资源描述
27.2 相似三角形的性质
一、教学目标
1．核心素养
通过相似三角形性质的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力．
2．学习目标
(1)理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．相似三角形对应线段的比等于相似比.
(2)理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
(3)能利用相似三角形的性质解决一些简单问题．
3． 学习重点
相似三角形性质定理的探索、理解及应用
4．学习难点
相似三角形性质定理的探索、理解及应用
相似三角形的性质与判定的综合应用
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务1 阅读教材P37，思考：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比吗？怎么证明？
任务2 阅读教材P38-39，思考：相似三角形的周长有什么关系？相似三角形面积比与相似比有什么关系？
2．预习自测
1.△ABC与△DEF的相似比为3∶8，则△ABC与△DEF的对应高之比为( )
A．1∶3 B．3∶4 C．3∶8 D．9∶64
2.已知△ABC∽△EFD，相似比为3∶5，且△ABC的周长为24，则△EFD的周长为( )
A．15 B．20 C．40 D．120
3.两个相似三角形对应边上的中线长分别是9cm和24cm，若较小三角形的周长是63cm ，面积是27cm2，则较大三角形的周长为_______cm，面积为_______cm2.
（二）课堂设计
1.知识回顾
（1）全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等，对应高、对应中线、对应角平分线也分别相等.全等三角形的周长相等、面积相等.
（2）相似三角形定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
（3）相似三角形的识别方法有：
证二组对应角相等
证三组对应边成比例
证二组对应边成比例，且夹角相等
（4）相似三角形的特征：
如右图，△ABC ∽
边：对应边成比例
角：对应角相等
相似比：相似比=对应边的比值=.
（5）我们预习本课相似三角形的性质有哪些？怎么证明？
2．问题探究
问题探究一 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比吗？ 重点、难点知识★▲
●活动1 提出问题，引导探究
问题：三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
探究：如图，△ABC∽，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
如图，分别作△ABC和 △的对应高AD和A′D′ .
∵ △ABC∽， ∴ ∠B= ∠B′ .
又△ ABD和△A′B′D′都是直角三角形，
∴△ ABD ∽ △A′B′D′.
∴
类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于 k.
归纳：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.
●活动2 例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1∶2，若BC＝30cm，AD＝10cm，求矩形EFGH的周长．
【知识点：相似三角形的性质应用；数学思想：数形结合】
解：设HG＝xcm，则EH＝2xcm. 易得AP⊥EH.
∵AD＝10cm，∴AP＝(10－x)cm.
∵四边形EFGH为矩形，∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC．∴
解得x=6．∴HG＝6cm，EH＝12cm.
∴矩形EFGH的周长为36cm.
点拨：当利用三角形相似求线段长，涉及三角形高时，可根据相似三角形对应高的比等于相似比求线段长.
●活动3 应用练习
1.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )
A. B. C. D.
【知识点：相似三角形的性质应用；数学思想：数形结合】
解：A
2.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个三角形对应角的平分线，且AC∶A′C′＝2∶3，若BD＝4 cm，则B′D′的长是( )
【知识点：相似三角形的性质应用】
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
解： C
问题探究二 相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方？ 重点、难点知识★▲
●活动1 阅读思考，合作探究
阅读与思考：两个相似三角形的周长、面积有什么关系呢？
探究：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别是多少？
已知：△ABC∽，相似比为k. AD⊥BC于D，于.
求：（1）；（2）.
解： （1）由△ABC∽△A′B′C′，
得＝＝＝k，
∴＝＝k，
∴＝k；
（2）由＝＝·＝k×k＝k2.
归纳结论：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
●活动2 例题讲解
例1：如图，在△ABC和△DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF，∠A=∠D． 若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF 上的高和面积．
【知识点：相似三角形的判定与性质应用；数学思想：数形结合】
解：在△ABC和△DEF中，
∵ AB = 2DE，AC = 2DF,
∴，又∠D=∠A，
∴ △DEF∽△ABC，△DEF 与△ABC 的相似比为.
∵△ABC的边BC上的高为6，面积为，
∴△DEF的边EF上的高为面积为
点拨：此题由“两边成比例且夹角相等的两三角形相似”，可证得 △DEF∽△ABC，再利用相似三角形性质求的高和面积.
例2.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，求△ABC的面积。
【知识点：相似三角形的判定与性质应用；数学思想：数形结合】
解：∵DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，
∴△ADE∽△EFG∽△GIC，
∴S△ADE：S△EFG=AE：EG=20：45，∴AE：EG=2：3，
∴S△EFG：S△GIC=EG：GC=45：80，
∴EG：GC=3：4，∴AE：AC=2：9，
而△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=AE：AC=4：81，
∴S△ABC=×20=405（cm）．
故答案为：405cm．
点拨：此题是由平行得三角形相似，再由“线段比等于面积比的算数平方根”求得线段比，最后由相似三角形性质“面积比等于相似比的平方”，求得所求三角形面积.
●活动3 应用练习
1.已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为( )
A．2 B．3 C．6 D．54
【知识点：相似三角形性质】
解： C
2.如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，2BD＝3AD，那么△ADE的面积︰△ABC的面积＝（ ）．
A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4:25
【知识点：相似三角形性质；数学思想：数形结合】
解： C
问题探究三 如何应用三角形相似证题？
几何证题中，证明两线段之间的数量关系和位置关系是几何中的基本题型之一．由相似三角形对应边成比例推出“相等”或“倍分”是判断数量关系的常用方法，由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法．
活动1 合作探究 利用相似三角形证线段的数量关系和位置关系
1.证明两线段的相等关系
例1.如图，已知在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.
求证：BM＝MC.
【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】
分析：此题若利用三角形全等来证，很困难.可由平行线，得三角形相似，利用成比例线段来证.
证明：∵DE∥BC.∴△NEO∽△MBO.∴＝.
同理可得＝.∴＝.∴＝.
∵DE∥BC，∴△ANE∽△AMC.∴＝.
同理可得＝，∴＝.∴＝.
∴＝.∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.
点拨：此题利用“等比代换”是关键.
2.证明两线段的倍分关系
例2.如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E.
求证：AC＝2CE.
【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】
分析：由平行线，得三角形相似，利用比例线段证.
证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.
∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F，△BDM∽△CEM， △BAM∽△CFM，
∴＝，＝，∴＝.
又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.又AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＝∠F，
∴AC＝CF，∴AC＝2CE.
点拨：此题利用了“等比代换”、“等线代换”.
3.证明两线段平行
例3.在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M.
求证：MN∥AC.
【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】
分析：要证MN∥AC，可证∠EMN＝∠EFC，
可证△MEN∽△FEC.
证明：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，
∴＝＝，∴＝.
又∵DF∥AB，∴＝，
∴＝，∴＝.
又∵∠MEN＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.
∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.
点拨：要证两直线平行，可证其同位角或内错角相等，而相似三角形可得角相等，因此可设法证三角形相似.
4.证明两线垂直
例4.如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2＝AB·AD，BC2＝BA·BD，
求证：CD⊥AB.
【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】
分析：要证CD⊥AB，可证∠ADC＝∠BDC＝90°.
题中有成比例的线段，可证得三角形相似，从而得角相等.
证明：∵AC2＝AB·AD，∴＝.
又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC＝∠ACB.
又∵BC2＝BA·BD，∴＝.
又∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC.
∴∠BDC＝∠BCA.∴∠ADC＝∠BDC.
∵∠BDC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
∴CD⊥AB.
点拨：当题中已知有成比例的线段时，应根据其比例式证得相似的三角形，再利用相似三角形性质得角相等或成比例的线段.
活动2 应用练习
1.如图，一直线和△ABC的边AB，AC分别交于点D，E，和BC的延长线交于点F，且AE：CE＝BF：CF.
求证：AD＝DB.
【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】
证明：如图，过C作CG∥AB交DF于G点．
∵CG∥AB，∴＝，＝，
∵＝，∴＝，
∴AD＝BD.
2.如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.
求证：AE∥BC.
【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】
证明：如图，过点C作CO⊥AB于点O.
∵DE＝CD，DE⊥CD，
∴∠ECD＝∠CED＝45°.
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°.
∴∠CAB＝∠CED.又∵∠AOC＝∠EDC＝90°，
∴△ACO∽△ECD.∴＝.
又∵∠ACE＋∠ECO＝∠OCD＋∠ECO＝45°，
∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.
∴∠CAE＝∠COD＝90°.
又∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠ACB＝180°.
∴AE∥BC.
3．课堂总结
【知识梳理】
(1)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．相似三角形对应线段的比等于相似比.
(2)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
【重难点突破】
（1）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相应的性质．
（2）在应用性质“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意有相似比求面积必要平方，反过来，由面积比求相似必要开方．
（3）当相似三角形的问题中出现高、中线或角平分线时，要考虑用相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比；当相似三角形中出现周长或面积时，要考虑用相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
（4）相似多边形除了对应角相等，对应边成比例外，也有对应线段的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方的性质，以后也可以直接利用.
4．随堂检测
1.已知△ABC∽，AB=4，，AD⊥BC于D，于.则AD：=（ ）
A．5：2 B．4：25 C．2：3 D．2：5
【知识点：相似三角形性质】
2.已知△ABC与△DEF相似，且它们对应角平分线的比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
【知识点：相似三角形性质】
3.如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积为10平方厘米，则四边形BCED的面积为（ ）
A．40平方厘米 B．30平方厘米 C．20平方厘米 D．10平方厘米
【考点：相似三角形的判定与性质】
4.如果两个相似三角形的面积比是8∶1，那么它们的周长比是( )
A．8∶1 B．4∶1 C．64∶1 D．∶1
【知识点：相似三角形性质】
5. 如图，△ABC中，过AB边上的D点作DE∥AC，交BC边于E，连接AE、CD交于O，若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为( )
A. B. C. D.
【考点：相似三角形的判定与性质；数学思想：数形结合】
（三）课后作业
基础型 自主突破
1. 下列说法中，正确的个数是（ ）
①相似三角形的周长比等于对应中线的比；②相似三角形对应高的比等于相似比；③相似三角形的面积比等于相似比；④相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识点：相似三角形性质】
2.如果两个相似三角形对应角高之比为1∶6，那么它们对应中线之比为( )
A．1∶8 B．1∶6 C．1∶4 D．1∶3
【知识点：相似三角形性质】
3.两个相似三角形对应中线的比是2∶3，周长的和是40，则两个三角形的周长分别为（ ）
A．12和28 B．18和22 C．16和24 D．14和26
【知识点：相似三角形性质】
4.如果两个相似多边形面积的比为1：6，则它们的相似比为（ ）
A．1：36 B．1：6 C．1：3 D．1：
【知识点：相似三角形性质】
5. 如图，在△ABC中，MN∥BC，AM=2MB，S四边形BCNM=24，则S△ABC=______.
【知识点：相似三角形的判定和性质；数学思想：数形结合】
6. 在平行四边形ABCD中，点G在BC上，且BG=3GC，AG交BD于点F，则S△BGF∶S△AFD=________.
【知识点：相似三角形的判定和性质,平行四边形性质；数学思想：数形结合】
能力型 师生共研
7.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC中点，BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①=；②=；③=；④=．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【知识点：相似三角形的判定和性质】
8.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【知识点：相似三角形的判定和性质】
9.如图，ΔABC中，BC=16.把ΔABC沿BC边向右平移得到△DEF，当其重叠部分的面积是△ABC面积的时，△ABC平移的距离BE长为_______.
【知识点：相似三角形的判定和性质；数学思想：数形结合】
10.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O．AE=DE，CE交BD于点F，且OF=2．
（1）求BD的长；
（2）若△DCF的面积为4，求四边形ABCE的面积．
【知识点：相似三角形的判定和性质，平行四边形性质；数学思想：数形结合】
探究型 多维突破
11.如图，△ABC中，延长AB到D，过BC上的点F作FEBD，P为△ABC外一点，AP//BE且AP=BE，如果，△ABC的面积为20，那么△PBC的面积为（ ）
A.10 B.12 C.15 D.16
【知识点：相似三角形的判定和性质，平行四边形性质；数学思想：数形结合】
12.一块三角形铁皮ΔABC，BC=180mm，AG⊥BC于，AG=120mm．要把它加工成一个矩形零件，使矩形的QM边在BC上，其余两个顶点P,N分别在AB，AC上．
（1）如图1，当PN=2PQ时，求这个矩形零件的两条边长；
（2）如图2，当矩形零件的面积达到最大时，求此矩形零件的两条边长．
【知识点：相似三角形的判定和性质，二次函数最值；数学思想：数形结合】
自助餐
1.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为5:3，则下列结论正确的是（ ）
A.∠E=∠K
B.六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2
C.S六边形ABCDEF=S六边形GHIJK
D.BC=HI
【知识点：相似三角形的判定和性质】
2.如图，ΔABC中，AE为BC边上的中线，BC=12，∠EAC=∠B，则线段AC的长为（ ）
A．6 B．4 C．6 D．4
【知识点：相似三角形的判定和性质】
3.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝4，DC＝6，则△ABC与△DCA的面积比为( )
A．2∶3 B．4∶9 C．2∶5 D.∶
【知识点：相似三角形的判定和性质；数学思想：数形结合】
4.如图，已知菱形ABCD的面积为50,把菱形ABCD沿着对角线AC向右平移得到菱形EFGH.当AE=AC时，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．50 B．60 C．64 D．80
【知识点：相似三角形的判定和性质，菱形性质；数学思想：数形结合】
5.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.6米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A.、0.64米2 B、0.81米2 C、1.44米2 D、5.76米2
【知识点：相似三角形的判定和性质，圆面积；数学思想：数形结合】
6.如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【知识点：相似三角形的判定和性质，矩形性质；数学思想：数形结合】
7. 如图，△ABC中，AB=15，AC=12，BC=18．如果动点D以每秒3个单位长度的速度从点B出发沿边BA向点A运动，此时直线DE∥BC,交AC于点E.记x秒时DE的长度为y，则y关于x的函数关系是____________________.（要写出x的取值范围）
【知识点：相似三角形的判定和性质；数学思想：数形结合】
8.已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是 ．
【知识点：相似三角形的判定和性质，平行四边形性质；数学思想：数形结合、分类讨论】
9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______．
【知识点：相似三角形的判定和性质，勾股定理；数学思想：数形结合】
10.如图，P是矩形ABCD边BC上一点，∠APF＝90°，PF交AC于M，交CD于F，BN⊥AC于N，BN交AP于点H.
（1）求证：△ABP∽△PCF；
（2）找出图中与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若P是BC中点，BC=2AB，AB=2，求PM的长。
【知识点：相似三角形的判定和性质，矩形性质，直角三角形性质；数学思想：数形结合】
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=cm，∠ABC=30°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB 边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0），连接MN．
（1）若BM=BN，求t的值；
（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；
（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
【知识点：相似三角形的判定和性质，三角形面积，二次函数图象及性质；数学思想：数形结合、分类讨论】
12.如图，在Rt△ABC中，斜边BC=cm,AB=2cm,点P,Q同时以1cm/秒的速度分别从点A，B出发，在线段AB上相向而行．当点P到达点B时，P, Q两点同时停止运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为t秒，正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scm²．
（1）当t=_____秒时，点P与点Q重合；
（2）当t=_____秒时，点D在QF上；
（3）当点P在Q, B两点之间（不包括Q, B两点）时，求S与t之间的函数关系式．
【知识点：相似三角形的判定和性质，正方形性质；数学思想：数形结合、分类讨论】
五．参考答案
预习自测
1. C
2. C
3.168 192
随堂检测
1. D
2.C
3.B
4.D
5.B
课后作业
基础型
1.C
2.B
3.C
4.D
5.27
6.9∶16 由已知得BG：AD=3：4，∴S△BGF∶S△AFD==9：16.
能力型
7.C 由题意得①正确，
②由△DOE∽△COB，应有=，②不正确；
③由△ABC∽△ADE，△DOE∽△COB，得，③正确；
④==，④正确.故选C.
8. B 由DE∥AC，得△DOE∽△COA，△BED∽△BCA.∵S△DOE：S△COA=1：25，∴DE：AC=1：5，∴BE：BC=1：5，∴BE：EC=1：4．∴S△BDE：S△CDE=BE：EC=1：4. 故选B.
9. 根据题意，EG//AB，
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A，∴△GEC∽△ABC，
即，∴，∴。
即△ABC平移的距离为.
10.（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DEF=∠BCF，∠EDF=∠FBC，∴△EFD∽△CFB，∴，
∵AE=ED，∴ED=AD=BC，即，∴，即BF=2DF，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BF=OB+OF=x+2，DF=x﹣2，
∴x+2=2（x﹣2），解得：x=6，∴BD=2x=12；
（2）∵△EFD∽△CFB，且相似比为1：2，∴EF：CF=1：2，∴S△EFD：S△CFD=1：2，
∵△DCF的面积为4，∴△EFD面积为2，∴△ECD面积为6，
∵S平行四边形ABCD=AD•h，S△ECD=ED•h=AD•h，
∴S平行四边形ABCD=4S△ECD=24．
探究型
11. C 提示：连接FP, 延长AP交BC的延长线于H, 过点A、P分别作,垂足M、N.∵FEBD,又APBE，∴E、F、P共线，即,四边形APEB是平行四边形，∴EP=AB，又，∴ EF=DB=AB=PF,
∴PF=AB,∵△ABH~△PFH,∴,∴. △ABC的面积为20，∴△PBC的面积为15，故选C.
12.（1）设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm，
由条件可得△APN∽△ABC，∴，即，
解得y=，∴PN=×2=（mm），
答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；
（2）设PN=xmm，由条件可得△APN∽△ABC，∴，
即，解得PQ=120﹣x．
∴S=PN•PQ=x（120﹣x）=﹣x2+120x=﹣（x﹣90）2+5400，
∴S的最大值为5400mm2，此时PN=90mm，PQ=120﹣×90=60（mm）．
自助餐
1. D
2. A ∵BC=12，∴CE=6，∵∠B=∠EAC，∠C=∠C，∴△CBA∽△CAE，
∴，∴AC2=CE•BC=6×12=72，∴AC=6. 故选A
3. B ∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC.
又∵∠B=∠ACD=90°，∴△ABC∽△DCA.
∴S △ABC ：S △DCA =AB：CD =4：6=4：9. 故选B
4. C 由题意可得，菱形ENCM∽菱形ABCD，∴,
∵AE=AC，∴,∴.
∵菱形ABCD的面积为50,∴菱形ENCM面积为18.
∴图中阴影部分图形的面积为：(50-18)×2=64()．故选：C．
5. C 由题意知，灯泡离桌面2米，桌面与阴影是相似图形，相似比是2：3，两个图形的半径的比就是相似比，设阴影部分的直径是xm，则1.6：x=2：3解得：x=2.4，因而地面上阴影部分的面积为：S=πr=1.44米2．故选C ．
6.D 过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2.
∵BF=2FC，BC=AD=15，∴BF=AH=15，FC=HD=5，
∴AF==10，∵OH∥AE，∴==，
∴OH=AE=，∴OF=FH﹣OH=﹣
∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，∴==
∴AM=AF=
∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，
∴==，∴AN=AF=
∴MN=AN﹣AM=，故选D．
7. (0≤x≤5)
经过x秒后，BD=3x,AD=15-3x.
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. ∴，
即,即(0≤x≤5).
8.或 ∵AE=AD，∴分两种情况：
①当点E在线段AD上时，如图1所示
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴△EFD∽△CFB，∴EF：FC=DE：BC，
∵AE=AD，∴DE=2AE=AD=BC，
∴DE：BC=2：3，∴EF：FC=2：3；
②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示：
同①得：△EFD∽△CFB，∴EF：FC=DE：BC，
∵AE=AD，∴DE=4AE=AD=BC，
∴DE：BC=4：3，∴EF：FC=4：3；
综上所述：EF：FC的值是或；故答案为：或．
9. 连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD，则CH＝6，DH＝8，∴BD＝．
10. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP=∠PCF=90°．∵∠APF＝90°，
∴∠APB+∠FPC=90°．∵∠APB+∠BPA=90°，∴∠BAP=∠CPF，∴△ABP∽△PCF.
（2） △ABH∽△PCM．证明：∵BN⊥AC，∴∠ABN+∠BAN=90°，∴∠ABH=∠PCM，
由（1）知，∠BAH=∠CPM，∴△ABH∽△PCM.
（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，∵AB=BP=PC=2，∴AB：BC=MR：RC=2，∠APB=45°，∴∠MPR=45°，CR=2MR，∴MR=PR=RC=，∴PM=．
11.（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，∠ABC=30°，∴AC=5,．
由题意知，，，由BM=BN得，
解得：．
（2）①当△MBN∽△ABC时，∴，即，解得：．
②当△NBM∽△ABC时，∴， 即，解得：．
∴当或时，△MBN与△ABC相似．
（3）过M作MD⊥BC于点D，可得：．
设四边形ACNM的面积为，
∴
．
∴根据二次函数的性质可知，当时，的值最小．此时，．
12. （1）∵在Rt△ABC中，斜边BC=cm,AB=2cm,∴AC=4cm．
∵P, Q的运动速度都是1cm/秒，∴P, Q在AB的中点重合．
∴当t=1秒时，P, Q重合．
（2）∵QF//AC，∴，即，∴AF=4－2t.
又DP//AF，∴，即，．
（3）①当1＜t≤时，如图1、图2.
∵FQ//BC, ∴, 即AF=4－2t，EF=4－3t.
又DE//AB, ∴△FEG∽△FAQ得，,.
EG=, ∴GD=t－()=.
QP=AP－AQ=t－(2－t)=2t－2, S=.
②当时，由△AFQ∽△ABC得，,AF=4－2x.
∴
同理由△CEH∽△CBA得EH=，HD=；△BPG∽△BAC,
得PG=4－2t，DG=t－(4－2t)=3t－4
∴=
=
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