浙江省苍南县求知中学中考数学《用二分法求方程的近似解》教案.doc

§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用。
过程与方法 让学生初步了解逼近、极限这一数学思想，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。探究与活动过程，适当借助现代化的计算工具解决问题，为学习算法做准备。
情感、态度、价值观 通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程和数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。
教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
教学难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解。
教学程序与环节设计：游戏导入推出课题实践探究总结提练知识拓展课外活动
教具准备：多媒体课件、信息技术工具计算器、电脑Excel和《几何画板》软件等。
教学过程与操作设计：
环节
教学内容设计
师生双边互动
创

设

情

境

引

入

新

课
师：大家看过李咏主持的《幸运52》节目吗？
师：同学们，这里是林老师主持的《幸运52》节目现场，下面进行商品价格竞猜。
生1：（猜师手中一款手机的价格）。
师：你猜这件商品的价格，是如何想？
生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。
生2：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；……
师：是按照生1那样每隔10元，还是按照生2那样来竟猜呢？
生：（齐答）按照生2那样来竟猜。
师：生2的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下
（展示多媒体课件，区间逼近法）。
上述动态过程，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，逐步逼近商品价格。这种思想就是二分法。
师：在现实生活中我们也常常利用这种思想。譬如，翻字典查英语单词(类似二分法)；再譬如，有9个灯泡，其中一个烧坏了，如何尽快找到？
师：我们体会到了二分法在实际生活中的用处，其实它在数学中也有很大的用处。今天这一节课我们要学习用二分法求方程的近似解。
（板书课题）

师：从学生感兴趣的《幸运52》节目进行商品价格竞猜,引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．

生：体会二分查找的思想与方法．

组

织

探

究
知识回顾：
师：上一节课我们学习：
方程=0有实数根函数的图象与X轴有交点有零点。方程的解就是相应函数的零点
师：对于不能用公式求根的方程f(X)=0来说，我们可以将它与函数Y=f(X)联系起来，利用函数的图象和性质先找出函数零点所在区间。
如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间（a，b）内有零点，即存在C（a，b），使得，这个C也就是方程=0的根。
师:如何寻找解所在区间?
生：估算和画图象
先画出y=f(x)图象，观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围；
或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察两图象的交点横坐标所处的范围（其中 f(x)= g(x)- h(x)）。
例如：lgx+x-3=0

师：下面看几个具体的方程
提出问题:（多媒体）能否求解方程： 生3：2x-1=0解为0.5,的解可用求根公式来解。
师：那方程呢？这个方程我们不会解。
生4：可以考虑求函数的零点。
方程 X3+3X-1=0 的解,就是相应函数 Y=X3+3X-1的零点,就是相应函数当函数值为零时自变量的值。
师：存在零点吗？
师：大家可以用描点法作出函数f(X)=X3+3X-1的图象：
我们可以证明函数在R是连续单调增函数，根据f(0)<0,f(1)>0,因此函数在区间(0,1)内存在唯一零点。
师：下面的问题是如何找出函数的零点？了解了二分法的思想，能否有助于求它的近似解。
合作探究：求函数在（0，1）内的一个零点（精确到0.1）？
（学生先按四人小组探究）。
生5：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值。
师：如何有效缩小根所在的区间？
生5：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
（学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程。）
生6：取区间(0,1)的中点0.5,用计算器算得,因为,所以零点在区间(0,0.5)内。再取区间(0,0.5)的中点0.25,用计算器算得,因为,所以零点在区间(0.25,0.5)内。
师：用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解。
师：引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度。
师：由于(0,1) (0,0.5) (0.25,0.5),所以零点所在的范围越来越小。如果重复上述步骤，在一定精确度下，所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值。特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值。
师：下面请同学们再操作3步
师：（用计算机展示用二分法逐步逼近零点，进而得到零点近似值）：
师：当精确度为0.1时,由于|0.375-0.3125|=0.06250.1,
方程近似解为125

师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数．
．

师：从高次代数方程的解的探索，引导学生认识二分法．

生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳

师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．
师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法．师：分析条件
“·”、“精度”、“区间中点”及“”的意义．

生：结合引例“二分查找”理解二分法的算法思想与计算原理．

总

结

提

炼
1、二分法的概念：(多媒体板书)
对于在区间[a,b]上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
师: 给定精确度ε，能否总结用二分法求函数零点近似值的步骤?
生7:(口述,多媒体板书)
2、用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间，，验证·，给定精度；
2．求区间，的中点；
3．计算：
若=，则就是函数的零点；
若·<，则令=（此时零点）；
若·<，则令=（此时零点）；
4．判断是否达到精度；
即若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2~4．

实
践
尝
试
实践尝试：
利用计算器，求方程lgX=3-X的近似解（精确度0.1）
分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．
解：（略）．
师：（指导学生看课本例2）
借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）．
解：（详见课本P90—91）．
思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？
师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．
生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．

实
践
尝
试
结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点．
思考：下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）

结论：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
师：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．

知

识

拓

展
课堂小结（投影幻灯片）
师：请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经掌握了哪些知识？
1、 二分法是一种求一元方程近似解的通法。
2、 利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。
3、 以利用函数的图象来判断方程根的个数。
师：求方程的解是常见的数学问题，在这之前我们都是在等式状态下研究方程的变化关系，从而得到诸如求根公式等方法求方程的解。但有些方程求精确解较难，本课试图从另一个角度来求方程的近似解。说求方程的近似解倒不如说是逼近解。本课重点是学习一种思维。
知识拓展
师：求函数零点的二分法,对函数图象是连续不间断的变号零点都有效。如果一种计算方法对某一类问题都有效，计算可以一步一步地进行。我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法。算法是刻板的、机械的，要进行大量的重复计算，但它的优点是一种通法，可以让计算机来实现。我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点等。
师: 我国古代数学家已比较系统地解决了求一次、二次方程和正系数三次方程根的具体方法，隋唐王孝通、北宋贾宪、南宋秦九韶。国外数学家对方程求解亦有很多研究。挪威的阿贝尔、法国的伽罗瓦成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.
虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程不能用代数运算求解，但其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如二分法、牛顿法、弦截法等。

作
业
回
馈
与
课
外
实
践
1、必修1第92页习题3、4、5
2、在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子。请你帮他设计一个维修方案来迅速查出故障所在？
3、查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料．