资源描述
《4 角平分线》
第1课时
教学目标
1、能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点；
2、从简单的数学例子中体会反证法的含义；
3、逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力．．
教学重难点
教学重点：角平分线的性质定理和逆定理、
教学难点：逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力
教学过程
一、情境创设
1、角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线．
表达方式：
如图：
∵ OC是∠AOB的平分线，
∴ ∠1=∠2（或∠AOB=2∠1=2∠2或∠1=∠2=∠AOB）．
2、角平分线的画法：
你能用什么方法作出∠AOB的平分线OC？（可由学生任选方法画出OC）．
可以用尺规作图，可以用折纸的方法，
二、合作探索
（一）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．
【要点】条件：点在角平分线上， 点到两边的距离；结论：距离相等．
【符号语言】如图1
O
E
P
C
B
D
A
图1
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，
∴PD=PE
【作用】证线段相等．
【辅助线添加提示】存在角平分线上的点，作此点到角两边的垂线段．
【错误警示】
1、学生在具体应用角平分线性质时，在做题步骤中往往出现类似漏写．
2、对定理的图形语言认识不足．
角平分线上的点到角两边的距离是指这个点到角两边的垂线段的长度，而不是过此点与角平分线垂直（或仅仅相交）的直线与角两边相交所得的线段的长度．
学生往往出现如下错误：
如图2
图2
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴PD=PE
（二）角平分线判定定理：
在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
【符号语言】如图1，
∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E
∴PD=PE
∴点P在∠AOB的平分线上．
【作用】：证点在角平分线上，证角相等．
【要点】条件：点在角的内部，点到角两边的距离相等；结论：点在角的平分线上．
【解释】到角两边距离相等的点所在的射线有4条，如图3，图中的虚线即是，所以要点1不可缺少．
图3
三、例题精析
例1、“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上．”你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明它吗？
例2、如图，△ABC的角平分线AD、BE相交与点O．问题：点O到△ABC各边的距离相等吗？点O在∠C的平分线上吗？即证明：三角形的三条角平分线交于一点．
思考：三角形两条外角平分线会交于一点吗？三条呢？与上题中的交点重合吗？
四、巩固练习
1、如下图所示，直线l、l、l表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A、一处 B、两处 C、三处 D、四处
2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10，求△DBE的周长．
第2课时
教学目标
1、进一步加强学生推理证明的能力．
2、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点的定理．
3、初步掌握综合运用多个定理解决有关问题的．
教学重难点
重点：了解三角形的三个内角的平分线交点与三边的位置关系．
难点：能够运用角平分线的性质定理、判定定理及其有关定理解决实际问题．
教学过程
一、学前准备
1、上课时要带来圆规、直尺、直角三角板．
2、上节课我们学习了角平分线的什么定理？
3、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥DC．
求证：点C在∠DAB的平分线上．
A
B
C
D
二、自学探究
三角形三边的垂直平分线的位置关系有什么定理？它是如何证明的？用类似的方法能够证明三角形的角平分线相交于一点吗？
如图，设△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E，F，D．求证：△ABC的三条角平分线交于一点．
M
A
C
B
P
N
F
E
所以我们得到了三角形的三条角平分线性质定理：
三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离．
【师生合作】
例1、如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）已知：CD=4cm，求AB的长；（2）求证：BC=AB+AD．
例2、如图，△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于O，下面结论中正确的是（ ）．
（A）∠1＞∠2（B）∠1=∠2（C）∠1＜∠2（D）不能确定．
例3、如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：∠1=∠2．
例4、如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P，过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N．求证：BM=CN．
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