
1、本节课要使学生明了y=ax2的图象是抛物线，这是研究一般二次函数图象的基础，通过列表及画图，使学生理解y=ax2的性质。
2、本节课一开始直接给学生出示y=x2，并作图及观察性质，这样，让学生能通过运用过去的知识经验去发现新知识，解决新知识，从而实现由掌握到迁移运用的过程。
3、通过本节课的议一议，做一做，练一练等知识的加深，真正让学生自己通过探究，有所收获，并进一步提高学生的观察、交流、概括、总结及表达的能力，而且更进一步让学生体会到数、形的转化。
一、教学目标
1、经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。
2、能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质。
3、能够作出二次函数y=-x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。
二、 教学重点
会画y=ax2的图象，理解其性质。
三、 教学难点
描点法画y=ax2的图象，体会数与形的相互联系。
四、 教学过程
（一）创设情景
在研究一种函数时，它的图象和性质对我们来说非常重要。今天我们就来结识二次函数的图象。请同学们自己先试着画出二次函数y=x2的图象。

（设计说明：学生们过去已熟知了画函数图象的方法：①列表、②描点、③连线。因此在这一问题上教师不作过多提示，完全把这跳一跳，摸得着的问题完全交给学生。）
让学生板书：出现的问题让学生去找出，纠正；教师用“z+z”加以验证，并帮助学生给二次函数图象命名，“二次函数的图象称为抛物线。”
（二）议一议：
请同学们观察y=x2的图象的性质，然后分组探讨。
（设计说明：在此问题上，教师没有按课本上的问题一一叠列给学生，而是尽量充分发挥学生的观察能力；再者学生已研究过正比例函数、一次函数、反比例函数，已经积累了一定的研究函数图象的方法和能力，积累了研究函数图象要“研究什么”的经验，有了一定“模式”，即：
① 图象形状：抛物线（由教师给出）
② 与x、y轴交点；
③ y随x的增减性；
④ 图象的对称性。及系数与图象的关系。
请每组的学生代表一一发表自己的观察结果，（在此过程中，教师不能作裁判，把评判权交给学生，注意培养学生语言的规范化、条理化。）然后按课本的问题加以总结和整理。（作到有放有收）
（三）做一做：
教师问：二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有了什么变化？（设计说明：主要以小组讨论完成，其间可找一小组用“z+z”将y=x2 与y=-x2的图象放在一个坐标系内，并发表自己的意见。在语言问题上，为了规范化，教师要给以纠正。）（如：开口方向，开口大小等语言）完成二次函数y=ax2中系数a的变化，引出图象一些性质的变化。
（四）练一练：
若正方形的边长为a，面积为s，试求出面积s与边长a的关系式，并画出图象。(设计说明：在实际应用的问题上，教师先不要进行过多的提醒，让学生进一步体会自变量“x”的取值范围的特殊性。)
学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，辨证出图象只在第一象限存在。
（五）反思评价：
1、 我们通过观察总结得出二次函数y=ax2的图象的一些性质：①、图象——“抛物线”是轴对称图形；
②、与x、y轴交点——（0，0）即原点；
③、a的绝对值越大抛物线开口越大，a﹥0，开口向上，
当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）
当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）
    a﹤0，开口向下，
当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）
当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）
（2）今天我们通过观察收获不小，其实只要我们在日常生活中勤与观察，勤与思考，你会发现知识无处不在，美无处不在。
（六）作业：
完成读一读和课后习题第1题。

§2.2 结识抛物线

一、教学目标
（一）知识与能力：能够利用描点法作出函数的图象，并根据图象认识和理解二次函数的性质；比较两者的异同.
（二）过程与方法：经历探索二次函数图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.
（三）情感态度与价值观：通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.
（四）教学重点：能够利用描点法作出函数的图象，并根据图象认识和理解二次函数的性质；比较两者的异同.
（五）教学难点：借助函数图象研究函数性质.
二、教学设计
（一） 复习引入
我们在学习了正比例函数、一次函数、反比例函数的定义后，都借助图像研究了它们的性质.而上节课我们所学的二次函数的图象是什么呢？本节课我们将从最简单的二次函数y=x2入手去研究.
（二） 新课
1.作函数y=x2的图象
回顾作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
(1)观察y= x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：（图象是未知的，所以应根据自变量的取值，x为任何实数，选取一些有代表性、方便计算的x值，如：几个负整数、0、几个正整数）
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=x2
9
4
1
0
1
4
9
(2)在直角坐标系中描点．（按x的值从小到大，从左到右描点）
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象．（能用直线连接吗？）
2.议一议
对于二次函数y=x2的图象，
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．
(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?
(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?
(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?
(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．
分析并总结：二次函数y=x2的图象是抛物线.
（1）抛物线的开口向上；
（2）它的图象有最低点，最低点的坐标是（0，0）；
（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴。在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）；
（5）因为图像有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，y最小＝0.

3.做一做
二次函数的图象y=-x²是什么形状?先想一想,然后作出它的图象.它与二次函数y=x²的图象有什么关系?与同伴交流。
分析并总结：二次函数y=-x2的图象是抛物线.
（1）抛物线的开口向下；
（2）它的图象有最高点，最高点的坐标是（0，0）；
（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴。在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小。
（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）；
（5）因为图像有最高点，所以函数有最大值，当x=0时，y最大＝0.

（三）小结
函数y=x2与y=-x2的图象的比较：
表达式
开口
对称轴
顶点
最值
y随x的变化情况

y=x2
向上
y轴
x=0
（0，0）
当x＝0，
y最小＝0

y=-x2
向下
当x＝0，
y最大＝0

联系
抛物线形状相同，开口方向不同，都关于y轴对称，有共同的顶点；二者关于x轴对称.
（四）作业 P41 习题2.2.毛

2.3 刹车距离与二次函数
一. 刹车距离与二次函数
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗?汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关?
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式 确定;雨天行驶时，这一公式为 ．
二．比较与的图象
图2-4是的图象，在同一直角坐标系中作出的图象(先想一想，在公式s=中，u可以取任何值吗?为什么?)．
1.完成下表：

2.在图2—4中作出的图象．
3.回答下列问题：
(1) 和的图象有什么相同与不同?
(2)如果行车速度是60km／h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米?你是怎么知道的?
总结：
相同点：
（1）它们都是抛物线的一部分；
（2）二者都位于y轴的左侧。
（3）函数值都随y值的增大而增大。
不同点：
（1）的图像在的图象的内侧。
（2）的s比中的S增长速度快.

三．做一做
作二次函数y=2x2的图象．
(1)完成下表：
x

Y=2x²

(2)作出y=2x2的图象．
(3)二次函数y=x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
四．议一议
(1)二次函数y=2x²+1的图象与二次函数y=2x²的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
(2)二次函数y=3x²一l的图象与二次函数y=3x²的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
五．课堂练习
画出函数与的图象，并比较它们的性质。
六．课时小结
⒈巩固了画函数图象的步骤；
⒉学习了刹车距离与二次函数的关系；
⒊比较了几类函数的图象的性质
习题2.3
1.二次函数的y=-3x²图象与二次函数y=3x²的图像有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，作草图看一看，二次函数与呢？
2. 二次函数的y=-3x²+ 图象与二次函数y=-3x²的图像有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，作草图看一看，二次函数-3与呢？

2.4.函数y=ax2+bx+c的图象（一）
一．比较y=与 y=的图象
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2，因此我们先作二次函数y=3(x-1)2的图象．
⑴完成下表，并比较3x2和3(x-1)2的值，它们之间有什么关系?
x

(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3(x-1)2的图象．你是怎样作的?
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(4)x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
二.做一做
在上面的坐标系中作出二次函数y= =的图象。它与二次函数y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数的图像， ， +2 都是抛物线，并且性状相同，只是位置不同，将函数的图象向右平移1个单位，就得到函数的图像；再向上平移2个单位，就得到函数+2的图象
三．议一议
(1)二次函数y= 的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数)y= 的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗? 它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(3)对于二次函数y=，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?二次函数y=+4呢?
总结：
一般地，y=ax²的图象便可得到二次函数的图象．因此，二次函数的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h,k的值有关。
填写下表，并与同伴进行交流．

开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0

a<0

五．随堂练习
1．指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(1) （2）
六．课时小结：
本节课进一步探究了函数与的图象的关系，对称轴和顶点坐标。
七．作业
习题2.4
1． 指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时作草图进行验证：
（1）； （2）；
（3）； （4）
（5）； （6）
2.图2--7的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x²+0．9x+10表示，而且左右两条抛物线关手y轴对称．

Y/m

10

桥面 5 - x/m

图2--7
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流。
一般地，对于二次函数y=ax²+bx+c，我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
例 求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
解：把y=ax²+bx+c的右边配方，得

因此，二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点是（，）。
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．
随堂练习
1．根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) (2) ；
(3)； （4）
习题2.5
1.确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）.
2.当一枚火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式表示，经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
试一试
1．你知道图2—7中右面钢缆的表达式是什么吗?

§2．5 用三种方式表示二次函数
课时安排
6课时
从容说课
本节课学习用三种方式表示二次函数，即表格、表达式、图象表示法．其实这三种方式我们都不陌生，在前面的几节课中已经学过．在本节课中不仅要求会用表格、表达式、图象等多种方法表示二次函数，还要使学生体会函数的各种表示方法之间的联系和特点．同时发展有条理地思考和语言表达能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．
在教学中，教师要真正起到引导的作用．在教师的引导下，让学生独立完成，然后经过
互相交流，总结得出结果，使学生在轻松的环境中完成本节内容的学习．
第六课时
课 题
§2．5 用三种方式表示二次函数
教学目标
(一)教学知识点
1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．
3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．
(二)能力训练要求
1．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力．
2．通过对二次函数的三种表示方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维．
(三)情感与价值观要求
1．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史
发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣．
2．初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．
教学重点
能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
教学难点
能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
教学方法
讨论式学习法．
教具准备
投影片四张
第一张：(记作§2．5 A)
第二张：(记作§2．5 B)
第三张：(记作§2．5 C)
第四张：(记作§2．5 D)
教学过程
Ⅰ. 创设问题情境，引入新课
[师]函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广告牌上这样写着：一种豆子的售价与购买数量之间的关系如下：
x(千克)
0
0．5
1
1．5
2
2．5
3
y(元)
0
1
2
3
4
5
6
这是售货员为了便于计价，常常制作这种表示售价与数量关系的表，即用表格表示函数．用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好?
Ⅱ．新课讲解
一、试一试
投影片；(§2．5 A)
长方形的周长为20 cm，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．y随x变化而变化的规律是什么?你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗?
(1)用函数表达式表示：y= .
(2)用表格表示：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10-x

y

(3)用图象表示：
[师]请大家互相交流．
[生](1)一边长为x cm，则另一边长为(10-x)cm，所以面积为：

y＝x(10-x)=-x2+10x
(2)表中第二行从左至
右依次填9、8、7、6、5、
4、3、2、1；第三行从左至
右依次填9、16、21、24、25、
24、21、16、9.
(3)图象如右图．
[师]大家可能注意到了函数的图象在第一象限．可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢?
[生]因为自变量的取值只取到了1至9，而这些点正好都在第一象限，所以图象只能画在第一象限．
[师]大家同意这种说法吗?
[生]不同意．不是因为列表中自变量的取值的原因，而是由于实际情况．函数值y是面积，而面积是不能为负值的．如果脱离了实际问题，单纯地画函数y=-x2+10x的图象，就不是在第一象限作图象了．
[师]非常棒．
二、议一议
投影片：(§2．5 B)
(1)在上述问题中，自变量x的取值范围是什么?
(2)当x取何值时，长方形的面积最大?它的最大面积是多少?你是怎样得到的?请你描述一下y随x的变化而变化的情况．
[师]自变量x的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围．请大家互相交流．
[生](1)因为x是边长，所以x应取正数，即x>0，又另一边长(10-x)也应大于0，即10-x>0，所以x<10，这两个条件应该同时满足，所以x的取值范围是0<x<10．
(2)当x取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y＝-x2+10x化成顶点式．当x＝-时，函数y有最大值.
∴y=-x2+10x=-x2+10x=-(x2-10x)
=-(x2-10x+25-25)
=-(x-5)2+25．
∴当x=5时，长方形的面积最大，最大面积是25 cm2．
可以通过观察图象得知．
也可以代入顶点坐标公式中求得．
当x=-=5时，
y最大==25cm2.
当x由1至5逐渐增大时，y的值逐渐增大，当x由5至10逐渐增大时，y的值逐渐减小。
[师]回答得棒极了．
这是一个实际问题，面积y为边长x的二次函数，求当x取何值时，长方形的面积最大．实际上就是求二次函数的最值，描述y随x的变化而变化的情况，就是以对称轴为分界线，一边为y随x的增大而减小，另一边是y随x的增大而增大．
三、做一做
投影片：(§2．5 C)
两个数相差2，设其中较大的一个数为x，那么它们的积y是如何随x的变化而变化的?你能分别用函数表示式、表格和图象表示这种变化吗?
1．用函数表达式表示：y＝ .
2．用表格表示：
x

y

3．用图象表示：
4．根据以上三种表示方式问答下列问题：
(1)白变量x的取值范围是什么?
(2)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(3)如何描述y随x的变化而变化的情况?
(4)你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的?
[师]请大家互相交流．
[生]解：1．因为较大的一个数为x，那么较小的数为(x-2)，则积y=x(x-2)＝x2-2x所以函数的表达式为y＝x2-2x．
2.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
15
8
3
0
-1
0
3
8
15

3．图象如右图．
4．(1)因为数可以
是正数、负数和零，所
以x的取值范围为任何
实数．
(2)y=x2-2x=(x2-2x
+1)-1＝(x-1)2-1．
因此图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1．-1)．
(3)因为开口向上，对称轴x=1，所以在对称轴左侧．即x<1时，y的值随x值的增大而减小；在对称轴右侧，即x>1时，y的值随x值的增大而增大．
(4)通过观察图象可知．
四、议一议
二次函数的三种表示方式有什么特点?它们之间有什么联系?与同伴进行交流．
[生]表格可以直观地找到对应点，图象就是把一对一对的对应点连接起来的，表达式反映出函数与自变量之间的关系．
它们之间的联系是：根据表达式可以求得一对一对的对应点，用光滑的曲线把对应点连接起来即为图象．
[师]很好．下面我们来更系统地学习它们各自的特点及联系．
投影片：(§2．5 D)
函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系．这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不同的需要．
它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方式表示．
Ⅲ：课堂练习
1．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第6个图形中应该有多少个小圆圈?为什么?

(2)完成下表：
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
小圆圈的总数

(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?
解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此第6个图形应该有21个小圆圈．
(2)从左至右应填1，3，6．10，15．
(3)m=.
Ⅳ．课时小结
本节课我们经历了用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会了三种方式之间的联系与各自不同的特点．根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行了研究．如最值问题和y随x的变化而变化等问题．
Ⅴ．课后作业
习题2．6
Ⅵ. 活动与探究
2．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个圆圈吗？为什么?
(2)完成下表；

边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
小圆圈的总数

(3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?
解：(1)第1个图形中有1个小圆圈．
第2个图形中有1+6=7个小圆圈．
第3个图形中有7+2×6=19个小圆圈．
第4个图形中有19+3×6＝37个小圆圈．
(2)从左至右填1．7，19，37，61．
(3)m＝6×+1＝3n2-3n+1．
板书设计
§2．5 用三种方式表示二次函数
一、1.试一试(投影片§2．5 A)
2．议一议(投影片§2．5 B)
3．做一做(投影片§2．5 C)
4．议一议(投影片§2．5 D)
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业

§2．6 何时获得最大利润
课时安排
7课时
从容说课
从题目来看，“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题．但是你知道吗?这正是我们研究的二次函数的范畴．因为二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值．而何时获得最大利润就是当自变