九年级数学下册 第1章 解直角三角形 1.3 解直角三角形教案 （新版）浙教版-（新版）浙教版初中九年级下册数学教案.doc

解直角三角形
课题
解直角三角形

教学
目标
1、 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
2、 掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.
3、 比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.
4、 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
难点
重点
1.理解坡比、仰角、俯角的概念
2.利用三角函数、边角关系、勾股定理解直角三角形
课
堂
教
学
过
程

过
程
【知识要点一：直角三角形的边角关系】
1. 三边关系：（勾股定理）
2. 三角关系：一直角，两锐角互余
3. 边角关系：若∠A是Rt△ABC的一个锐角，则有
sin A =，cos A =，tan A =
例题讲解
例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）已知c和a，则sinA＝________，sinB＝________.
（2）已知a和∠A，则b＝________，c＝_________.

例1图 例2图
例2如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10 m，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是（ ）
A. 5sin 36°m B. 5cos 36°m C. 5tan 36°m D. 10tan 36°m
例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2 ，sinB＝.P为BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连结AP.
（1）求AC，BC的长.
（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y，问：当x为何值时，y最大？最大值为多少？

【变式训练】
1. 如图，在一个房间内，有一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a(m)，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b(m)，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（ ）
A. m B. m C. b(m) D. a(m)

第1题 第2题
2. 如图，山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋)m，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走.已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为 m/s.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是_________.
3. 在△ABC中，点P从点B开始出发向点C运动.在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x(如图①)，而y关于x的函数图象如图②所示，Q(1，)是函数图象上的最低点.请仔细观察图①，②，解答下列问题：
（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高线AH的长.
（2）求∠B的度数.
（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围.

【知识要点二：坡比】

坡比：i == tan a

例题讲解
例1如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12 m，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为_______m.

例1图 例2图
例2如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（ ）
A. 2 m B. 2 m C. (2 －2)m D. (2 －2)m
例3如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10 m，AH＝10 m，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°.若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3 m宽的人行道，问：该建筑物是否需要拆除(参考数据：≈1.414，≈1.732)？

【变式训练】
1. 如图，在平地MN上用一块10 m长的木板AB搭了一个斜坡，并用两根支柱AC，AD支撑.其中AC⊥AB，AD⊥MN，且AC＝7.5 m，则斜坡AB的坡度是（ ）
A. 3∶5 B. 4∶5 C. 3∶4 D. 4∶3

第1题 第2题
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，且AD＝BD，则由图可知75°的正切值为（ ）
A. 2 B. 2＋ C. ＋ D. 不能确定
3. 某校门前正对一条公路，车流量较大，为便于学生安全通过，特建一座人行天桥.如图是这座天桥的引桥部分示意图，上桥通道由两段互相平行的楼梯AB，CD和一段平行于地面的平台BC构成.已知∠A＝37°，天桥高度DH为5.1m，引桥水平跨度AH为8.3m.
（1）求水平平台BC的长度.
（2）若两段楼梯AB∶CD＝10∶7，求楼梯AB的水平宽度AE的长.
(参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈.)

4. 如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝.
（1）求BC的长.
（2）利用此图形求tan 15°的值(精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2).

【知识要点三：仰角、俯角】
例1如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝7 m，则树高BC为（ ）
A. 7sinα m B. 7cosα m C. 7tanα m D. m

例1图 例2图
例2如图，一艘渔船由西往东航行，在点A处测得海岛C位于它的北偏东60°方向，前进40海里到达点B处，此时测得海岛C位于它的北偏东30°方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（ ）
A. 20海里 B. 40海里 C. 20 海里 D. 40 海里
例3如图，身高1.6 m的小明为了测量学校旗杆AB的高度，在平地上C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进3 m到达D处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，求旗杆AB的高度(参考数据：≈1.7，≈1.4).

【变式训练】
1. 如图，某飞机处于点C的正上方A处，此时飞行高度AC＝1200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝43°，则飞机A与指挥台B之间的距离为________ (精确到1 m，参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93).

第1题 第2题
2. 如图，张三同学在C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方的地面上.若CD＝10 m，则此塑像的高AB约为________ (参考数据：tan 71°12′≈2.9).
3. 如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向.海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观测到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离(参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈).

【综合例题讲解】
例1如图所示是某一公路路基的设计简图，等腰梯形ABCD表示它的横断面.原计划设计的坡角为∠A＝22°37′，坡长AD＝6.5 m.现考虑到由于经济的发展，短期内车流量会增加，需增加路面宽度，故改变原设计方案，将图中(一)、(二)两块分别补到上部(三)、(四)的位置，使横断面EFGH为等腰梯形，重新设计后路基的坡角为32°，全部工程的土方数不变.请你计算：重新设计后，路面宽将增加多少米(参考数据：sin22°37′≈，cos22°37′≈，tan22°37′≈，tan32°≈)？

例2如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的点A处发现海中东北方向的点B处有人求救，便立即派三名救生员前去营救.1号救生员从点A处直接跳入海中，2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到点C处，再跳入海中，3号救生员沿岸边向前跑300 m到离点B处最近的点D处，再跳入海中.救生员在岸上跑的速度都是6 m/s，在水中游泳的速度都是2 m/s.若点B在点C的北偏东30°方向上，三名救生员同时从点A处出发，请说明谁先到达营救地点B(参考数据：≈1.4，≈1.7).

例3如图，台风中心位于点P处，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为200 km，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点320 km处.
（1）说明本次台风会影响B市.
（2）求这次台风影响B市的时间.

例4如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高.（结果不取近似值）

【课后作业】
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高线长为（ ）
A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
2. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶BC宽10 m，坝高BE为12 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长为（ ）
A. 26 m B. 28 m C. 30 m D. 46 m

第2题 第3题
3. 如图，在高为2 m，坡比为1∶的楼梯上铺地毯，地毯的长度应为（ ）
A.4 m B.6 m C.4 m D.(2＋2)m
4. 如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，已知AB＝2 km，从A站测得船C在北偏东45°方向，从B站测得船C在北偏东22.5°方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为（ ）
A. 4 km B. (2＋)km C. 2 km D. (4－)km

第4题 第5题
5. 如图，线段AB，CD分别表示甲，乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD．从甲楼顶部A测得乙楼顶C的仰角α=30°，乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼的高AB=24米，则乙楼高CD为_______米．
6. 如图，无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，无人机的飞行高度AC为60 m，随后无人机从A处继续飞行30 m到达A′处.
（1）求A，B之间的距离.
（2）求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值.