资源描述
26.2实际问题与反比例函数
一、教材分析
本章内容属于“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题。反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础。它位居初中阶段三大函数中的第二，区别于一次函数，但又建立在一次函数之上，而又为以后更高层次函数的学习，函数、方程、不等式间的关系的处理奠定了基础。函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，因此，本节内容有着举足轻重的地位。
二、学情分析
学生以经学习了反比例函数的概念与性质，并县通过对一次函数与二次函数与实际问题的学习，积累了从实际问题中抽象出数学模型的经验，但运用函数方法解决实际问题仍存在较多困难，部分学生在学习从实际问题到解析式一般模型的构建过程中对实际问题中的等量关系把握不是很准确，应在这方面加以引导。
三、教学目标
1.分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式。
2.会利用反比例函数的知识分析、解决实际问题。
3. 渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力。
4. 培养观察、推理、分析能力，实际问题转化为数学问题。
四、教学重点难点
重点
利用反比例函数的知识分析、解决实际问题。
难点
分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式。
五、教学过程设计
一、新课导入
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球。”你认为这可能吗？为什么？
阻力
动力
阻力臂
动力臂
引入：杠杆定律
阻力×阻力臂=动力×动力臂
二、例题讲解
例题1、小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米。
（1）动力F和动力臂ι有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？
（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
（3）假定地球重量的近似值为6×1025 牛顿（即为阻力）假设阿基米德有500牛顿的力量，阻力臂为2000千米，请你帮助阿基米德设计该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动。
解：（1）根据“杠杆定律”，有
F·ι＝1200×0.5 得函数解析式
当ι=1.5时，
因此撬动石头至少需要400牛顿的力。
（2）由（1）可知，F·ι＝600
得函数解析式
当 时，
3－1.5＝1.5
因此，若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米。
（3）由已知得 ，变形得
当F=500时，L=2.4×1029 （米）
把L=2.4×1029与地球半径6.37×106 相比，
前者是后者的近4×1022倍
由以上可知，我们在使用撬棍时，动力臂越长就越省力。
现实生活中的物理问题、行程问题、工程问题中也有很多与反比例函数有关的知识。
在自然科学电学知识中，用电器的输出功率Ｐ（瓦），两端的电压Ｕ（伏）及用电器的电阻R（欧姆）有如下关系：P·R＝U2。
这个关系也可写为 或
例题2、一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110～220欧姆.已知电压为220伏,这个用电器的电路图如图所示.
U
(1)输出功率P与电阻R有怎样的函数关系?
(2)用电器输出功率的范围多大?
解：(1)根据电学知识，当U=220时，
即输出功率P是电阻R的反比例函数。
（2）从（1）式可以看出，电阻越大则功率越小。
把电阻的最小值R=110代入①式,得到输出功率最大值:
把电阻的最大值R=220代入①式,则得到输出功率的最小值：
因此，用电器的输出功率在220瓦和440瓦之间。
思考：
结合上例，想一想为什么收音机音量、台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节？
收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速是由用电器的输出功率决定的，通过调整输出功率的大小，就能调节收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速。
三、探索训练
练习1 已知经过闭合电路的电流I与电路的电阻R是反比例函数关系，请填下表（精确到0.01㎡）
I／安
1
2
3
4
R／欧
25
40
50
分析：这是电学中的安培定律，即电路两端的电压U一定，则经过电路的电流强度I是电路中的电阻R的反比例函数，即
练习2、一司机驾车从甲地去乙地，他以80千米／小时的平均速度用了6小时到达目的地。
⑴当他按原路返回时，汽车的速度ν与行驶时间t有怎样的关系。
⑵如果该司机必须在4小时内回到甲地，则返程时的速度不能低于多少？
解：⑴路程=80×6＝480（千米）
⑵当t=4时， (千米／时)
返程时速度不能低于120千米／时。
练习3 新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表需要贴瓷砖。已知楼体的外表面积为5×103㎡
⑴所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S有怎样的函数关系？
⑵为了使住宅的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是80cm2 ，灰、白、蓝瓷砖的使用比例为2∶2∶1，则需要三种瓷砖各多少块？
解：⑴
⑵∵80cm2＝80×10﹣4m2＝8×10﹣3m2
当S=8×10﹣3时，
∵灰∶白∶蓝＝2∶2∶1
∴
答：灰、白、蓝瓷砖各需2.5×105 、2.5×105、1.25×105 块。
练习4 某厂从2001年其开始投入技术改进资金，经技术改进后，某产品成本不断降低，具体数据如下表：
年度
2001
2002
2003
2004
投入技改资金χ（万元）
2.5
3
4
4.5
产品的成本у（万元／件）
7.2
6
4.5
4
⑴认真分析表格中的数据，确定这两组数据之间的函数关系，求出解析式。
⑵按照这种规律，若2005年投入技改资金为5万元，预计生产成本每件比2004年降低多少万元？
解： ⑴
⑵当 时，
（万元）
答：2005年生产成本每件比2004年降低0.4万元。
四、学习反思
通过这两节课的学习，我们认识到了生活中所存在的反比例关系，了解到了数学与其他学科是互相渗透、密不可分的，同时也再次结合实例巩固了反比例函数的有关知识。希望同学们今后在学习中学好数学，生活中用好数学，用数学的眼光来看世界。
五、布置作业
课本54页第4题，55页第6、7题。
六、练习及检测题
练习1 已知经过闭合电路的电流I与电路的电阻R是反比例函数关系，请填下表（精确到0.01㎡）
I／安
1
2
3
4
R／欧
25
40
50
分析：这是电学中的安培定律，即电路两端的电压U一定，则经过电路的电流强度I是电路中的电阻R的反比例函数，即
练习2、一司机驾车从甲地去乙地，他以80千米／小时的平均速度用了6小时到达目的地。
⑴当他按原路返回时，汽车的速度ν与行驶时间t有怎样的关系。
⑵如果该司机必须在4小时内回到甲地，则返程时的速度不能低于多少？
解：⑴路程=80×6＝480（千米）
⑵当t=4时， (千米／时)
返程时速度不能低于120千米／时。
练习3 新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表需要贴瓷砖。已知楼体的外表面积为5×103㎡
⑴所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S有怎样的函数关系？
⑵为了使住宅的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是80cm2 ，灰、白、蓝瓷砖的使用比例为2∶2∶1，则需要三种瓷砖各多少块？
解：⑴
七、作业设计
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