八年级数学探索三角形相似的条件（1）鲁教版.doc

探索三角形相似的条件（1）
教学目标
1．知识目标：掌握三角形相似的判定方法1，并会用判定方法1来证明及计算。
2．能力目标：通过推导相似三角形的判定方法，培养学生的动手能力。
3．情感目标：通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，培养学生的类比的思想方法.
教学重点
利用相似三角形的判定方法来证明和计算
教学难点
相似三角形的判定方法的运用
教学方法
探索类比法
教学过程
1．创设情境，自然引入
复习相似三角形的定义，即三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形是相似三角形，它是相似三角形的一种判定方法（即定义法）。本节课我们将对三角形相似的条件继续进行探索.
三角形中有六个元素，即三个角和三条边，要进行相似的判断，就是要看在这两个三角形中角或边需满足哪些最少的条件，两个三角形就可以相似？
在判断两个三角形全等时，也是讨论边、角关系的，全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外还有HL.
2．设问质疑，探究尝试
那么，相似三角形应该如何判定呢？下面动手来做一做.
（1）画一个△ABC，使得∠BAC=60°，与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？
（2）与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？
改变∠α、∠β的大小，再试一试.
通过画图，得到：在（1）中，只有一对角相等，其他角和边没有确定，因此所画的三角形不相似；（2）中的要求画出的三角形中，∠C与∠C′相等，对应边有，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似.
改变∠α、∠β的大小，这个结论还不变.
从这两个小题中，大家能得出哪些结论？
（1）只满足一对角相等不能判定两个三角形相似.
（2）如果两个三角形中有两对角对应相等，那么这两个三角形相似.
经过探索，我们得出了判定方法1：两角对应相等的两个三角形相似.
例1．如下图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC.

（1）图中有哪些相等的角？
（2）找出图中的相似三角形，并说明理由；
（3）写出三组成比例的线段.
解：（1）

∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB
（2）△ADE∽△ABC，理由是

（3）△ADE∽△ABC.
想一想：在上面例题的条件下，吗？
答案：成立.
由DE∥BC，得
根据比例基本性质得，

即
两边同时减去1，得
－1
即
3．变式训练，巩固提高
（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？
（2）顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？
（3）已知△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°，这两个三角形相似吗？为什么？
答案：
（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.
因为是两个直角三角形，所以有一对直角相等，再加上一对锐角相等，所以有两对角对应相等，所以这两个三角形相似.
（2）顶角相等的两个等腰三角形相似.
因为两个等腰三角形的顶角相等，所以它们的四个底角都相等.因此有三对角对应相等，所以这两个三角形相似.
（3）在△ABC中，
∵∠B=75°，∠C=50°
∴∠A=55°
∴∠B=∠B′,∠A=∠A′
∴△ABC∽△A′B′C′
4．总结串联，纳入系统
本节课主要探索了相似三角形的判定方法，即两角对应相等的两个三角形相似，并且利用这个判定方法进行有关证明和计算.
教学检测
一．请你选一选
1．下列各组图形中有可能不相似的是（ ）
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形
B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是105°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形

2．△ABC和△A′B′C′符合下列条件，其中使△ABC和△A′B′C′不相似的是（ ）
A.∠A=∠A′=45° ∠B=26° ∠B′=109°
B.AB=1 AC=1.5 BC=2 A′B′=4 A′C′=2 B′C′=3
C.∠A=∠B′ AB=2 AC=2.4 A′B′=3.6 B′C′=3
D.AB=3 AC=5 BC=7 A′B′= A′C′= B′C′=

3．如上图，D为△ABC的边AB上一点，且∠ABC=∠ACD，AD=3 cm,AB=4 cm，则AC的长为（ ）
A.2 cm B. cm
C.12 cm D.2 cm
二．请你填一填
1．如下图，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是_____________（只需填上你认为正确的一种情况即可）.

2．如下图 ，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有________对，它们分别是_____________.

三．请你想一想
1.已知：△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2,问：△ABC与△A2B2C2相似吗？
2.已知：△ABC和△A′B′C′中，∠A=40°，∠B=70°，∠A′=40°，∠C′=70°.问：△ABC与△A′C′B′相似吗？
3.已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B=25°，∠C=50°,∠B′=105°,∠C′=25°.这两个三角形相似吗？
四．请你来思考
如下图：AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE相交于F，则图中相似三角形共有几对？它们分别是哪些？为什么？

参考答案
一．请你选一选
1．A 2．D 3．D
二．请你填一填
1．∠C=∠ADE（或∠B=∠AED等）
2．三 △ACD∽△ABC △BCD∽△BAC △ACD∽△CBD
三．请你想一想
1．△ABC与△A2B2C2相似
∵△ABC∽△A1B1C1.
∴∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1

设=k1
则AB=k1A1B1，BC=k1B1C1,AC=k1A1C1.
同理可知
∠A1=∠A2，∠B1=∠B2,∠C1=∠C2.
A1B1=k2A2B2,B1C1=k2B2C2,A1C1=k2A2C2
∴∠A=∠A2,∠B=∠B2,∠C=∠C2.
=k1k2, =k1k2=k1k2
∴
∴△ABC∽△A2B2C2
2．△ABC与△A′C′B′相似
在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠A=∠A′=40°，∠B=∠C′=70°
∴△ABC∽△A′C′B′.
3．解：在△ABC中
∠B=25°,∠C=50°
∴∠A=105°
∴∠A=∠B′=105°,∠B=∠C′=25°
∴△ABC∽△C′B′A′.

四．请你来思考
解：图中相似三角形共有六对，它们分别是①△ADC∽△BEC,②△ADC∽△AEF,③△BEC∽△BDF,④△BDF∽△AEF,⑤△BDF∽△ADC,⑥△AEF∽△BEC.
∵AD⊥BC,BE⊥AC
∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠CEB=90°
（1）在△ADC与△BEC中
∵∠ADC=∠BEC=90°
∠C=∠C
∴△ADC∽ △BEC
（2）在△ADC与△AEF中
∵∠ADC=∠AEF=90°
∠DAC=∠EAF
∴△ADC∽△AEF
（3）在△BEC与△BDF中
∵∠BEC=∠BDF=90°
∠EBC=∠DBF
∴△BEC∽△BDF.
（4）在△BDF和△AEF中
∵∠BDF=∠AEF=90°，
∠BFD=∠AFE
∴△BDF∽△AEF.
（5）由△BEC∽△ADC得
∠DBF=∠DAC
∵∠BDF=∠ADC=90°
∴△BDF∽△ADC
（6）由△BEC∽△ADC，得
∠EBC=∠EAF
∵∠AEF=∠BEC
∴△AEF∽△BEC