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相似三角形的判定
教学内容：
一、知识精要
1、相似三角形：若一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
即：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。
2、相似比：两个相似三角形对应边的比，叫做这两个相似三角形的相似比（相似系数）。
如：若△DEF∽△ABC，则。
3、相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。
4、三角形相似的判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
三角形相似的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
精解名题：
例1、已知在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E，△ADE与△ABC有什么关系？
例2、如图，过平行四边形ABCD的顶点C作射线分别与BD、AD及BA延长线相交于E、F、G，问图中共有几对相似三角形。
例3、如图，在△ABC中，高AD、BE相交于点H。
（1）问图中共有几对相似三角形。（AA的运用，同时运动相似三角形的传递性让学生学会怎么不会漏解）
（2）连结DE，这时图中又增加几对相似三角形？（本题较难，可视学生情况将问题改为求证：①△ABC∽△CDE，②△DEH∽△ABH）
例3、四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，，，，求证△OAD与△OBC是相似三角形。
例4、点D是△ABC的边AB上的一点，且，求证：△ACD∽△ABC。
例5、如图，等边△ABC，P是边BC上任意一点（不与B、C重合），联结AP，线段AP的垂直平分线交AB、AC于点E、F，联结PE、PF。求证：。
例6、在△ABC中，，，D在AB上且，E在AC上。若△AED与△ACB相似，求AE的长。
巩固练习：
1、下列命题中，不正确的是（ ）
A．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等；
B．等腰直角三角形都是相似三角形；
C．有一个角为的两个等腰三角形相似；
D．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似。
2、△ABC∽△且相似比为，△∽△且相似比为，则△ABC与△的相似比为（ ）
A．； B．； C．； D．或
3、若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△，下列结论正确的是（ ）
A．△ABC与△的对应角不相等； B．△ABC与△不一定相似；
C．△ABC与△的相似比为； D．△ABC与△的相似比为．
4、在△ABC中，E、F分别在AC、AB上，且，则下列各式中正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
5、BD、CE是△ABC的两条高，BD、CE相交于点O。下列结论中不正确的是（ ）
A．△ADE∽△ABC； B．△DOE∽△COB； C．△BOE∽△COD； D．△BOE∽△BDE．
6、下列各图有可能不相似的是（ ）
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形； B．各有一个角是60°的两个等腰三角形；
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形； D．两个等腰直角三角形．
7、在Rt△ABC中，，CD⊥AB，垂足D在斜边AB上，则下列四个结论中正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①②④； B．②③④； C．①③④； D．①②③④．
8、已知点P是△ABC的边BC的中点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，那么这样的直线最多有（ ）条。
A．5； B．4； C．3； D．2．
9、AD是△ABC（）的角平分线，AD的中垂线和BC的延长线交于点E，
求证：。
10、如图：已知四边形ABCD是正方形，E是AD中点，，EG⊥CF于G,，
求证：。
自我测试：
1、下列说法中，正确的有（ ）
①所有的等边三角形都相似；
②有一个角相等的两个等腰三角形相似；
③若△ABC的三边长分别为12、20、28，△DEF的三边之比为，则△ABC与△DEF相似；
④在Rt△ABC和Rt△中，，那么Rt△ABC与Rt△相似。
A．1个； B．2个； C．3个； D．4个．
2、如图，AD∥BC，AB∥CE，则图中相似的三角形共有（ ）对。
A．3； B．4； C．5； D．6．
3、如图，△ABC中，，CD⊥BC于点D，DE⊥BC于E，则与Rt△CDE相似的直角三角形共有（ ）个。
A．3； B．4； C．5； D．6．
4、如图，Rt△ABC中，，BD平分，DE⊥AB，若，，则（ ）。
A．3； B．4； C．5； D．6．
（ 2题图） （3题图 ） （4题图）
5、如图，在Rt△ABC中，，D是AB的中点，DF⊥AB交BC于E点，交AC的延长线于F点，连结CD。若，，则
6、如图，矩形ABCD中，CE⊥BD与E点，延长后交AD于P点，若P是AD的中点，则 .
7、在△ABC中，M在AB上，且，，，在AC上求作一点N，使△AMN与原三角形相似，并求AN的长度。
8、已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC，AC且，AD、BE相交于点M，
求证：（1）△AME∽△BAE； （2）。
9、如图，在Rt△ABC中，，D是BC的中点，联结DA，过点D作BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F。求证：DA是DE和DF的比例中项。
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