资源描述
第六章 实 数
1.理解算术平方根、平方根、立方根等概念及其有关概念的意义,并会用根号表示它们.
2.会求平方根、算术平方根和立方根.
3.理解有理数、无理数以及实数的概念,知道这些数和数轴上的点的对应关系.
4.会进行实数的运算.
1.抓住新旧知识的联系,灵活运用乘方、开方、有理数的知识,实现知识的迁移,并使新旧知识融会贯通.
2.深刻理解并掌握类比的方法,并针对所学的知识启发学生深入思考,交流、探讨,将知识学深、学透、学活.
3.重视对数学思想方法的掌握与运用,达到优化解题思路、简化解题过程的目的.
培养认真观察、仔细思考的学习习惯,培养从生活中发现、解决数学问题的意识.
本章教材在初中数学中具有重要的地位,本章知识是有理数到实数的扩展,是进行其他学习的理论基础和运算基础(如一元二次方程、解三角形、函数、分式等),几乎贯穿了整个数学体系之中.
本章主要学习了算术平方根、平方根、立方根的概念,无理数和实数的概念及实数的运算.教材从典型的实际问题入手,首先介绍算术平方根,给出算术平方根的概念和符号表示.在学习算术平方根的基础上学习平方根,利用乘方与开方互为逆运算的特点探讨数的平方根的特征.类比平方根学习立方根,探讨立方根的特征,最后学习无理数及实数的运算.
【重点】
1.算术平方根、平方根、立方根、实数的概念.
2.会求某些非负数的平方根及某些数的立方根.
3.知道实数与数轴上的点一一对应,并能进行实数的运算.
【难点】 求非负数的平方根、算术平方根及算术平方根与平方根的区别与联系.
1.关于平方根与算术平方根的学习.
(1)通过让学生计算两个不为零的互为相反数的数的平方是同一个正数,总结出“一个正数有两个平方根,它们互为相反数”的性质,加深感性认识.
(2)帮助学生正确认识算术平方根的两个非负性:一是被开方数的非负性,即只有非负数才有算术平方根(在中a≥0);二是算术平方根本身的非负性,即一个非负数的算术平方根是一个非负数(≥0,a≥0).
2.关于立方根的学习.
(1)引导学生运用类比平方根的方法来学习立方根的概念、性质、求法,并启发学生与平方根的相应结论进行联系、比较,弄清两者的区别与联系,并适当分析结论不同的原因.
(2)要引导学生注意转化思想,将求负数的立方根问题转化为求正数的立方根问题.
3.关于无理数与实数的学习.
(1)引导学生复习有关有理数的知识,让学生了解有理数包括有限小数和无限循环小数,为学习无理数做好准备.引导学生用数轴上的点来表示有理数、无理数,将所学知识联系起来,使学生了解无理数的存在性.
(2)引导学生分清“无限不循环小数”与“无限循环小数”的区别,理解无限循环小数可化成分数,它是有理数;而无限不循环小数不能化成分数,它是无理数,从而启发学生总结有理数和无理数的区别在于是否能够分数化,真正分清有理数和无理数.
(3)要引导学生明确有理数的运算法则、运算律同样适用于无理数和实数,使学生能够按照有理数的运算法则、运算律进行无理数和实数的运算.
6.1 平方根
3课时
6.2 立方根
1课时
6.3 实 数
3课时
单元概括整合
1课时
6.1 平方根
1.理解算术平方根的概念,领会乘方与开方的关系.
2.会用计算器求一个数的算术平方根,理解被开方数与算术平方根大小的关系.
3.会用“夹值法”求一个数算术平方根的近似值.
4.掌握平方根的概念,明确平方根和算术平方根之间的区别和联系.
1.通过平方根的学习,建立初步的数感和符号感,为学习实数做准备.
2.通过求算术平方根的近似值,培养学生勇于探索的精神.
1.通过探索活动培养学生克服困难的精神.
2.通过解决生活中的实际问题,帮助学生体验数学与生活的紧密联系.
3.培养学生从多方面、多角度分析问题、解决问题的思想意识,养成综合分析问题的习惯.
【重点】
1.平方根的概念和算术平方根.
2.夹值法估计一个(无理)数的大小.
【难点】
1.用夹值法估计一个(无理)数的大小.
2.平方根和算术平方根的区别和联系.
第课时
1.了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性.
2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的算术平方根.
通过学习算术平方根,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维.
1.通过解决实际生活中的问题,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的.
2.通过探究活动培养学生动手能力,锻炼学生克服困难的意志,建立自信心,提高学习热情.
【重点】 算术平方根的概念.
【难点】 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根.
【教师准备】 教材章前图的投影图片.
【学生准备】 复习平方的概念.
导入一:
同学们,你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围内吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒).v1,v2的大小满足=gR,=2gR.其中,g是物理中的一个常量,R是地球的半径.
怎样求v1,v2呢?即使给出g,R的对应值,利用我们已学过的知识,也很难求出.这就要用到平方根的概念,也就是本章的主要学习内容.
[设计意图] 借助于教材章前图的内容,使学生认识到生活中的一些问题需要用新的知识去解决,进而增强学生的学习欲望和进取精神.
导入二:
学校要举行美术作品比赛,小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?
你一定会算出边长应取5 dm.说一说你是怎样算出来的.因为S=25 dm2,所以这个正方形画布的边长应取5 dm.
上面的计算过程,就是求一个数是由什么数的平方得来的.本课时我们就要学习相关的内容.
[设计意图] 用教材的问题作为导入材料,能够和学生的课前预习活动对接,可以提高学生的预习效果.
导入三:
丽丽家新购的一套住房,客厅是长与宽之比为5∶2的长方形,面积为40 m2,求这间客厅的长与宽各为多少.
要求客厅的长与宽,依题意可设客厅的长与宽分别是5x m,2x m,可得2x·5x=40,即x2=4,那么怎样才能由x2=4求x呢?
[设计意图] 从学生能够理解的生活事例入手,帮助学生感受引入平方根概念的必要性.
[过渡语] (针对导入二)如果小鸥想要裁出的正方形画布面积分别是下表中的数字,怎样求这个正方形的边长呢?
1.算术平方根.
思路一
填写表格后回答问题.
正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm
1
3
4
6
(1)写出表格中正方形边长的计算过程.
(2)上述过程可以概括成怎样的问题?
(3)怎样用数学语言描述这个运算过程?(这个运算过程是什么呢?)
问题提示:(1)12=1,32=9,42=16,62=36,=.
(2)已知一个正数的平方,求这个正数的问题.
(3)例如,已知一个正数的平方为a,求这个正数x问题.(可以用不同的字母表示)
[设计意图] 第(1)问意在复习平方的知识,为学习平方根知识做准备.第(2)问是从平方根的角度帮助学生思考.第(3)问是进一步引导学生通过抽象思维去理解平方根.
归纳总结:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.
规定:0的算术平方根是0.
思路二
学生阅读教材第40页例1前的内容,回答问题.
(1)什么是算术平方根?
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
(2)算术平方根怎么表示?
a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.
(3)0的算术平方根是多少?
0的算术平方根是0.
处理方式:学生阅读教材后交流;老师指定部分学生总结问题;总结平方根相关概念.
强调:书写时根号一定要把被开方数盖住.
讨论:为什么0的算术平方根是0?
2.例题讲解.
求下列各数的算术平方根.
(1)100; (2); (3)0.0001.
〔解析〕 本题三个数的共同特点是都是正数,符合算术平方根的前提条件.无论是正整数、正分数还是正小数,都有自己的算术平方根.求算术平方根不仅要明确算术平方根的含义,更要习惯用数学方式表达算术平方根的求解过程.
解:(1)因为102=100,
所以100的算术平方根是10,即=10.
(2)因为=,
所以的算术平方根是,
即 =.
(3)因为0.012=0.0001,所以0.0001的算术平方根是0.01,即=0.01.
追问:从上面的例题中,你发现被开方数和算术平方根之间有什么关系?
提示:被开方数越大,对应的算术平方根越大,这个结论对所有的正数都成立.
[过渡语] 根据例1中的被开方数,我们都能猜到这个数是哪个数的平方,那么怎么求类似7,8,9这些数的算术平方根呢?
(补充)求下列各数的算术平方根.
(1)36; (2)0.09; (3); (4)(-4)2; (5)0; (6)10.
〔解析〕 算术平方根的求法:一个正数的算术平方根就是要找一个正数,使它的平方等于这个数.
解:(1)因为62=36,
所以36的算术平方根是6,即=6.
(2)因为0.32=0.09,
所以0.09的算术平方根是0.3,
即=0.3.
(3)因为=,
所以的算术平方根是,
即 =.
(4)因为42=(-4)2=16,
所以(-4)2的算术平方根是4,
即=4.
(5)0的算术平方根是0,=0.
(6)10的算术平方根是.
[知识拓展] 求一个数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的过程,因此,求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的平方的逆运算,只不过只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.
1.一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
2.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.
3.规定:0的算术平方根是0.
1.9的算术平方根为 ( )
A.3 B.±3 C.-3 D.81
解析:因为32=9,所以9的算术平方根为3.故选A.
2.下列说法正确的是 ( )
A.5是25的算术平方根
B.±4是16的算术平方根
C.-6是(-6)2的算术平方根
D.0.01是0.1的算术平方根
解析:如果x2=a(x>0),则这个正数x是a的算术平方根,由此判断各选项.A.=5,故选项正确;B.=4,所以16的算术平方根是4,故选项错误;C.=6,故选项错误;D.=0.1,故选项错误.故选A.
3.一个数的算术平方根是它本身,这个数是 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.1或0
解析:根据算术平方根的定义:一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.若一个数的算术平方根是它本身,可以知道这个数是0或1.故选D.
4.100的算术平方根是 ,0.36的算术平方根是 .
解析:本题求100和0.36的算术平方根,就是求哪个正数的平方等于100或0.36,由此即可解决问题.因为102=100,所以100的算术平方根为10,因为0.62=0.36,所以0.36的算术平方根为0.6.
答案:10 0.6
第1课时
1.算术平方根
定义
符号表示
0的算术平方根
2.例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第41页练习第1,2题.
【选做题】
教材第47页习题6.1第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一个数只要存在算术平方根,那么这个数 ( )
A.只有一个并且是正数
B.一定小于这个数的算术平方根
C.必是一个非负数
D.不可能等于这个数的算术平方根
2.49的算术平方根的相反数是 ( )
A.7 B.-7 C.±7 D.±
3.下列命题中正确的有 ( )
①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③-4没有算术平方根;④一个数的算术平方根是它本身,这个数只能是零.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.求下列各数的算术平方根.
(1)0.49; (2); (3).
5.求下列各式的值.
(1)-;(2);(3).
【能力提升】
6.下列说法:
①任何数都有算术平方根;②一个数的算术平方根一定是正数;③a2的算术平方根是a;④(π-4)2的算术平方根是π-4;⑤算术平方根不可能是负数.其中不正确的有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
7.一个数的算术平方根为a,则比这个数大5的数是 ( )
A.a+5 B.a-5 C.a2+5 D.a2-5
8.下列运算正确的是 ( )
A.=9 B.|-3|=-3
C.-=-3 D.-32=9
9.(±4)2的算术平方根是 ,的算术平方根是 .
10.已知+(b+2)2=0,那么a+b的值为 .
11.计算.
(1);
(2)-;
(3) + + - .
【拓展探究】
12.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a+2b的算术平方根.
13.计算下列题目:
= ,= ,= , = ,= ,= ,= .根据计算结果回答下列问题.
(1)一定等于a吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语言描述出来.
(2)利用你总结的规律,计算= .
【答案与解析】
1.C(解析:因为任何数的平方都不可能为负,都是非负数,所以负数没有算术平方根,只有正数或0才有算术平方根,所以本题应选C.)
2.B(解析:49的算术平方根是7,其相反数是-7.故选B.)
3.B(解析:根据算术平方根的定义可知:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,结合命题与定理的定义可得答案.①1的算术平方根是1,故此项正确;②(-1)2=1,1的算术平方根是1,故此项错误;③因为-4<0,所以-4没有算术平方根,故此项正确;④一个数的算术平方根是它本身,这个数是0或1,故此项错误.所以正确的有2个.故选B.)
4.解:(1)=0.7. (2)=. (3)=.
5.解:(1)-=-0.1. (2)=5. (3)=10-3.
6.B(解析:根据算术平方根的定义依次分析各小题即可.①负数没有算术平方根;②0的算术平方根是0;③当a<0时,a2的算术平方根是-a;④(π-4)2的算术平方根是4-π,故错误;⑤算术平方根不可能是负数,正确.故选B.)
7.C(解析:首先根据算术平方根的定义求出这个数,然后利用已知条件即可求解.因为一个数的算术平方根为a,所以这个数为a2,所以比这个数大5的数是a2+5.故选C.)
8.C(解析:A.是求9的算术平方根,所以是3,故选项错误;B.负数的绝对值是正数,结果是3,故选项错误;C.-=-3,故选项正确;D.-32=-9,故选项错误.故选C.)
9.4 (解析:因为(±4)2=16,42=16,所以(±4)2的算术平方根是4.因为62=36,所以=6,所以的算术平方根是.)
10.0(解析:根据非负数的意义:如果两个非负数的和等于0,那么这两个数都为0可知a-2=0,b+2=0,a=2,b=-2,则a+b=2-2=0.)
11.解:(1)===5. (2)-=-=-9. (3) + + - =++-=1+=.
12.解:因为2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,所以2a-1=9,3a+b-1=16,解得a=5,b=2,所以a+2b=9,所以a+2b的算术平方根是3.
13.解:3 0.7 6 0.28 0 (1)不一定等于a,=|a|= (2)π-3.14
借助于平方知识,通过逆向思维的类比方式,学生比较好地理解了算术平方根的定义,同时注重强调了对0的算术平方根的理解.
学生根据先前的平方知识,会意识到一个正数的平方根会有两个.这就需要特别强调算术平方根定义当中的“一个正数”的限制.在课时的教学过程中,对这点没有做出特别的强调.
课前做好平方知识的复习,为学习平方根做准备.引入算术平方根的知识,要借助具体的生活情境,这样才能加深对引入平方根知识必要性的认识.注意引导学生发现被开方数与对应的算术平方根之间的关系.
练习(教材第41页)
1.提示:(1)0.05. (2)9. (3)3.
2.提示:(1)1. (2). (3)2.
求下列各式的值.
(1); (2) ;
(3); (4).
〔解析〕 (1)就是求484的算术平方根.(2) 就是求12的算术平方根.(3)就是求20.25的算术平方根.(4)8×9×10×11+1=7921,就是求7921的算术平方根.
解:(1)因为222=484,所以=22.
(2)因为==12,
所以 =.
(3)因为4.52=20.25,所以=4.5.
(4)因为8×9×10×11+1=7921,892=7921,
所以=89.
第课时
1.会用计算器求一个数的算术平方根.
2.理解被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律.
3.能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值.
通过求一个数的算术平方根的近似值,初步了解数的无限不循环性,理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义.
通过计算近似值,比较两个算术平方根的大小,培养学生的细心探求精神.
【重点】 计算算术平方根的两种方法;理解无限不循环小数.
【难点】 夹值法及估计一个数(无理数)的大小.
【教师准备】 教材图6.1-1的投影图片.
【学生准备】
1.复习算术平方根的相关知识.
2.计算器.
导入一:
能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形?
如图所示,把两个小正方形分别沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为2 dm2的大正方形.你知道这个大正方形的边长是多少吗?
设大正方形的边长为x dm,则x2=2,
由算术平方根的意义可知x=.
所以大正方形的边长是 dm.
问题:到底有多大呢?
导入二:
3.1415926…,看到这个数字大家一定会想到圆周率吧.圆的周长和直径的比是一个无限不循环小数,除此之外,像,等是不是无限不循环小数呢?
[过渡语] -到底有多大呢?我们一起来探索下吧.
1.探索的大小.
师:因为12=1,22=4,所以1<<2.这里我们只是粗略地知道了的大小,还不是很精确,这就需要我们继续探索下去.怎么继续下去呢?大家想个办法吧.
生:取一个大于1且小于2的数试一试.
师:从1.1到1.9这些数字我们怎么选呢?
生:通过估算和计算,我们发现1.42=1.96,1.52=2.25,所以1.4<<1.5.
师:用刚才的办法还能继续探索下去吗?
生:因为1.412=1.9881,1.422=2.0164,所以1.41<<1.42;因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,所以1.414<<1.415……
师:我们可以如此进行下去,会得到的更精确的近似值.但我们无论进行多少次探索,都不会有一个最终的数值,可见=1.41421356237…,它是一个无限不循环小数.实际上,许多正有理数的算术平方根(例如,,等)都是无限不循环小数.
2.用计算器求算术平方根.
[过渡语] 像前面探索一个数的算术平方根的方法无疑是繁琐的,我们通过计算器可以很轻松地解决求算术平方根的问题.
大多数计算器都有键,用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).
(教材例2)用计算器求下列各式的值.
(1); (2)(精确到0.001).
〔解析〕 正确选择计算器上的功能键是关键,对算术平方根的值要根据要求或需要进行取舍.同时需要注意计算器上显示的数值是一个近似值.
解:(1)依次按键3136=,显示:56.
所以=56.
(2)依次按键2=,显示:1.414213562.
所以≈1.414.
[过渡语] 计算器为人们进行复杂的计算提供了巨大的方便,比如我们来看引言中提出的问题.
由=gR,=2gR,得v1=,v2=,其中g≈9.8,R≈6.4×106.
用计算器求v1和v2(用科学记数法把结果写成a×10n的形式,其中a保留小数点后一位),得v1=≈7.9×103,v2=≈1.1×104.
因此,第一宇宙速度v1大约是7.9×103 m/s,第二宇宙速度v2大约是1.1×104 m/s.
3.用计算器探究.
(1)利用计算器计算下表中的各式,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?
…
…
…
…
(2)用计算器计算(精确到0.001),并利用你在(1)中发现的规律说出,,的近似值,你能根据的值说出的值是多少吗?
问题提示:
(1)如下表所示:
…
…
…
0.25
0.79
2.5
7.9
25
79
250
…
从表中可以发现:被开方数的小数点每向右(或向左)移动两位,开方后的结果向相同的方向移动一位.
(2)因为≈1.732,≈0.1732,≈17.32,≈173.2,根据的值不能说出是多少.
4.估计算术平方根的值解决问题.
[过渡语] 在生活中,我们经常遇到估计一个数的大小的问题.请看下面的例子.
(教材例3)小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来,正在发愁.小明见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?
〔解析〕 本题的核心是能否按照要求裁出一个长宽比为3∶2、面积为300 cm2的长方形,通过列方程的办法可以计算出满足这样条件的长方形的长和宽,再与正方形的边长做对比,就可以得出相应的结论.
解:设长方形纸片的长为3x cm,宽为2x cm,
根据边长与面积的关系得:
3x·2x=300,
6x2=300
x2=50,
x=.
因此长方形纸片的长为3 cm.
因为50>49,所以>7.
由上可知3>21,即长方形纸片的长应该大于21 cm.
因为=20,所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样,长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答:不能同意小明的说法.小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【思考】 如果一个数的平方等于19,这个数是多少?
[知识拓展] 确定x2=a(a≥0)中正数x的近似值的方法:
1.确定正数x的整数部分.根据平方的定义,把x夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.
2.确定x的小数部分十分位上的数字.将这两个整数平方和的平均数与x比较,预测十分位上数字的取值范围,也可以采用试验的方法进行估计.
在求某些数的算术平方根时,当有些数据比较大或不易求出时,便可以利用计算器求算术平方根,用计算器上的“”键.一般先按“”键,然后再输入数据,再按“=”键即可.在没有计算器或不允许用计算器的情况下,可进行估算,我们通常取与被开方数相近的两个完全平方数的算术平方根相比较.
1.我们可以利用计算器求一个正数a的算术平方根,其操作方法是按顺序进行按键输入: a = ,小明按键输入1 6,显示结果为4,则他按键1 6 0 0,显示结果应为 .
解析:根据被开方数扩大到原来的100倍,算术平方根扩大到原来的10倍直接解答即可.故填40.
2.已知a,b为两个连续的整数,且a<<b,则a+b= .
解析:因为<<,所以3<<4,因为a<<b,所以a=3,b=4,所以a+b=3+4=7.故填7.
3.用计算器求下列各式的值(结果保留4个有效数字).
(1);(2);(3).
解:(1)依次按键734,显示27.09243437,所以≈27.09.
(2)依次按键0.012345,显示0.111108055,所以≈0.1111.
(3)依次按键5,显示2.236067977,所以≈2.236.
4.小川的房间地面面积为17.6 m2,房间地面恰好由110块相同的正方形铺成,每块地砖的边长是多少米?
解:设每块地砖的边长是x m,则110x2=17.6,
x2=0.16,所以x=0.4.
答:每块地砖的边长是0.4 m.
第2课时
1.探索的大小
2.用计算器求算术平方根
例1
3.用计算器探究
4.估计算术平方根的值解决问题
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第44页练习第1,2题.
【选做题】
教材47页习题6.1第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若m=-4,则估计m的值所在的范围是 ( )
A.1<m<2 B.2<m<3
C.3<m<4 D.4<m<5
2.一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在 ( )
A.2与3之间 B.3与4之间
C.4与5之间 D.5与6之间
3.用计算器计算:-3.142≈ .(结果保留三个有效数字)
4.小杰卧室地板的总面积为16平方米,恰好由64块正方形的地板砖铺成,求每块地板砖的边长.
5.圆的面积S(cm2)与半径r(cm)之间的关系式为S=πr2,现要制作一块面积为49π cm2的圆形零件,此零件的半径应为多少厘米?
【能力提升】
6.如图所示,方格图中小正方形的边长为1,将方格中阴影部分图形剪下来,再把剪下的部分重新剪拼成一个正方形,那么所拼成的这个正方形的边长为 ( )
A. B.2 C. D.
7.用计算器估算:若2.6456<<2.6459,则a的整数值是 .
8.如果的整数部分为a,小数部分为b,那么a-b= .
9.学校组织集邮展览,某同学用30枚长3 cm,宽2.5 cm的邮票恰好拼成了一个正方形,你能求出这个正方形的边长吗?
【拓展探究】
10.请你观察、思考下列计算过程:
因为112=121,所以=11,同样因为1112=12321,所以=111,由此猜想= .
11.用计算器求下列各数的算术平方根(保留四个有效数字),并观察这些数的算术平方根有什么规律.
(1)78000,780,7.8,0.078,0.00078.
(2)0.00065,0.065,6.5,650,65000.
【答案与解析】
1.B(解析:先估算出在哪两个整数之间,即可得到结果.因为6=<<=7,所以2<-4<3,故选B.)
2.B(解析:根据正方形的面积先求出正方形的边长,然后估算即可得出答案.设正方形的边长为x,因为正方形面积是15,所以x2=15,故x=.因为9<15<16,所以3<<4.故选B.)
3.0.464(解析:首先利用计算器求出13的算术平方根,然后即可求出结果.-3.142≈3.6056-3.142=0.4636≈0.464.)
4.解:每块地板砖的面积=平方米,所以每块地板砖的边长= =(米).
5.解:设此零件的半径为r cm,由题意得49π=πr2,解得r=7.所以此零件的半径为7 cm.
6.C(解析:根据题意可得,所拼成的正方形的面积是5,所以正方形的边长是.故选C.)
7.7(解析:因为2.6456=,2.6459=,所以a的整数值是7.)
8.4-(解析:先求出的范围,即可求出a,b的值,再代入求出即可.因为2<<3,所以的整
数部分为a=2,小数部分是b=-2,所以a-b=2-(-2)=4-,故答案为4-.)
9.解:一枚邮票的面积为3×2.5=7.5(cm2),30枚邮票的总面积为7.5×30=225(cm2),则正方形的边长为15 cm.
10.111111111(解析:因为112=121,所以=11.同样1112=12321,所以=111,…,由此猜想=111111111.)
11.解:(1)≈279.3,≈27.93,≈2.793,≈0.2793,≈0.02793. (2)≈0.02550,≈0.2550,≈2.550,≈25.50,≈255.0.规律是:被开方数的小数点向左(右)移动两位,则其算术平方根的小数点就向左(右)移动一位.
用“夹值法”探索根式的近似值,其教学过程中蕴含着多种教学目的,如帮助学生深入领会无限不循环小数,为以后得出无理数和实数的概念做准备,同时也可以培养学生勇于探索的精神.本课时在教学的过程中,通过情境引入、师生研讨等方式较好地落实了课程教学目标.
在探索近似值的过程中,最初没有让学生利用计算器进行探索,课堂上浪费了一定时间,在利用计算器进行探索的时候,忽略了学生使用计算器的差异.
在利用计算器进行近似值探索的时候,可以让学生自己总结一些数的算术平方根的性质.在探索规律的过程中,学生不易直接发现小数点变化的规律,应该进行一定的提示.关注学生对计算器的正确使用,并强调计算器的显示结果只是算术平方根的一个近似值.
练习(教材第44页)
1.提示:(1)37. (2)10.06. (3)2.24.
2.解:(1)<. (2)>8. (3)>0.5. (4)<1.
在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.
(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?
(2)如果精确到百分位呢?
〔解析〕 本题实质就是求的近似值问题.本题除了借用计算器外,也可以用“夹值法”进行探索.参考数值:1.72=2.89,1.732=2.9929.
解:(1)1.7米. (2)1.73米.
第课时
1.掌握平方根的概念,明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.
2.能用符号正确地表示一个数的平方根,理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.
通过探索平方根与算术平方根的区别与联系,学会利用算术平方根解决平方根的问题.
培养学生从多方面、多角度分析问题、解决问题的思想意识,养成综合分析问题的习惯.
【重点】 平方根的概念和求数的平方根.
【难点】 平方根和算术平方根的联系与区别.
【教师准备】 教材图6.1-2;教材例题投影图片.
【学生准备】 复习算术平方根的知识.
导入一:
我们学过了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则x叫做a的算术平方根,记作x=,而且不能是非正数,比如正数32=9,则3叫做9的算术平方根,9叫做3的平方数,但是(-3)2=9,那么-3叫做9的什么根呢?下面我们就来讨论这个问题.
[设计意图] 通过复习旧知识引入新知识,有利于学生建立起知识之间的对比和联系.
导入二:
【思考】 如果一个数的平方等于9,这个数是多少?
从前面的学习我们知道,这个数可以是3.除了3以外,还有没有别的数的平方也等于9呢?由于(-3)2=9,这个数也可以是-3.
因此,如果一个数的平方等于9,那么这个数是3或-3.那么,3和-3叫做9的什么呢?
[设计意图] 通过简单的事例,有助于学生进行旧知识的复习,通过思考问题,引入平方根的概念.
1.平方根与开平方.
[过渡语] 通过本节课的课题“6.1 平方根”我们知道了“平方根”这个词,那么什么是平方根呢?
思路一:
填表:
x2
1
16
36
49
x
±1
±4
±6
±7
±
问题:
①什么是算术平方根?
②表格中的这些数的算术平方根是什么?
③什么叫做平方根?
④什么叫做开平方?
问题处理方式:第一问和第二问由学生自己回答;第三问和第四问学生自学教材第45页例4前的内容后回答.
核心问题归纳:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
思路二:
问题思考:
(1)9的算术平方根是3,还有平方也是9的数吗?
(2)平方等于的数有几个?平方等于0.36的数呢?
生1:-3的平方也是9.
生2:平方等于的数有两个,分别是和-.
生3:平方等于0.36的数有两个,是0.6和-0.6.
师:根据上一节课的内容,我们知道了3是9的算术平方根,那么-3也是9的算术平方根吗?
生:(阅读教材第45页第1段)
师:-3是9的平方根,这种说法对吗?
生:正确.
师:能总结一下平方根的定义吗?
生:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.
问题2:平方与开平方的关系
学生观察教材图6.1-2,思考左面的平方和右面的开平方是什么关系.
我们看到,±1的平方等于1,1的平方根是±1,±2的平方等于4,4的平方根是±2,±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方与开平方互为逆运算.根据这种互逆关系,可以求一个数的平方根.
(教材例4)求下列各数的平方根.
(1)100; (2); (3)0.25.
解:(1)因为(±10)2=100,
所以100的平方根是±10.
(2)因为=,
所以的平方根是±.
(3)因为(±0.5)2=0.25,
所以0.25的平方根是±0.5.
2.平方根的特点.
问题思考:
(1)正数的平方根有几个?(2个)
(2)正数的两个平方根之间有什么关系?(互为相反数)
(3)0的平方根是多少?(0)
(4)负数有没有平方根?(没有)
(5)平方根怎么用数学式表达?(正数a的算术平方根可以用表示;正数a的负的平方根可以用符号“-”表示,故正数a的平方根可以用符号“±”表示,读作“正、负根号a”.)
问题处理:第(1)问和第(2)问由学生做出肯定性的答案.第(3)问强调学生注意0的平方根和算术平方根的一致性.第(4)问重点讨论负数没有平方根的原因.第(4)问指导学生善于用数学符号语言总结本课时所学.
(教材例5)求下列各式的值.
(1);(2)-;(3)± .
解:(1)因为62=36,所以=6.
(2)因为0.92=0.81,所以-=-0.9.
(3)因为=,所以± =±.
[知识拓展] (1)若一个数的平方根是它本身,则这个数是0.若一个数的算术平方根是它本身,则这个数是0或1.
(2)根据开平方与平方互为逆运算可得到有关算术平方根的两个重要公式:
①()2=a(a≥0);②=|a|.
要特别注意a的取值范围.
名称
关系
算术平方根
平方根
区别
定义不同
如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根
个数不同
正数的算术平方根只有1个
正数的平方根有2个
表示方法不同
正数a的算术平方根表示为
正数a的平方根表示为±
取值范围不同
正数的算术平方根一定是正数
正数的平方根为一正一负,互为相反数
联系
具有包含关系
平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中的非负根
存在的条件相同
只有非负数才有平方根和算术平方根
0的平方根与算术平方根均为0
1.16的平方根
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