资源描述
课题：第7讲 一元二次方程
教学目标：
1.了解一元二次方程的概念，并会用直接配开平方法、因式分解法、公式法和配方法
解一元二次方程；
2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两根是否相等；
3.了解根与系数的关系，能解决与根有关的代数式求值题；
4.能列一元二次方程解实际问题；并能结合具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
教学重点与难点：
重点：熟练用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程.
难点：会用根的判别式，根与系数的关系解决有关根的问题.
课前准备:
教师准备：设计导学案、制作多媒体课件．
学生准备：尝试完成导学案、阅读课本九（上）第二章．
教学过程：
一、激趣导入，预习展示
[师]知识在于积累，能力在于训练，这节课我们一起来重点回顾一元二次方程的概念、解法和应用，查缺补漏，以求厚积薄发.希望人人达标过关！大家有没有信心？
〖适时课题板书：第7讲 一元二次方程.〗
【设计意图】本环节主旨在于激起学生学习的积极性，语言中有对章节复习的重要性的渗透，有复习重点的渗透，有树立学生信心的目标，旨在调动学生的积极性和学习的欲望，实现了导入的目的．
【活动内容】请大家在5分钟内阅读《丛书》29页考试要求，独自完成问题填空，再小组合作交流，形成小组的研讨成果.
【 处理方式】 学生独立完成问题填空，对本讲进行知识梳理，明确自我知识漏洞.再积极的小组内交流收获,弥补知识、方法漏洞，共同构建知识结构网络.展台展示.
【设计意图】通过课前导学案学生先独自回忆了本专题知识，课上再和小组交流，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系，教师选取有代表性的知识结构网络进行全班展示，其他同学对照自己的总结查缺补漏.在学生充分思考、交流的基础上，引导学生扎实掌握本专题基本知识，真正做课本知识面面俱到．为后面的题组训练打好基础，以帮助学生更好的掌握本章知识．
一元二次方程
概念
解法
应用
一般形式(a，b，c为常数, a≠０)
近似解
精确解
配方法
公式法
分解因式法
数字与方程
几何与方程
利润与方程
增长率与方程
步骤：审、设、列、解、验、答.
根的判别式
根与系数的关系
附（本讲知识网络及考点透视）：
一元二次方程是初中数学学习的重要内容,是通过数学建模(方程模型)解决实际问题的重要手段．考查涉及一元二次方程的定义、解法以及运用一元二次方程解决实际问题,并根据新课标的补充规划,对一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系进行了适当考查；考查一元二次方程与函数、几何综合运用也是本章的热点考题．考试类型小到填空与选择,中到简答,大到综合与压轴．新课标降低了计算上的难度，但增加了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况.
（让学生了解、明确中考对本知识点的要求，使学生复习过程中明确复习的方向.）
二、典题尝练，互查反馈
【活动内容】[师]同学们表现得真棒!我们再来完成“A组：（必做题）”，看谁表现的优秀．(限时7分钟独立完成).
1．（2011•江苏南通）已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则c的值是（ ）
A.－5 B. 6 C. －6 D. 5
2．（2014年•云南省）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ）
A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D． x1=﹣1，x2=2
3．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（ ）
A、 B、 C、 D、
4．（2014•四川自贡）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根
C． 只有一个实数根 D． 没有实数根
5．（2014·昆明）已知、是一元二次方程的两个根，则等于（ ）
A. B. C. 1 D. 4
6．（2014年山东泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15
C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15
【处理方式】 学生先独立完成再小组交流，做错的题小组内帮助分析原因并纠错.老师巡视必要时给与精当点拨．具体处理时，第3、4题可让学生板书，其余题目口述考查的知识点以及解题思路和方法．
【设计意图】A题组主要是帮助学生复习回忆一元二次方程的解，一元二次方程的解法、应用，以及根的判别式和根与系数的关系公式.这些都是基础知识和基本技能的再现，所以，处理的方式都是让学生自行完成，并学生总结归纳知识点和方法，其中第1题考查学生对定义的掌握情况，第2、3题考查一元二次方程的解法，第4题是根的判别式求解字母的取值范围，第5题是根与系数的关系公式训练，第6题涉及一元二次方程在实际中的应用问题．
【活动内容】 [师]同学们表现都很棒！我们再来完成“B组：（选做题）”．
1．已知关于的方程是一元二次方程，则m的值为______.
2．（2011•甘肃兰州）关于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是 ．
3．（ 2014•广西贺州）已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是 ．
【 处理方式】 各小组代表，黑板板演.小组间批阅、错误剖析.教师鼓励评价各组表现情况.
【设计意图】设置本环节的目的就是检查学生对基础知识的掌握情况，要求独立限时完成.这样的设计，不是简单的让学生重复概念及其做法，而是通过题组检查的形式以题代知识点．
三、范例导航、方法总结
[师]通过上面题组的研究，同学们能不能总结一下本节的考题类型呀？
【活动内容】下面请同学们以小组为单位进行总结归纳.
【处理方式】 小组合作探究后交流整理.并展示小组的成果．
【设计意图】设计本环节目的是让学生自行研讨考题类型，以备学生有的放矢的进行复习和练习，以寻求应对策略，增强学习的针对性.
[师]同学们表现得真棒!下面我们通过几个例题深入复习一元二次方程.
（2014•襄阳）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 ．
【点拨与解】[师]谁来介绍一下这题所考查的知识及做题思路.学生回答、补充完成.
【反思回味】若已知方程的根，求其他字母或代数式的值，关键是将这个方程的根带入原方程，进而求得字母或代数式的值.（口诀：给解就代入）
【跟踪练习】
1.（2013•滨州）若x=2是关于x的方程的一个根，则 的值为 .
2.（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
【参考答案】1. 2.B
【设计意图】通过学生口答互评的方式，复习巩固一元二次方程根的意义.由简单知识展开复习，激发了全体学生投入复习的热情，从而保证后续复习的开展.
[师]很好！本节的重点是选择恰当方法正确解出一元二次方程，请大家完成例2.
【活动内容】请在下式的横线处填入一个整式：，使它分别最适合用直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法来解答.
【点拨与解】[师]经过一元二次方程解法的探究，大家已经明确了一个一元二次方程的简便解法应根据所给方程的特点所决定的．你能快速的完成上题吗？请小组间竞赛完成．
【处理方式】 一组填值，一组解答.（思考并尝试解决，2分钟后各小组同学分组交流.）各小组的每一名组员都要分担一项任务．教师点评得分，鼓励学生学习的积极性.
[师]请大家总结用公式法和配方法的关键点.
学生独立思考，作答．
【设计意图】一元二次方程的解法是本章的重点，通过设置开方型题目，让学生进一步熟悉根据方程特征采用适当的解法，让学生进一步体会各解法之间的联系及熟练地根据方程的特征选择适当解法．
【跟踪练习】
解方程：
1．（浙江温州）．
2．（湖南永州）．
3．（菏泽）．
【反思回味】
1．形如的方程可以用直接开平方法求解较为简便．
2．千万记住：①方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个根丢失了，要利用因式分解法求解；
②当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解；
③当我们不能利用上边的方法求解的时候就可以用公式法求解，公式法是万能的．
公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
【教学建议】引导同学积极参与，数学成绩优秀的同学负责直接开平方法，因式分解法，数学成绩一般的同学负责配方法，公式法.经过这一轮的训练学生更加熟悉了一元二次方程的解法，能深刻把握各种解法的步骤和注意事项.
[师]在一元二次方程的四种解法中，公式法及配方法是万能方法，直接开平方法和分解因式法是特殊方法，我们要选择恰当的方法解一元二次方程.有时我们不解方程也能判定方程根的情况，请大家思考下面的例题.
已知关于的方程，当为何值时， ．（在横线上试补充有关根的情况，然后完成计算．）
【处理方式】 教师：将题目分到各组完成、展示.学生：先独立思考解答，然后交流并派代表板演，做好展示准备.
【设计意图】设计开放性题目,学生在参与题目的设计中，复习根的判别式与一元二次方程的关系，同时将方程的根全面扩充至一元一次方程，正因如此也锻炼了学生分类的数学思想，从而增强了学生思维的严谨性.
【跟踪练习】
1．（ 2014•广东）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（四川广安改编）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
【参考答案】1、，且k≠0. 2、B.
【反思回味】利用根的判别式解决问题，方程要先化为一般形式再求判别式，同时注意在这里二次项系数不能为零；要注意运用分类的数学思想考虑全面；注意读题的重要性.
[师]一元二次方程的根与系数有关系也是中考一重要考点，请大家完成例4巩固这一知识点.
（1）设、是方程的两根，则①＝ ；
② ＝ ；③＝ .
（2）（2013•遵义）已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 ．
（3）（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= ．
【 处理方式】 （）题由三位同学自发板书，（2）题小组竞赛，几个学生分别回答不同的解题方法，渗透一题多解的思想.（3）题小组活动、探讨，交流激烈，气氛活跃.（留给学生足够的时间探索）
[师]第（3）题考查一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值.想一想如何把转化含和的代数式？
【设计意图】这三个题是根与系数关系的三个典型的应用．（1）题是利用根与系数的关系求有关根的代数式，三个小题代表了三个类型，遇到分母就通分，遇到括号就展开，遇到平方就用完全平方式；（2）题可以将根代入再求解，也可以利用根与系数的关系，体现了一题多解的思路；（3）题是利用根与系数的关系，求代数式的值，此类题要注意转化思想的训练。
【跟踪练习】
1、（2014，天门）如果关于x的一元二次方程的两个不相等实数根x1，x2满足，那么a的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、（ 2014•玉林市）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的是结论是（ ）
A．m=0时成立 B．m=2时成立 C．m=0或2时成立 D．不存在
3、（选做）已知关于的一元二次方程
(1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且，求的值和此时方程的两根．
【参考答案】1、B；2、A；3、7；4、略
【反思回味】利用根与系数的关系，求与根有关代数式的值，要注意把所求代数式转化成含两根之和、两根之积的形式，然后整体带入既可求解.
[师]经过前几站的学习，想信你一定有许多收获！我们的最后一站是一元二次方程的应用，希望同学们接下来有更好的表现.
（1）（2014·云南昆明）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【处理方式】 师：这是一道利用一元二次方程解决增长率的问题，哪位同学谈一下你的思路？生：回答、补充.
【反思回味】本题是连续降价两次，降价率（）问题的固定模式是，为原始数据，为最后数据．若是连续增长两次，每次增长率相同，我们又可得到.
【设计意图】通过设计这样一个问题，一可以复习巩固列一元二次方程解应用题的步骤,感受在实际问题中检验方程解的合理性的必要性.形成反思总结的良好学习习惯.
【跟踪练习】（2014年•江苏南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元．
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．
【反思回味】解一元二次方程应用题的一般步骤和解方程(组)基本相同,特别需要注意的是一元二次方程的根有两个,所以求出方程的根以后要检验这两个根是否都符合题意.
四、反思小结、拓展提高
【活动内容】
[师]祝贺同学们顺利的完成本课的学习内容，请说一说你的收获有哪些？
【处理方式】课件提示：学生从方面入手探究：一是学到了哪些知识；二是掌握了哪些数学思想和方法；三是还有哪些发现与猜想；四是还有哪些问题与困惑.教师鼓励学生大胆发言.
[师]细心成就成功，信心铸就辉煌！相信经过大家的努力，我们会做的更好！
【设计意图】充分交流学习心得，可以从知识与技能，过程与方法，情感态度价值观等方面进行，有利于学生总结概括所学的知识，形成完整的知识体系，有利于学生相互交流，相互学习，达到共同提高的目的，有利于学生明确自身的优点与不足，便于今后扬长避短.对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励．
五、布置作业，课后促学
[师]感谢同学们对数学的喜爱，课堂上的高效复习，请利用晚自习时间继续巩固今天的复习成果．
必做题：《新课程初中复习指导丛书》 P31-33 第、、、、、、、、题.
选做题：《新课程初中复习指导丛书》 P-第....题.
（要求学生：通过做题明确存在疑难的题目，为二次过关做好准备）
【设计意图】作业的设计突出层次性，让学生都有所得、有所获，让不同层次的学生享受成功的喜悦.可更好地调动不同学生的学习热情，另一方面巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况.为后续的教学做准备．
板书设计：
第7讲 一元二次方程
一、知识梳理
学生板演区
二、知识网络图
三、范例导航、方法总结
例： 例：
例： 例：
例：
投 影 区
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