资源描述
3.2圆的轴对称性（2）
教学目标
1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题；
2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育.
教学重点和难点
垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点.
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述)
2.结合图形7-35，教师引导学生写出垂径定理的下述形式：
题设 结论
线CD平分弦AB
指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤.提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题 二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论
1.引导学生观察图形，选①③为题设，可得：
由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.
这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出.
已知：如图7-36，在⊙O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点.
求证：CD⊥AB，.
分析：要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD.
证明：连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形.
因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB，
又因为CD是直径，所以
2. 若选①④为题设，可得：
以上命题用投影打出，引导学生自己证出
3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的二个命题，教师板书出垂径定理的推论1.
推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.
三、应用举例，变式练习
例1 平分已知.
引导学生画图，写已知、求作.
已知： (图7-38)，求作：的中点.
分析：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.因此，连结AB，作弦AB的垂直平分线，它一定平分.
作法：(由学生口述，教师板书，师生共同作图)
练习1 四等分已知.
引导学生在平分的基础上，进一步平分AM和BM，即可四等分AB.
作图后，提问：四等分弦AB是否可四等分，为什么?如图7-39所示.
在学生回答的基础上，强调：这种作法是错误的，虽然在等分时作法是对的，但是在等分和时是错误的，因为AT，BT不是和所对的弦.因此AT，BT的垂直平分线不能平分和，请同学们务必注意.
练习2 按图7-40，填空：在⊙O中
此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论.
例2 1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥(图7-41)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧
所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求桥拱的半径.(精确到0.1米)
首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，同
时也可激发学生学习数学的兴趣.
关于赵州桥的说明：
赵州桥又名“安济桥”，位于河北省赵县城南交河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、
隋开皇大业年间(590～608)由李春创建.桥单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约
为37米，弧形平缓，拱圈为28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节省材料，
又便于排洪，且增美观在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之
大在当时亦属首创，反映了我国古代劳动人民的智慧与才能.
分析：(1)首先说明跨度、拱高等概念，然后引导学生设法把实际问题转化为数学问题
，并画出几何图形(图7-42)，且一边画图一边解释：桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画
出一段圆弧表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB＝37.4米，的中点C到线段AB的距离为.2米.
这样我们就可以根据实际问题，参照上图写出数学问题的已知和求解.
(2)实际问题已转化为数学问题，下面讨论如何解决这个问题.
启发学生观察图形、发现：对于，如果经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，并延长交于点C，那么根据垂径定理可知，OD平分弦，OC平分弧，即C点为AB的中点，CD就是
拱高，这样做出的图形符合题意.
根据勾股定理，在Rt△AOD中就可求出半径R. 解题过程，参考课本. 对于此题，学生往往是过的中点C先作出弓形高CD，即过C作CD⊥AB，垂足为D，如果是这样的话，可引导学生根据垂径定理，首先证明直线CD经过圆心O，仍然可利用勾股定理，求出半径R.
说明：此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧也
可以经过弧的中点作弦的垂线，说明它平分弦且经过圆心.解决这类问题时，只要抓住弦长
、弦心距、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量，这种
思考方法今后要经常用到.
例3 已知；如图7-43，⊙O半径为6厘米，弦AB与半径OA的夹角为30°. 求：弦AB的长.
分析：已知圆的半径和半径与弦的夹角.要求弦长，只要利用圆的半径、弦长、圆心到
弦的距离之间的关系即可.过圆心O作AB的垂线段OD，解Rt△AOD，求出AD即可求得AB.
解：作OD⊥AB于D，则AD＝DB，
在Rt△AOD中，因为∠DAO＝30°
练习3 如图7-44(厘米)
在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度.
通过此练习题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.再一次明确弦长a、弦心距d、半径r及弓形高h之间的关系.(图7-45)
四、师生共同小结
问：这节课我们学习了哪些主要内容?
在学生回答的基础上，用投影出示垂径定理及其推论的基本图形，如图7-46.
指出：若垂径定理或推论中的某一个成立，则
(1) △CAB，△OAB，△DAB都是等腰三角形，弦AB是它们公共的底边，直径CD是它
们的顶角平分线和底边的垂直平分线.
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