陕西省石泉县八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题同课异构教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级上册数学教案.doc

13.4课题学习 最短路径问题
课标依据
无
一、教材分析

本节课主要内容是最短路径问题，是在学习了轴对称之后进一步理解并掌握“两点之间，线段最短”，通过实际的生活问题让学生经历实际问题抽象成数学的线段最短问题，为以后学习更多的最值问题打下基础。

二、学情分析
学生已学习过研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”以及“三角形的第三边大于另两边之差，小于另两边之和”等的问题. 学生学习基础一般，在数学问题的提出和解决上有一定的方法，但不够深入和全面，需要教师的引导和帮助。
三、教学目标
知识与
技能
能利用轴对称解决简单的最短路径问题----日常生活中的实际问题。

过程与
方法
培养的探究、归纳、分析、解决问题的能力。
情感态度与价值观
体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想,增强几何学习的兴趣。
四、教学重点难点
教学重点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
教学难点
在实际题目中会运用最短路径问题。
五、教学方法
从学生观察、思考分析、小组合作交流、教师引导操作展示，学生练习，归纳总结、知识应用等环节

六
教学
过程设计
师生活动
设计意图
一、创设情景 引入课题
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”. (板书)课题
学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.
二、自主探究 合作交流 建构新知
追问1:观察思考,抽象为数学问题
这是一个实际问题,你打算首先做什么?
活动1:思考画图、得出数学问题
将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.

追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?

强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”
活动2:尝试解决数学问题
问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?
追问1　你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?

问题2　如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB的和最小?

师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充
如果学生有困难,教师可作如下提示
作法:
(1)作点B 关于直线l 的对称点B';
(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求.
如图所示:

问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
教师展示:证明:如图,在直线l 上任取一点C'(与点C 不重合),连接AC',BC',B'C'.
由轴对称的性质知,
BC =B'C,BC'=B'C'. ∴AC +BC= AC +B'C = AB', AC'+BC'= AC'+B'C'.
在△AC'B'中, AC'+B'C'>AB',
∴当只有在C点位置时, AC+BC最短.
方法提炼:
将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.
三、巩固训练
(一)基础训练
1.最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.
如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.

(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.
如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB'的交点.

(二)变式训练；《学案》75页：第 6 题
四、反思小结
(1)本节课研究问题的基本过程是什么?
(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法?你还有哪些收获?
五、作业布置
1、《学案》74—75页相关习题。
2、课本93页第15题.

教学导入，承前启后，激发学生的学习热情

交流合作，探究新知,以问题驱动，层层深入

基本操作的应用，学生及时操作，巩固所学

归纳总结，升华课堂效果

作业布置，巩固所学