资源描述
《9.2 多边形的内角和与外角和》教案
第一课时
教学目的
1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。
2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会利用它们进行有关计算。
重点、难点
1．重点：多边形的内角和与外角和定理。
2．难点：多边形的内角和，外角和定理的推导。
教学过程
一、复习提问
1．什么叫三角形?
2．三角形的内角和是多少?
3．什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少?
二、新授
1．多边形的概念，
三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。
你能说出什么叫四边形、五边形吗?
如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写)
A
D D F
B C E C C A
E
A B D
B
(1) (2) (3)
图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE。
一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。
与三角形类似如图，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，延长 AB、CB得四边形ABCD的两个外角∠CBE和∠ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有n个内角，有2n个外角。
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，线段AC是四边形 ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。
问：(1)四边形有几条对角线?(两条AC、BD)
(2)五边形有几条对角线?
以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以月为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。
(3)六边形有几条对角线?n边形呢? 六边形有9条对角线。
从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条， (除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有n(n- 3)条对角线。
大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线；当n=4时，有2条；当n=5时，有5条；当n=6时，有9条…
2．多边形的内角和公式。
三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180°，那么一般n边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形……开始。
从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成2个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。
让学生填写教科书表9.2.1,由此你可以得到“n”边形的内角和公式吗?
多边形的边数
3
4
5
6
7
…
n
分成的三角形的个数
1
2
…
多边形的内角和
180°
360°
…
由此，可得n边形的内角和为(n-2)·180°。知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n。
例1.求八边形的内角和的度数。
分析: n边形的内角和公式为(n-2) 180 ° ,现在知道这个多边形的边数是，代入这个公式既可求出.
解 （n－2）×180°=（8－2）×180°=1 080°
例2.已知一个多边形的内角和的度数为2160°，求这个多边形的边数。
解 （n－2）×180° = 2160°
（n－2）=2160°÷180°
（n－2） = 12 n= 12 +2 n=14
例3（补充）. 已知在一个十边形中，九个内角的和的度数是1290°，求这个十边形的另一个内角的度数.
分析：先求出十边形的内角和，再减去1290°,就可以得出.
解: （10－2）×180° =1440 °
则十边形的另一个内角的度数为
1440 °- 1290° =150
三、巩固练习
教科书第86页练习1．2。
四、小结
本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°。这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握。在转化过程中，我们还发现多边形的对角线的条数的计算公式。以及正多边形的特征。希望同学们在以后学习生活中勤思考，多练习！灵活运用所学知识解题。
五、作业: 教科书P88习题9.2第1、2题。
六、教学反思：
第二课时
教学目的
1．使学生理解与掌握多边形的外角和为360°的定理，并能用它来解决一些简单问题。
2．使学生感受学习数学的快乐,体会数学之美,激发学生学习数学的兴趣。
重点、难点：
多边形外角和为360°的探索、深入理解与应用
教学过程
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动1]
问题:类比三角形的外角和,你能定义多边形的外角和吗?
让学生回顾问题
教师展示学生思路
学生思考、交流、归纳回答问题
让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程,培养学生语言表达能力. 及时鼓励学生,向学生渗透类比的数学思想方法.
[活动2]
问题1:展示图片
(1)清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们。
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)在此图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？
（4）还有其它的证明方法吗？
问题2:“想一想”：如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？
问题3:根据刚才的几个结论,你有何猜想?
问题4:比较多边形的内角和与外角和公式
教师展示图片
教师由浅入深展示问题,适合七年级学生的认识水平.
外角和是怎样形成的?
方法一：引导学生联系下面的问题考虑外角和的求法:
（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？
（2）五边形的五个外角加上与它们相邻的内角，所得的总和是多少？
（3）上述总和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
方法二：如左图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′,OB′,OC′,OD′,OE′,得到∠α, ∠β,∠γ,∠δ, ∠θ,其中，∠α=∠1，∠β=∠2,∠γ=∠3,∠δ=∠4, ∠θ=∠5。
这样，∠1，∠2,∠3,∠4, ∠5的和等于360°
方法三：如课本89页图7.3-12的解释。
学生分组讨论、归纳后总结
学生思考、交流、归纳:多边形的外角和等于360度
学生分组讨论,小组归纳总结:
内角和结论与多边形的边数n有关----很自然,
外角和与多边形的边数n无关----很奇怪
值得思考
从学生生活经验出发,创设情境、提出问题,激发学生学习数学的兴趣.
理解问题本身是解决问题的基础,本例通过图片了解小明行走上的路线,教师应注意培养学生的读题能力.
引导学生进入一种研究状态获得新知,对学生来说是一种创新.
从已有知识结构中讨论、分析、归纳获得新的创新.
在交流合作过程中感受合作的重要性.
学生从交流中获益、达成共识,体会数形之间的关系.
这一较深刻问题的提出,意在引起学生的思考,从中发现其中的差异,而这正是培养学生提出问题能力的机会.
[活动3]:“议一议”：利用多边形外角和的结论，能推导多边形内角和的结论吗？反过来呢？
小组协作,讨论交流
教师给学生充足的时间说出各自的想法
教师应关注学生能否在独立思考的基础上,积极参加对问题的讨论,并勇于发表自己的见解.
给学生提供一个更深刻理解外角和定理的机会.
[ 活动4]
练习:
(1)一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
(2)一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是几边形？
(3)有一个n边形的内角和与外角和之比为9:2，求n边形的边数。
*(4)已知，过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，求（m-p）n。
教师展示题目
学生独立完成
教师巡视,了解学生对本节知识的掌握情况.对学困生给予指导.
了解学习效果,给学生以获得成功的体验.
[活动5]
小结
教师引导学生归纳总结:
(1)这节课学习了哪些内容?
(2)通过这节课的学习你有什么收获?
加深对问题的理解.从多角度引导学生学习数学,认识数学.
[活动6]
作业:一个多边形的内角和与某一外角和等于1350°,你知道这个多边形的边数吗?
教师布置作业
学生独立完成
复习巩固本节知识
学会总结反思,初步学会自我评价.
教学反思：
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