资源描述
2.1花边有多宽(二)
教学目标
(一)教学知识点
1．探索一元二次方程的解或近似解．
2．培养学生的估算意识和能力．
(二)能力训练要求
1．经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力．
(三)情感与价值观要求
通过师生的共同活动，激发学生探求知识的欲望，从而加强学生估算意识和能力的培养．
教学重点
探索一元二次方程的解或近似解．
教学难点
培养学生的估算意识和能力．
教学方法
分组讨论法
教具准备
投影片五张
第一张：花边有多宽(记作投影片§2．1．2 A)
第二张：议一议(记作投影片§2．1．2 B)
第三张：上节课的问题(记作投影片§ 2．1．2 C)
第四张：做一做(记作投影片§ 2．1．2 D)
第五张：小亮的求解过程(记作投影片 §2．1．2 E)
教学过程
I．创设现实情景，引入新课
[师]前面我们通过实例建立了一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，大家来回忆一下．
[生甲]把只含有一个未知数并且都可以化为ax2+bx+c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的整式方程叫做一元二次方程．
[生乙]一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝O(a、b、c为常数，a≠0).
其中ax2称为二次项，bx称为一次项，c为常数项；a和b分别称为二次项系数和一次项系数．
[师]很好，现在我们来看上节课的问题：花边有多宽．(出示投影片§ 2．1．2 A)
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8 m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2，那么花边有多宽?
[师生共析]我们设花边的宽度为x，m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m．根据题意，就得到方程
(8-2x)(5-2x)＝18．
[师]大家想一下：能求出这个方程中的未知数x吗?
……
[师]这节课我们继续来探讨“花边有多宽”．
Ⅱ．讲授新课
[师]要求地毯的花边有多宽，由前面我们知道：地毯花边的宽x(m)满足方程
(8-2x)(5-2x)＝18．
可以把它化为2x2-13x+11=0．
由此可知：只要求出2x2-13x+11＝0
的解，那么地毯花边的宽度即可求出．
如何求呢?
[生]可以选取一些值代入方程，看能否有使得方程左、右两边的值都相等的数值．如果有，则可求出花边的宽度．
[师]噢，那如何选取数值呢?大家来分组讨论讨论．(出示投影片§2．1．2 B)
1．x可能小于0吗?说说你的理由．
2．x可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流．
3．x的值应选在什么范围之内?
4．完成下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2-13x+11
5．你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．
[生甲]因为x表示地毯的宽度，所以不可能取小于0的数．
[生乙]x既不可能大于4，也不可能大于2．5．因为如果x大于4，那么地毯的长度8-
2x就小于0，如果x大于2．5时，那么地毯的宽度同样是小于0．
[生丙]x的值应选在0和2．5之间．
[生丁]表中的值为：
当x＝0时，2x2-13x+11＝11(依次类推)，即
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2-13x+11
11
4.75
0
-4
-7
-9
[生戊]由上面的讨论可以知道：当x=1时，2x2-13x+11＝0，正好与右边的值相等．所以由此可知：x＝1是方程2x2-13x+11=0的解，从而得知；地毯花边的宽为1 m．
[生己]我没有把原方程化为一般形式，而是把18分解为6× 8．然后凑数：8-2x＝6，5-2x＝3，两个一元一次方程的解正好为同解，x＝1．
这样，地毯花边的宽度就可以求出来，即它为1 m．
[师]同学们讨论得真棒，接下来大家来看上节课的另一实际问题，(出示投影片§ 2．1．2 C)
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?
[师]上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102．
把这个方程化为一般形式为
x2+12x-15＝0．
那么你知道梯子底端滑动的距离是多少吗?即你能求出x吗?同学们来做一做．(出示投影片§ 2．1．2 D)
1．小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗?为什么?
2．底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?
3．你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
4．x的整数部分是几?十分位是几?
[生甲]小明认为底端也滑动了1 m，他的说法不正确．因为当x＝1时，x2+12x-15＝-2≠0，即x＝1不满足方程，所以他的说法不正确．
[生乙]底端滑动的距离既不可能是2 m，也不可能是3 m．因为当x＝2时，x2+12x-15=13≠0，当x=3时，x2+12x-15=30≠0，即x＝2，x＝3都不满足方程，所以都不可能．
[生丙]因为梯子滑动的距离是正值，所以我选取了一些值，列表如下：
x
0
1
2
3
4
x2+12x-15
-15
-2
13
30
49
由表中可知，当x＝1，x＝2时，x2+12x-15的值分别为-2，13，而0介于负数和正
数之间，所以我猜测；的大致范围是在1和2之间．
[生丁]由刚才的讨论可知：x的大致范围是在1和2之间，所以x的整数部分是1．我在1和2之间取了一些值，如下表：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
x2+12x-15
-0.59
0.84
2.29
3.76
5.25
6.76
8.29
由表中可知：x在1．1和1．2之间，所以x的十分位是1．
[师]同学们回答得很好，下面来看小亮的求解过程．(出示投影片§2．1．2 E)
小亮把他的求解过程整理如下：
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x-15
-15
-8.75
-2
5.25
13
所以1<x<1．5．
进一步计算：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x-15
-0.59
0.84
2.29
3.76
所以1．1<x<1．2．因此J的整数部分是1，十分位是1．你们的结果怎样呢?
[生齐声]与他的一样．
[师]很好，对于这两个问题的具体解决，我们是先根据实际问题确定了其解的大致范围，然后通过具体计算进行两边“夹逼”，逐步获得了问题的解或近似解．
“夹逼”思想是数学中近似计算的重要思想，大家应了解．
接下来，我们来解决上节课的第2个问题，以巩固本节课所学的知识．
Ⅲ．课堂练习
课本P46随堂练习
1．五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数
分别是多少吗?
解：设五个连续整数中的第一个数为x，则根据题意，可得方程
x2+(x+1)2+(x+2)2
＝(x+3)2+(x+4)2．
把它化为一般形式：x2-8x-20＝0．
可列表如下：
x
-1
-2
-3
…
9
10
11
x2-8x-20
-11
0
12
…
-11
0
13
所以x＝-2或x＝10．
因此，这五个连续整数依次为-2，-1，0，1，2或10，11，12，13，14．
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想．
Ⅴ．课后作业
(一)课本P46习题2．2 1、2
(二)1．预习内容：P47～P48
2．预习提纲
(1)复习完全平方公式
(2)会用开平方法解形如(x+m)2＝n(n≥0)的方程．
Ⅵ．活动与探究
梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2+12x-15=0，我们已经能猜出滑动距离x(m)的大致范围是1和2之间，并且知道x的整数部分是1，十分位是1，那么你能求出x的百分位吗?
[过程]这道题也是一个求方程的近似解的题,要求学生估计近似解，从中体会无限逼近的思想，并进一步促进学生对方程解的理解，发展其估算意识．
[结果]
根据方程x2+12x-15＝0，可列表：
x
1.10
1.11
1.12
1.13
x2+12x-15
-0.59
-0.4479
-0.3056
-0.1631
x
1.14
1.15
1.16
x2+12x-15
-0.0204
0.1225
0.2656
所以1．14<x<1．15．
因此，x的百分位是4．
板书设计
§2.1.2 花边有多宽（二）一、地毯花边的宽x(m)满足方程（8-2x）(5-2x)=18，
即2x2-13x+11＝0．
注：x>0，
8-2x>0，
5-2x>0．
二、梯子底端滑动的距离x(m)满足方程
(x+6)2+72＝102，
即x2+12x-15=0．
所以1<x<2.
x的整数部分是1，
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2-13x+11
11
4.75
0
-4
-7
-9
所以x的整数部分是1，十分位是1．
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
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