初三数学第一学期解直角三角形专题 华东师大版.doc

初三数学第一学期解直角三角形专题一. 本周教学内容： 解直角三角形专题学习目标 1. 经历由情境引出问题，探索掌握有关的数学知识内容，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力。 2. 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的实际问题。 3. 通过实例认识直角三角形的边角关系（锐角三角函数），知道30、45、60角的三角函数值，会使用计算器由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它的对应锐角。 4. 运用三角函数解决与直角三角函数有关的简单实际问题。 5. 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。知识内容 1. 知识归纳 2. 知识梳理（1）测量常见的两种测量新的测量方法（三角函数方法）（2）勾股定理勾股定理勾股定理证明方法：很多，大多数是采用面积相等的拼接方法。勾股定理的应用（3）锐角三角函数锐角三角函数的概念，要通过画图来帮助分析，通过画图找出直角三角形中的边、角关系。用计算器求锐角三角函数值。特殊三角函数。有一锐角为30的直角三角形的特征。锐角三角函数之间的关系。（4）解直角三角形解直角三角形的意义。直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系。解直角三角形的应用：首先应明确有关的概念，如仰角、俯角、坡度、坡角等测量概念，其次弄清题意，准确地根据题意画出图形。（5）解斜三角形问题对于斜三角形问题要通过作辅助线将其转化为直角三角形解决。【典型例题】 例1. 在RtABC中，C90，则tanA（ ）A. B. C. D. 24解析：如图所示在RtABC中，设ACk，AB5k由勾股定理可知：故选A 例2. 如图，为测河宽，小丽在河岸岸边任意选取一点A，再在河这边B处观察A，此时视线BA与河岸BD所成的夹角为60，小丽沿河岸BD向前走了50米到点C处，CA与河岸BD所成的夹角为45，根据小丽提供的信息能测出河宽吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由（结果精确到1米）。分析：要求河宽，就应找一条线段为河宽，过A点作AEBC，垂足为E，由此把ABC分成两个直角三角形RtABE和RtACE。在RtABE中，在RtACE中，而，解方程可得河宽。解：过A点作AEBC，垂足为E在RtAEB中，ABE30在RtAEC中，ACE45AEEC解得：32米答：可以测出河宽，且河宽为32米。 例3. 在ABC中，若C90，如图1，根据勾股定理，则，若ABC不是直角三角形，如图2和如图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。分析：本题的求解应设法构造直角三角形，将其转化为直角三角形以便借助勾股定理去证明。证明：（1）当ABC是锐角三角形时，过点A作ADBC，垂足为D设CD为x，则有根据勾股定理得：整理得：，则（2）当ABC是钝角三角形时，则过B作BDAC，交AC的延长线于D设CD为x，则有由勾股定理得：整理得： 例4. 计算：（1）（2）分析：熟练地掌握特殊角的三角函数值就可以计算。解：（1）（2） 例5. 如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45，问该货轮到达灯塔正东方向D处时货轮与灯塔M的距离是多少？（精确到0.1海里，）分析：直接计算MD是不可能，我们发现MD是RtADM和RtBDM的共同的直角边，由此分别在两个直角三角形中计算。解：海里在RtBDM中，DBM45，MDB90BDMD在RtADM中，DAM30，MDB90即解得：（海里）答：货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔的距离约为27.3海里。 例6. 如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知BAC60，DAE45，点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC。解析：本题的求解应抓住ABAD，这一重要数量关系去求解。解：在RtADE中，E90，DAE45由勾股定理可得：在RtABC中，BCA90，BAC60答：点B到地面的垂直距离BC为。 例7. 如图，ABC中，A30，求AB。分析：由题中条件分析出此ABC不是直角三角形，因此要构造直角三角形过C作CDAB，垂足为D。通过RtADC和RtBCD可解出AB的长。解：过C点作CDAB，垂足为D在Rt ACD中，A30在RtBCD中 例8. 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30，测得岸边点D的俯角为45，又知河宽CD为50米，现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）。解析：作ABCD交CD延长线于点B在RtABC中有解得：（米）答：缆绳AC的长为米。【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 填空题。 1. 若等腰三角形的顶角为120，底边长为2cm，则它的腰长为_。 2. 如图1是屋架设计图的一部分，其中BCAC，DEAC，点D是AB的中点，A30，AB7.2米，则BC_米，DE_米。 3. ABC的三边分别为a、b、c，其中两边为5、12，第三边为奇数，且三角形的周长为3的倍数，则第三边长为_。 4. 边长为4的等边三角形内任意一点到三边的距离之和为_。 5. 若A是锐角，且，则A的度数是_。 6. 计算：_。 7. 把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形的位置，它们的重叠部分（如图2）的面积是正方形ABCD面积的一半，若，则正方形移动的距离是_。图2 8. 如图3，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是_。图3 9. 已知，则锐角A的取值范围是_。 10. 在平静的湖面上，有一支红莲高出水面1米，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，则这里的水深是_米。二. 选择题。 11. 直角三角形的周长为30cm，斜边长13cm，那么这个三角形的面积为（ ）A. B. C. D. 不能确定 12. 三角形的三个内角度数之比是1：2：3，则三边长之比为（ ）A. 1：2：3B. 1：4：9C. D. 13. 如果是等边三角形的一个内角，那么的值等于（ ）A. B. C. D. 1 14. 飞机飞行中，飞行员观察地面目标的俯角为30，此时飞机的高度表显示飞机的飞行高度为2000米，则飞机与目标的距离是（ ）A. 2000米B. 4000米C. 米D. 以上都不对 15. 在ABC中，若，则下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D. 16. 化简的结果是（ ）A. B. C. 2D. 1 17. 若菱形的边长为4，它的一个内角是124，则较长的对角线的长为（ ）A. B. C. D. 18. 如图4，从地面上CD两处望山顶A，仰角分别是30、45，若C、D两处相距200m，那么山高AB为（ ）图4A. B. C. D. 19. 如图5所示，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为，则之间的关系是（ ）图5A. B. C. D. 20. 某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80角，房屋朝南的窗子高（如图6）AB1.8m，要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间阳光不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（ ）图6A. B. C. D. 三. 解答题。 21. 计算：（1）（2） 22. 如图，已知平行四边形ABCD中，A60，AB12，BC6，求。 23. 如图，四边形BCDG是矩形，ABG45，GB20，BC4，求EC的长度。 24. 如图（1），一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图（2），测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？ 25. 如图，某货轮在A处看到灯塔B在货轮北偏东75，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为海里。货轮由A向正北航行到D处，再看灯塔B，在南偏东60。求：（1）A与D的距离；（2）C与D的距离。 26. 由于环境问题的恶化，近来我国部分地区频频遭受沙尘暴的袭击，如图，A市气象局预测沙尘暴中心B在A市西偏南60相距千米处正以30千米/小时的速度向正北移动，由于防护林的影响，沙尘暴中心移至C处时沿北偏西15，以25千米/时的速度移动。已知C处在A市为正西南方向上，距沙尘暴中心千米为沙尘暴严重影响的地区。试通过计算说明A市受这次沙尘暴的影响，并计算A市受沙尘暴影响的时间（，）。参考答案一. 填空题。 1. 2. 3.6，1.8 3. 134. 5. 45 6. 27. 8. 米 9. 10. 1.5二. 选择题。 11. B12. D13. A14. B15. B 16. D17. D18. A19. C20. D三. 解答题。 21. （1）0（2）1 22. 过D作DEAB因为ADBC6，A60所以所以 23. 在RtAGB中，ABG45，GB20所以AG20因为BC4，四边形BCDG为矩形所以DG4，CD20所以ADAGGD24在RtADE中，所以所以 24. 在RtABC中，因为所以因为AC0，所以AC2因为ED2.5，所以在直角三角形DCE中，因为CE0，所以CE1.5所以 25. （1）过A作AEBD，垂足为E因为，且DAB75所以B45因为（海里）在RtADE中，（海里）（2）过C作CFAD，垂足为F在RtAFC中，（海里）所以（海里）所以（海里）答：A与D的距离为24海里，C与D的距离为海里。 26. 过A作ADBC于D在RtADB中，则故A市将受沙尘暴的影响。假设BC上一点F到A的距离为（千米），CG上一点G到A的距离为（千米）因为，所以所以故沙尘暴从B到C影响的时间为：（小时）过A作AECG于E，因为CE60，所以所以在CG方向上沙尘暴影响的时间为：（小时）故总影响时间为（小时）