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二次函数
教学目的：使学生理解二次函数的概念，学会列二次函数表达式和用待定系数法求二次函数解析式。
重点难点：二次函数的图象与性质都是由它的概念所决定的，因此二次函数的概念是本节教学中的重点
例2要用到待定系数法和解三元一次方程组是本节教学中的难点。
教学方法：讲授法。
教 具：纸板模型
教学过程：
1。回顾旧知：（可请一位学生口答）
正比例函数--------------y=kx ( k≠0)
反比例函数---------------y= k/x (k≠0)
一次函数---------------- y=kx+b (k,b 是常数，且k≠0)
2。新课引入：
(1)出示下列函数让学生仔细观察：
y=20x2+40x+20
y= x2 +3
y=5x2+12x
y=3x2
(2)学生观察的同时，教师适时启发：
①这几个函数是我们已学过的三种函数吗？
②这些函数的自变量x的最高次数是多少？
③第1个函数的右边是二次三项式，请同学们说出二次项，一次项，常数项及二次项系数，一次项系数，常数项。
④第2个函数的右边只有什么项？缺少什么项？请同学们补全。类似请同学们将（3）（4）补全。
⑤启发学生通过刚才观察归纳出上述函数的一般的形式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0）。
3。点题：今天我们就来学习这类函数-------二次函数，教师板书并给出二次函数的概念：形如y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，且a≠0)的函数叫二次函数。
4。巩固练习1：
下列函数是否为二次函数，若是，分别说出二次项系数，一次项系数及常数项a,b,c。
(1)y=πx2 (2)y= 2x (3)y=1-3x2 (4)y=20x2+40x+20
(5)y= 6x2+2x－1 (6)y= －x2+3x+2 (7)y=2x (x－3) (8)y=x (x+1)－x2
(9)y=ax2+2x+5 (a为实数) (10)y=(k2+1)x2+kx+2 (k为实数)
5。例题引入：运用模型直观演示正方形由于边长x变化产生正方形面积s的变化
同时说明在此过程中x是自变量，而s是关于自变量x的函数。并将函数关系式表示出s=x2。请同学们判断s是x的什么函数。
6。例题讲解：
例1 已知一隧道的截面如图，它的上部是半圆，下部是一个矩形，矩形的一条边长 是2. 5m。设截面上部半圆的半径为r，隧道截面的面积为s。
（1）求s与r之间的函数关系式。
（2）求当r =2m时，隧道截面的面积（π取3.14，结果精确到0.1m2)
分析： 教师运用模型讲解时讲清以下几点：
（1） 什么是自变量？什么是自变量的函数？
（2） 矩形的另一条边长是半圆的直
7。 巩固练习2：
(1)已知一个直角三角形的两直角边的和是10cm。若设其中
一条直角边长为xcm。，则另一条直角边长为 ，若这个直角三角形的面积为s，则s关于x的函数关系式是 。
当x=5时，直角三角形的面积为 。
（2）已知二次函数y=3x2+2x+1。
①当x=0时，函数值y=
②当x= －1时，函数值y=
③当x=1时，函数值y=
④当y=1时，x=
⑤当y= －5时，x=
⑥当y=－3时，x=
8。例题讲解：
例2：已知x的一个二次函数，在x=0时的值是1；
在x=－1时的值是0；在x=1时的值是3。
求这个二次函数。
分析：讲解时注意以下几点：
（1）用待定系数法来求这个二次函数。
（2）消元法解三元一次方程组。
（3）师生在完成例题后，同时强调：根据题意先设定二
次函数y=ax2+bx+c关系式，其中a,b,c是待确定的常数，然后根据已知条件列出以a,b,c为未知数的方程组，求得a,b,c的值。从而得出函数关系式，这种求函数关系式的方法叫待定系数法。
9。学生课堂练习：（指定一名学生板演，教师巡视检查）
已知二次函数y=ax2+c，当x=2时，y=4；当x=－1时，y=－3。
（1）求a,c的值；（2）求当y=0时，x的值。
10。课堂小结：
①二次函数的概念及二次函数解析式，强调二次项系数不为零。
②二次函数的表达式：完全形式，缺项形式。
③用待定系数法来求二次函数解析式。
11。布置家庭作业及思考题：
①函数y=ax2+bx+c一定是二次函数吗？
② 已知函数y=mxm2+m+2 +7x+3是关于x的二次函数，试确定m的值。
③以前我们用描点法来探索正比例函数，反比例函数，一次函数的图象与性质。请同学们自已动手操作，画一画二次函数y=x2，与y=－x2的图象，并观察图象有何特点？
实际问题与二次函数
教学目的：1、使学生理解二次函数的概念。
2、使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。
3、为分散后面教学的难点，可在本节解决较简单的用待定系数法确定二次函数解析式的问题。
教学重点：对二次函数概念的理解。
教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。
教学过程：
一、 复习提问
1、 什么是函数？它有几种表示方法？
2、 什么叫一次函数？自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有 的条件？ 值对函数性质有什么影响？（复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量 、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解。强调 的条件，以备与二次函数中的 进行比较。）
二、 由实际问题引入新课
函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系。（电脑演示）
例1、正方形的边长是 x cm ，面积ycm2与边长x 之间的函数关系如何表示？y= x2
例2、农机厂第一个月水泵的产量为50（台）第三个月的产量 y(台) 与月平均增长率x 之间的函数关系式如何表示？
解：函数关系式是y=50(1+x)2 即y=50x2+100x+50
由以上两例，启发学生归纳出（1）函数解析式均为整式。（2）自变量的最高次数是2。
三、 讲解新课
以上函数不同于我们所学过的正比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。
（板演）
二次函数的定义：形如y=a x2 +bx+c (a不为0) 的函数叫做二次函数。
巩固对二次函数概念的理解：
1、 强调“形如”，即由形来定义函数名称。二次函数即y 是关于x的二次多项式。
2、 在 y=a x2 +bx+c 中自变量是 x ，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。
3、 为什么二次函数定义中要求a不为0 ？
4、 b和c 是否可以为零？由例1可知，b 和c 均可为零。
若 b=0 则y=a x2 +c
若 c=0 则y=a x2 +bx
若 b=c=0 则y=a x2
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=a x2 +bx+c 是二次函数的一般形式。
四、 巩固新课
例1、 设圆柱的高 h 是常量，写出圆柱的体积v 与底面周长c之间的函数关系式。
分析： V=底面积 ×高。底面积=nr2 ，而 r 与周长c 的关系是c=2 nr, 则r= 。
解：函数解析式是
整理得
请同学指出自变量是 c ，取值范围 c大于0
例3 篱笆墙长 30cm ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y 与长 x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
解：花坛长为x, ，则宽为
解析式为
整理得y=15x-
请同学指出a=-,b=15, c=0
例4 已知二次函数y=a x2 +bx+c ，当x=0 时， y=0, x=1 时，y=2 ,x= -1 时y=1 ，求a,b,c ，并写出函数解析式。
解：由已知条件得0=a.o+b.0+c
2=a .1+b.1+c
1=a(-1)2+b (-1)+c
解此方程组求出a,b,c的值
（考虑到本节内容不多，为分散用待定系数法求解析式的难点，可在此节中加入例4）
五、 布置作业
1、 在长 20cm 宽 15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm 的正方形，写出余下的木板的面积y 与正方形边长x 之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。
2、 书中116 页1,2题。
用函数观点看一元二次方程
教育价值：
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。伽利略(Galileo Galilei)所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一．
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题．
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等．
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验．
二、教学目标
1．使学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系；
2．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理地进行思考和语言表达的能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；
3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，并逐步积累研究一般函数性质的经验；
4．能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；
5．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，求一元二次方程的近似解；
6．能利用二次函数解决实际问题和对变量的变化趋势进行预测．
三、设计思路
对二次函数的学习，应该通过大量丰富的现实背景，通过学生感兴趣的、广泛联系多学科的问题，使学生感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值。对二次函数的学习，应该通过学生的探究性活动（经历数学化的过程），通过学生之间的合作与交流。因此本章安排了尽可能丰富的素材和大量的学生活动，具体的做法如下：
1．通过分析实际问题，如探究橙子的数量与橙子树之间的关系、及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，使学生感受二次函数与生活的密切联系；
2．对二次函数性质的研究，采用的是利用图象的、直观的、非形式化的研究方法，通过学生自己的探索活动（联系、对比、概括和反思等），达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解；
3．对二次函数图象的研究，是从y = x2开始，然后是y =ax2、y =ax2+c、y =a（x-h）2+k、y =a x2 + b x + c的从简单到复杂、特殊到一般的过程；
4．在对图象研究的过程中，也穿插实际应用问题，如函数图象与刹车距离、两个吊桥最低点之间的距离等，把图象直观与实际意义相联系；
5．用表格、关系式、图象的多种方法表示二次函数，使学生会用多种方式表示函数、并体会函数的各种表示之间的联系和特点；
6．设计大量的可以表示为二次函数、利用所学的二次函数知识可以解决的实际问题，发展学生的数学应用能力；
7．建立一元二次方程的求解问题与二次函数之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
四、具体内容分析及教学、评价建议
第一节 二次函数所描述的关系
由种橙子的问题引出二次函数，体现二次函数是对现实问题中一类变量之间关系的描述；以问题串的形式，引导学生逐步得到橙子的总产量与橙子树的关系表达式；给出橙子的总产量与橙子树的关系表达式；利用“想一想”，提出进一步的最大产量的问题；用统计的方法得到关于最大产量的一种猜想，问题的最后解决留在以后；在“做一做”的活动中，把两年后的本息和y与年利率x的关系表示为二次函数；在以上两例的基础上，给出二次函数的定义，并举出以前所见到的一些二次函数关系式；通过“随堂练习”和习题，学生进一步明确二次函数的概念和进一步体会二次函数所描述的关系．
第二节 结识抛物线
研究二次函数的图象，并通过图象，对二次函数的性质进行研究；本节首先研究y=x2的图象；观察y=x2的表达式，选点描图；讨论图象的形状、对称性、与x轴的交点、增减性、最小值等．在y=x2的图象的基础上，研究y=-x2的图象和本身的性质，注意图象之间的联系，以及图象与表达式之间的联系；利用“读一读”，帮助学生体会二次函数的广泛应用；习题2.2中的第一题，使学生体会抛物线在自然界的普遍存在性．
第三节 刹车距离与二次函数
（研究二次项系数a对图象的影响和图象的上、下平移）
提出汽车刹车距离与车速之间关系的问题，分别给出晴天、雨天的计算公式，它们是二次函数；给出s = v2的图象，由学生作出s = v2的图象，从中体会两图象之间的关系，体会二次项系数对这个实际问题的影响；作y=2x2的图象，分析它与y=x2的图象的关系及本身的性质；讨论y=2x2 +1的图象，分析它与y=2x2的图象的关系及本身的性质；讨论y=3x2 -1的图象，分析它与y=3x2的图象的关系及本身的性质．
第四节 二次函数y=ax2 +bx+c的图象
（一．研究图象的左右、及上下平移）
作y=3（x-1）2 的图象，分析它与y=3x2的图象的关系及本身的性质；作y=3（x-1）2 +2的图象，分析它与y=3（x-1）2的图象的关系及本身的性质；讨论y=3x2、 y=3（x+1）2 ， y=3（x+1）2 +4等图象的关系及本身的性质，体会函数图象的平移；对y=a（x-h）2 +k形式的二次函数图象的性质进行小结．
（二．研究函数的对称轴和顶点坐标公式）
以桥梁钢缆的表达式，给出二次函数的一般形式y=ax2 +bx+c，并通过讨论得出由配方法将y=ax2 +bx+c的形式化为y=a（x-h）2 +k的形式，由此引出推导一个求抛物线的对称轴和顶点坐标公式的必要性；推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式；运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式．
第五节 用三种方式表示二次函数
分别用表达式、表格、图象表示长方形的面积y与它的一边长x之间的关系；结合背景，讨论函数性质（取值范围等），注意不同表达方式的不同作用和它们之间的联系；分别用表达式、表格、图象表示两数积y与其中一数x之间的关系；讨论函数性质，注意不同表达方式的不同作用和它们之间的联系； 讨论三种表达方式的各自特点和它们之间的联系．
通过本节内容的学习，可以帮助学生体会；可以用多种方式表示函数；不同的表示有不同的特点；不同的表示之间具有联系．
习题“试一试”的内容是探索规律（规律可以用二次函数形式表示出来），问题具有层次性。建议教师鼓励学生进行探索。根据情况，可以作为一次课题学习活动．
第六节 何时获得最大利润
解决T恤衫的单价问题，考虑到学生对于问题的理解，将问题分为若干步。学生最终可以得到，当销售单价是8.75元时，可以获得最大利润，最大利润是7312.5元；解决本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题；继续通过随堂练习和习题解决问题．
第七节 最大面积是多少
解决三角形内部的“长方形的最大面积”问题，考虑到学生对于问题的理解，将问题分为三步，其中第三步是以“议一议”的形式呈现；解决“窗户的最大透光面积”问题；小结解决实际问题的思路、过程．通过这两节课的学习，学生可以体会二次函数是一类最优化问题的数学模型、学习用二次函数的知识解决实际问题、小结解决实际问题的思路、过程，并进一步感受数学的应用价值．
第八节 二次函数与一元二次方程
第一课时：
以计算“竖直上抛物体的落地时间”引出二次函数与一元二次方程的关系； 讨论二次函数的图象与x轴交点的情况，以及它们和相应的一元二次方程的根的关系；利用“想一想”，拓展图象与x轴的交点到与任一条水平直线的交点；通过“随堂练习”和“习题”帮助学生进一步理解二次函数与一元二次方程的关系；注意引导学生体会本问题中方程的根的实际意义．
第二课时：
提出问题：利用二次函数图象估计方程的根，注意本书只取到十分位；讨论并求出方程x2+2x-10=0的近似解；用一元二次方程的求根公式进行验证；利用图象法求出方程x2+2x-10=3的近似解；利用图象法求出方程-2x2+2x-10=3的近似解；
课题学习：拱桥设计
某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽100米的河流，河面距所要架设的公路桥的高度是50米，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线型拱桥是最好的选择．按照专家的建议，设计一座横跨峡谷的公路桥．
教学目标：
1．经历分析和用所学知识数学地表示桥拱的过程，发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值；
2．经历查阅资料或访问专家获得和分析信息、制作设计图或制作模型、以及撰写研究报告的过程，获得科学研究的体验、培养科学精神；
3．能够利用二次函数的知识对桥拱的形状进行分析和表示；
4．能够在解决问题的过程中与人合作和进行交流，并在交流的过程中对自己的观点进行有条理地论述．
设计思路：
本课题学习是为了使学生经历研究性学习的过程，体会数学在建筑上的应用，并把所学二次函数的知识运用到桥梁设计上．学生在进行桥梁设计的过程中，要经历查阅资料、访问专家、进行计算与设计、撰写研究报告、交流与改进等过程，从而发展科学态度和人文精神．
几点说明
1． 观察家乡附近的桥梁、查找资料、访问专家．如资料：拱桥是桥梁家族中的重要一员．拱桥以其跨越能力大、造型优美灵活、可雄伟壮观、可小巧玲珑，不仅在中国，而且在世界上均为建筑历史最悠久、建设数量最多的主要桥型之一． 据不完全统计，中国已建单跨100m以上的拱桥115座，远高于其它类型的桥梁，拱桥是中国公路桥梁的主导桥梁．拱桥根据拱轴线的不同，一般可分为圆弧拱桥、抛物线拱桥和悬链线拱桥。拱轴线的选择主要根据的是力学上的分析，另外还有桥的跨度、施工条件等方面因素的考虑．
2．画设计图并表注数据；如有条件，可以制作模型；在全班的交流会上，展示所收集到的图片、桥梁轶事、设计图、模型等，并报告设计思路、设计过程、桥梁的表达式等；听取同学、教师或专家的意见，并回答他们的问题；改进设计，加入个人的评语或心得，把使自己满意的设计结果放入成长记录袋。
教学建议
1．拱桥设计问题是原始问题，和通常所习惯的数学问题不同，已知条件并不由题目直接给出，而要学生根据设计需要自行确定，因此最好让学生自己说一说理由．
2．让学生经历从调研、设计到汇报、改进、评价的全过程，获得科学研究的体验，并对学生的活动给予帮助和建议．
3．可以让学生以小组合作的方式完成，并鼓励各小组之间的交流．
课题学习：设计遮阳蓬
你能设计一个遮阳蓬，使得这个装置能够阻挡夏天炎热的太阳光射入室内，又能使冬天温暖的阳光最大限度地射入室内吗？
教学目标
1．经历把实际问题数学化，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题的过程，发展数学应用的能力，并体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值；
2．经历查阅资料或实地测量获得所需数据、动手制作模型和撰写研究报告的过程，获得科学研究的体验、培养科学精神；
3．能够综合运用数学、地理或其它学科的知识解决生活中的问题，发展社会责任感；
设计思路
本课题学习是为了学生能够综合运用所学知识，如三角函数、圆、抛物线等数学知识及地理知识等解决实际问题，体会到数学是一门具有广泛联系的学科，数学是一门十分有用的学科．
在解决问题的过程中，学生要经历查阅资料、收集和分析信息、实地测量、提出设想、画图、动手制作模型等过程，在此过程中，学生将获得科学研究的体验，以及发扬与同伴合作和克服困难的精神，使他们的自信心得到发展．
本课题学习也是为了使学生经历将实际问题数学化，即将实际问题简单化、用所学数学知识表示实际问题、进行数学计算或数学推理、得到数学结论、回到实际进行检验的数学建模过程。数学建模是解决问题的过程，也是重要的学习数学、体会数学思想方法的过程．
几点说明
一．制定解决问题的方案
在这个问题中，有哪些条件需要由我们自己去寻找？有哪些条件我们可以简化？如何用数学的方式表示遮阳蓬的位置和大小？
我们将如何分工与合作？我们以何种形式报告我们的研究结果？我们是否可以为家里设计一个遮阳蓬？
二．查资料（需要知道太阳在北纬不同纬度及不同季节的入射角）
三．假设（将问题简单化，用字母进行表示）
1．地处北纬400地区，窗户的方向朝南；
2．选夏至和冬至的太阳入射角（α，β）作为代表；
3．窗户的高度用w表示。
四．分析（寻找变量之间的关系）
五．建立数学表达式及求解
六．将结果推广到一般形式（数学模型）
七．动手实践活动
你能否为需要遮阳装置的房间真正制作一个遮阳蓬？你能否对周围建筑物的遮阳装置提出改进建议？你能否利用模型制作展示你的设计？
教学建议
1．实际应用问题和通常所习惯的数学问题不同，实际应用问题的条件往往不是直接给出的，要引导学生自己分析哪些量是已知的，哪些量是未知的，以及可以进行怎样的假设，如假设窗户的朝向等；
2．在建立量与量之间的关系时，注意要引导学生将复杂问题简单化，即舍弃一些次重要的因素，抓住主要的矛盾，作出合理的假设，并在此基础上寻求最合理的答案，如以冬至和夏至的日照角度为准来考虑和解决遮阳蓬的设计问题等。通过解决实际问题的数学活动，学生要逐渐地习惯这种先把问题理想化，然后建立数学模型的过程；
3．鼓励学生自己通过查阅资料或进行实地测量获得数据，为解决问题提供必需的条件；
4．鼓励学生把所得到的结果推广到一般化，或将问题进一步延伸与拓展．
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