初三数学第一学期解直角三角形专题 华东师大版.doc

初三数学第一学期解直角三角形专题
一. 本周教学内容：
解直角三角形专题

［学习目标］
1. 经历由情境引出问题，探索掌握有关的数学知识内容，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力。
2. 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的实际问题。
3. 通过实例认识直角三角形的边角关系（锐角三角函数），知道30°、45°、60°角的三角函数值，会使用计算器由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它的对应锐角。
4. 运用三角函数解决与直角三角函数有关的简单实际问题。
5. 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。

［知识内容］
1. 知识归纳

2. 知识梳理
（1）测量
①常见的两种测量
②新的测量方法（三角函数方法）
（2）勾股定理
①勾股定理
②勾股定理证明方法：很多，大多数是采用面积相等的拼接方法。
③勾股定理的应用
（3）锐角三角函数
①锐角三角函数的概念，要通过画图来帮助分析，通过画图找出直角三角形中的边、角关系。
②用计算器求锐角三角函数值。
③特殊三角函数。
④有一锐角为30°的直角三角形的特征。
⑤锐角三角函数之间的关系。
（4）解直角三角形
①解直角三角形的意义。
②直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系。
③解直角三角形的应用：首先应明确有关的概念，如仰角、俯角、坡度、坡角等测量概念，其次弄清题意，准确地根据题意画出图形。
（5）解斜三角形问题
对于斜三角形问题要通过作辅助线将其转化为直角三角形解决。

【典型例题】
例1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanA＝（ ）
A. B. C. D. 24
解析：如图所示

在Rt△ABC中，
设AC＝k，AB＝5k
由勾股定理可知：

故选A

例2. 如图，为测河宽，小丽在河岸岸边任意选取一点A，再在河这边B处观察A，此时视线BA与河岸BD所成的夹角为60°，小丽沿河岸BD向前走了50米到点C处，CA与河岸BD所成的夹角为45°，根据小丽提供的信息能测出河宽吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由（结果精确到1米）。

分析：要求河宽，就应找一条线段为河宽，过A点作AE⊥BC，垂足为E，由此把△ABC分成两个直角三角形Rt△ABE和Rt△ACE。
在Rt△ABE中，
在Rt△ACE中，
而，解方程可得河宽。
解：过A点作AE⊥BC，垂足为E
在Rt△AEB中，∠ABE＝30°

在Rt△AEC中，∠ACE＝45°
∴AE＝EC

解得：32米
答：可以测出河宽，且河宽为32米。

例3. 在△ABC中，，若∠C＝90°，如图1，根据勾股定理，则，若△ABC不是直角三角形，如图2和如图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。

分析：本题的求解应设法构造直角三角形，将其转化为直角三角形以便借助勾股定理去证明。
证明：（1）当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥BC，垂足为D

设CD为x，则有
根据勾股定理得：
整理得：
，则

（2）当△ABC是钝角三角形时，则过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D

设CD为x，则有
由勾股定理得：
整理得：

例4. 计算：
（1）
（2）
分析：熟练地掌握特殊角的三角函数值就可以计算。
解：（1）

（2）

例5. 如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时货轮与灯塔M的距离是多少？（精确到0.1海里，）

分析：直接计算MD是不可能，我们发现MD是Rt△ADM和Rt△BDM的共同的直角边，由此分别在两个直角三角形中计算。
解：海里
在Rt△BDM中，∠DBM＝45°，∠MDB＝90°
∴BD＝MD
在Rt△ADM中，∠DAM＝30°，∠MDB＝90°

即
解得：（海里）
答：货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔的距离约为27.3海里。

例6. 如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC。

解析：本题的求解应抓住AB＝AD，这一重要数量关系去求解。
解：在Rt△ADE中，∠E＝90°，∠DAE＝45°

由勾股定理可得：

在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝60°

答：点B到地面的垂直距离BC为。

例7. 如图，△ABC中，∠A＝30°，，求AB。

分析：由题中条件分析出此△ABC不是直角三角形，因此要构造直角三角形过C作CD⊥AB，垂足为D。通过Rt△ADC和Rt△BCD可解出AB的长。
解：过C点作CD⊥AB，垂足为D
在Rt △ACD中，∠A＝30°

在Rt△BCD中

例8. 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米，现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）。

解析：作AB⊥CD交CD延长线于点B
在Rt△ABC中

∴有
解得：
（米）
答：缆绳AC的长为米。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 填空题。
1. 若等腰三角形的顶角为120°，底边长为2cm，则它的腰长为__________。
2. 如图1是屋架设计图的一部分，其中BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A＝30°，AB＝7.2米，则BC＝__________米，DE＝__________米。

3. △ABC的三边分别为a、b、c，其中两边为5、12，第三边为奇数，且三角形的周长为3的倍数，则第三边长为__________。
4. 边长为4的等边三角形内任意一点到三边的距离之和为__________。
5. 若∠A是锐角，且，则∠A的度数是__________。
6. 计算：__________。
7. 把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形的位置，它们的重叠部分（如图2）的面积是正方形ABCD面积的一半，若，则正方形移动的距离是__________。

图2
8. 如图3，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是__________。

图3
9. 已知，则锐角A的取值范围是__________。
10. 在平静的湖面上，有一支红莲高出水面1米，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，则这里的水深是__________米。

二. 选择题。
11. 直角三角形的周长为30cm，斜边长13cm，那么这个三角形的面积为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
12. 三角形的三个内角度数之比是1：2：3，则三边长之比为（ ）
A. 1：2：3 B. 1：4：9
C. D.
13. 如果∠α是等边三角形的一个内角，那么的值等于（ ）
A. B. C. D. 1
14. 飞机飞行中，飞行员观察地面目标的俯角为30°，此时飞机的高度表显示飞机的飞行高度为2000米，则飞机与目标的距离是（ ）
A. 2000米 B. 4000米
C. 米 D. 以上都不对
15. 在△ABC中，若，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
16. 化简的结果是（ ）
A. B. C. 2 D. 1
17. 若菱形的边长为4，它的一个内角是124°，则较长的对角线的长为（ ）
A. B. C. D.
18. 如图4，从地面上CD两处望山顶A，仰角分别是30°、45°，若C、D两处相距200m，那么山高AB为（ ）

图4
A. B. C. D.
19. 如图5所示，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为，则之间的关系是（ ）

图5
A. B.
C. D.
20. 某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高（如图6）AB＝1.8m，要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间阳光不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（ ）

图6
A. B.
C. D.

三. 解答题。
21. 计算：
（1）
（2）
22. 如图，已知平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝12，BC＝6，求。

23. 如图，四边形BCDG是矩形，∠ABG＝45°，GB＝20，BC＝4，，求EC的长度。

24. 如图（1），一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图（2），测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？

25. 如图，某货轮在A处看到灯塔B在货轮北偏东75°，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为海里。货轮由A向正北航行到D处，再看灯塔B，在南偏东60°。求：（1）A与D的距离；（2）C与D的距离。

26. 由于环境问题的恶化，近来我国部分地区频频遭受沙尘暴的袭击，如图，A市气象局预测沙尘暴中心B在A市西偏南60°相距千米处正以30千米/小时的速度向正北移动，由于防护林的影响，沙尘暴中心移至C处时沿北偏西15°，以25千米/时的速度移动。已知C处在A市为正西南方向上，距沙尘暴中心千米为沙尘暴严重影响的地区。试通过计算说明A市受这次沙尘暴的影响，并计算A市受沙尘暴影响的时间（，）。

[参考答案]

一. 填空题。
1. 2. 3.6，1.8
3. 13 4. 5. 45°
6. 2 7. 8. 米
9. 10. 1.5
二. 选择题。
11. B 12. D 13. A 14. B 15. B
16. D 17. D 18. A 19. C 20. D
三. 解答题。
21. （1）0 （2）1
22. 过D作DE⊥AB
因为AD＝BC＝6，∠A＝60°
所以
所以
23. 在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，GB＝20
所以AG＝20
因为BC＝4，四边形BCDG为矩形
所以DG＝4，CD＝20
所以AD＝AG＋GD＝24
在Rt△ADE中，
所以
所以
24. 在Rt△ABC中，因为
所以
因为AC＞0，所以AC＝2
因为ED＝2.5，
所以在直角三角形DCE中，
因为CE＞0，所以CE＝1.5
所以
25. （1）过A作AE⊥BD，垂足为E
因为，且∠DAB＝75°
所以∠B＝45°
因为（海里）
在Rt△ADE中，（海里）

（2）过C作CF⊥AD，垂足为F
在Rt△AFC中，（海里）
所以（海里）
所以（海里）
答：A与D的距离为24海里，C与D的距离为海里。
26. 过A作AD⊥BC于D
在Rt△ADB中，，则
故A市将受沙尘暴的影响。
假设BC上一点F到A的距离为（千米），CG上一点G到A的距离为（千米）
因为，所以

所以
故沙尘暴从B到C影响的时间为：（小时）
过A作AE⊥CG于E，因为CE＝60，
所以
所以在CG方向上沙尘暴影响的时间为：
（小时）
故总影响时间为（小时）