资源描述
课案（教师用）
相交线与平行线
（复习课）
【理论支持】
数学教育家弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。因此，在教学过程中，教师应该充分利用学生的认知规律，及已有的生活经验和数学的实际。教学时，把那些最能反映现代生产、现代社会生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容．数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系。这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综复杂的“现实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系．另一方面，学生也有可能把学到的数学知识应用于现实世界中去。数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的不同层次的人对数学的不同水平的需求。
除了要研究平面内两条直线间的位置关系（重点是垂直和平行关系），还包括平移变换的内容以及一些命题的内容，由于教学时间有限，为了使学生集中精力掌握最基础的知识，并形成一定的能力，教学时应注意突出重点．例如，研究两条直线的位置关系时，重点是要研究一些图形的性质，如对顶角相等、垂线的性质，以及平行线的判定和性质等，对于一些定义，不要作严格的形式化的要求．教科书中邻补角、对顶角的概念都是结合图形，分析其位置关系给出的；垂直、平行的概念则是承接了前面学段学过的概念．对于同位角、内错角、同旁内角的内容，教科书是在研究两条直线相交的基础上，进一步研究三条直线相交的角度引入的，主要是为接下来研究平行做准备。这里要求学生掌握基本概念即可，不要做过多的变式训练。再如，对于命题、定理、证明等概念，教科书是分阶段、分散安排的．在本章，要求学生在学过一些命题（包括数与代数的以及空间与图形的）的基础上，了解命题的概念以及命题的构成（如果……那么……的形式），知道命题的真假，了解定理的概念等．
【教学目标】
知识技能 回顾相交线和平行线的相关知识及平移的知识，并运用它们解决问题。
数学思考 丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。
解决问题 通过观察、归纳、对比来寻找图形的位置和数量关系，从而发现图形的性质。
情感态度 在观察、操作、想象、说理、交流的过程中，发展空间观念，初步形成积极参与数学活动，与他人合作交流的意识，激发学习空间与图形的兴趣。
【教学重难点】
重点：复习平面内两条直线的相交和平行的位置关系,以及相交平行的综合应用.
难点：垂直、平行的性质和判定的综合应用.
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
知识梳理：
一、垂线的定义
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，那么其他三个角也是直角，这时就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
二、垂线的性质
① 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
②垂线段最短.
三、点到直线的距离
从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离.
四、两线四角形成的相关角
①对顶角
②邻补角
五、三线八角形成的相关角
①同位角
②内错角
③同旁内角
六、平行线的性质（特征）
①公理：两直线平行，同位角相等.
②两直线平行，内错角相等.
③两直线平行，同旁内角互补.
七、平行线的判别（判定）
①公理：同位角相等，两直线平行
②内错角相等，两直线平行.
③同旁内角互补，两直线平行.
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
〖设计说明〗通过知识点的呈现,加深学生对所学知识的理解,进一步提升学生的认知能力。
预习练习：
1．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.3个
2
1
1
2
2
1
1
2
（第 1 题）
〖设计说明〗本题考查学生对对顶角概念的理解，加深学生对平面图形的认识和理解。
2．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（ ）
Ａ．第一次右拐50°，第二次左拐130°，
B．第一次左拐50°，第二次右拐50°，
Ｃ．第一次左拐50°，第二次左拐130°，
Ｄ．第一次右拐50°，第二次右拐50°。
〖设计说明〗本题考查学生对平行线的条件的理解及形象思维能力。
3．同一平面内的四条直线若满足ａ⊥ｂ，ｂ⊥ｃ，ｃ⊥ｄ，则下列式子成立的是（ ）
Ａ．ａ∥ｄ Ｂ．ｂ⊥ｄ Ｃ．ａ⊥ｄ Ｄ．ｂ∥ｃ
〖设计说明〗本题考查学生对数学知识的理解和思维的深刻性。
４．三条直线两两相交于同一点时，对顶角有ｍ对；交于不同三点时，对顶角有ｎ对，则ｍ与ｎ的关系是（ ）
Ａ．ｍ＝ｎ Ｂ．ｍ＞ｎ Ｃ．ｍ＜ｎ Ｄ．ｍ＋ｎ＝10
〖设计说明〗本题考查学生对对顶角概念的深刻理解及思维的深刻性。
５．若m∥n,∠1=105°，则∠2= （ ）
n
m
（ 第 题 ）
A．55° B.60° C. 65° D. 75°
1
2
〖设计说明〗本题考查学生对平行线性质掌握情况。
6．下列说法中正确的是（ ）
A.有且只有一条直线垂直于已知直线。
B.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。
C.互相垂直的两条线段一定相交。
D.直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm.
〖设计说明〗：本题考查学生对垂直知识的掌握情况，提高学生运用基础知识解决问题的能力。
〖参考答案〗：BBCADD
〖设计说明〗通过简单题型的训练，加强学生对所学知识升华，体验数学源于生活又高于生活的内涵。
课内探究
1.对顶角、邻补角。
(1)教师提出问题,由幻灯片出示.
①两条直线相交、构成哪两种特殊位置关系的角？指出图(1) 中具有这两种位置的角.
(1) (2) (3)
②如图(2)中,若∠AOD=90°,那么直线AB,CD的位置关系如何?
③如图(3)中,∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4是怎么位置关系的角?
(2)学生总结对顶角、邻补角是由两条相交面而成的具有特殊位置关系的角，要抓住对顶角的特征，有公共顶角，角的两边互为反向延长线；邻补角的特征：有公共顶有一条公共边，另一边互为反向延长线。
(3)对顶角有什么性质?(对顶角相等)如果两个对顶角互补或邻补角相等, 你得到什么结论?
让学生明确,对顶角总是相等,邻补角一定互补, 但加上其他条件如对顶角或邻补角相等后,那么问题中每个角的度数就随之确定,为90°角, 这时两条直线互相垂直.
〖设计说明〗通过解决具体问题加深对对顶角、邻补角的理解
2.垂线及其性质.
(1)复习时教师应强调垂线的定义即可以作垂线的制定方法用,也可以作垂线性质用.
作判定用时写成:如图(2),因为∠AOD=90°,所以AB⊥CD, 这是一个角的“数”到两直线垂直的“形”的判断。
作为性质用时写成：如图(2)，因为AB⊥CD,所以∠AOD=90°。这是由“形”到“数”的说理。
(2)如图(4),直线AB、CD、EF相交于点O,CD⊥EF,∠1=35°,求∠2的度数.
(4) (5) (6)
鼓励学生用不同方法求解.
(3)垂线性质1和性质2.
学生思考:
①请回忆一下后体育课测跳远成绩时,教师是怎样测量的?
如图(5),AB⊥L,BC⊥L,B为重足,那么A、B、C三点在同一②条直线上吗?为什么?
③点到直线的距离、两条平行线的距离.
让学生叙述垂线的性质,懂得分清这两个命题的题设和结论,垂线性质一说得过一点已知直线的垂线存在并且唯一的.
初中阶级学习了三种距离,既是距离,就要懂得共同点:距离都是线段的长度,又要懂得区别:两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是某条直线上的一点到另一点平行线的距离.
学生练习:①如图(6),四边形ABCD,AD∥BC,AB∥CD,过A作AE⊥BC,过A作AF⊥CD,垂足分别是E、F,量出点A到BC的距离和AB、CD平行线间的距离.
〖设计说明〗让学生借助于垂线的知识，从现实生活中发现数学问题，使新知识建立在对周围环境的直接感知的基础上。
拓展延伸：在同一个平面内
（1）已知三条不同的直线a1、a2，a3，且a1⊥a2，a2⊥a3.请问a1与a3有什么位置关系？为什么？
（2）已知十条不同的直线a1、a2，……a9、a10，且a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，a4⊥a5，a5⊥a6，a6⊥a7，a7⊥a8，a8⊥a9，a9⊥a10.请问a1与a10有什么位置关系？为什么？
〖设计说明〗通过画图提高空间想象能力，由直观的几何图形巩固学生对垂线和平行线概念的理解。
3.同位角、内错角、同旁内角.
找出∠1、∠2、∠3中哪两个是同位角、内错角、同旁内角.
(7)
〖设计说明〗通过图形中角与角位置关系的研究分析，进一步理解同位角、内错角、同旁内角。
拓展延伸：L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点；如果在这个平面内，再画第三条直线L3，那么这三条直线最多有_____个交点；如果在这个平面内再画第4条直线 L4，那么这4条直线最多可有_____个交点.
由此可以猜想：
在同一平面内，6条直线最多可有______个交点；n条直线最多可有____个交点.（用含n的代数式表示）
〖参考答案〗（1）3,6,15，，
〖设计说明〗学生在操作过程中会遇到困难，出现问题，产生探究的欲望，通过合作学习加以解决，学会认真思考，并培养说理习惯。
4.平行线判定与性质
对比平行线的性质和直线平行的条件,它们有什么异同?
学生明确: 平行线的判定也是由“数”即角与角的关系到“形”的判断，而性质则是“形”到“数”的说理，在研究两条直线的垂直或平行时共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角或角之间的关系。
学生练习:①填空:如图(8),当_______时,a∥c,理由是________;
当______时, b∥c,理由是_________;
当a∥b,b∥c时,______∥______,理由是_________.
(8) (9) (10)
②如图(9),AB∥CD,∠A=∠C,试判断AD与BC的位置关系?为什么?
教师根据学生情况酌情给予引导.
〖设计说明〗培养学生的说理习惯，发展学生的符号感，逐步培养学生用几何语言交流的能力。
拓展延伸：如下图，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋……＋∠An＝______度.
〖参考答案〗（n-1）180°
〖点拨方法〗通过数形结合的方法，使学生体会研究几何的意义，激发学习空间与图形的兴趣。
5.关于平移,让学生思考:
(1)图形平移时,连接对应点有什么关系?
(2)如何确定图形平移的方向和平移的距离?
(3)你能用平移设计一些图案吗?
练习:如图(10),平移四边形ABCD,使点B移动到点B′,画出平移后的四边形A′B′C′D′
(3) 从上述结论中你发现了什么规律？
〖设计说明〗平移现象在生活中是大量存在的，通过题目的训练，使学生对平移有比较充分的感知，
当堂检测
1.如左图已知AB∥CD，∠A=55°，∠C=20°。∠P= .
2.如中图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中和∠1相等的角的个数是（ ）
A.2 B.4 C.5 D.6
3.如右图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′ 等于（ ）
A.30° B.45° C.60° D.75°
4.如图，给出了过直线外一点作
已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.两直线平行，同位角相等
5.如图，直线a／／b，点B在直线b上，且AB ⊥BC ,∠1 = 55 º ，则∠2 的度数为 :
A . 35 º B . 45 º C . 55 º D . 125º
6.将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起．在图中标记的角中，写出所有与∠1互余的角 。
7.如图，不添加辅助线，请写出一个
能判定EB//AC的条件：________________.
8.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，
∠CDE=150°，则∠C=______.
9.将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，
则∠ABC= ________度．
10.如右图，在△ABC中，AB=BC=12 cm，∠ABC=80°，
BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.
（1）求∠EDB的度数；
（2）求DE的长.
〖参考答案〗1.35°；2.B；3.60°；4.A；5.A；6.∠2，∠3，∠4；7.答案不唯一；
8.120°；9.73°；10.(1)40°, (2)6。
〖设计说明〗通过当堂检测,检查学生的听课效率及复习效果,及时反馈学习过程中存在的问题,以便查漏补缺.
课后提升
一、选择题：
1．下列说法正确的是 ( )
A.有且只有一条直线与已知直线垂直
B.经过一点有且只有一条直线与已经直线垂直
C.连结两点的线段叫做这两点间的距离
D.过点A作直线m的垂线段，则这条垂线段叫做点A到直线m的距离
2．下列说法中，错误的是（ ）
A.如果a⊥b，b⊥c，那么a//c
B.如果a//b，b//c，那么a//c
C.如果a⊥b，a//c，那么b⊥c
D.有且只有一条直线与已知直线平行
3．如右图，直线c与直线a、b相交，∠1=110°，
则∠2=（ ）
A.110 B. 70 C.90 D.不能判定
4．如右图，下列判断中错误的是 （ ）
A.由∠A+∠ADC=180°得到AB∥CD
B.由AB∥CD得到∠ABC+∠C=180°
C.由∠1=∠2得到AD∥BC
D.由AD∥BC得到∠3=∠4
5．如右图，若AD∥BC，则下列结论中一定正确的是 （ ）
A.∠1=∠2 B. ∠2=∠3
C.∠6=∠8 D. ∠5=∠8
6．如右图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（ ）
A. ∠EDC=∠EFC B. ∠AFE=∠ACD
C. ∠3=∠4 D. ∠1=∠2
二．解答题：
7.推理填空：
如图，EF∥AD，∠1 =∠2，∠BAC = 70°
将求∠AGD的过程填写完整：
因为EF∥AD，所以 ∠2 = 。
又因为 ∠1 = ∠2，所以 ∠1 = ∠3。
所以AB∥ 。（ ）
所以∠BAC + = 180°。（ ）
又因为∠BAC = 70°，所以∠AGD = °。
三、算一算：
8．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B = 30°，你能算出∠EAD、∠DAC、
∠C的度数吗？
【参考答案】1.B；2.D；3.D；4.D；5.B;6.C；7.略；8.30°,30°,30°
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