资源描述
《14.4 课题学习-选择方案》教案
教学目标
（一）教学知识点
1、巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．
2、熟练掌握一次函数与方程、不等式之间的关系，有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．
（二）能力训练要求
1、经历活动过程，让学生认识数学在现实生活中的意义，进一步理解数形结合的思想。
2、理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）的关系，会用图象法分析三种方案，给出合理的解释，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。
（三）情感与价值观要求
1．体会数学与生活的联系，了解数学的价值，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。
2.、通过综合运用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）的关系探索，培养学生严谨的科学态度及勇于探索的精神；通过从函数的角度看问题，让学生体会数学的价值
教学重点
1、根据变量变化趋势，写出函数式，会用方程或不等式分析三种方案，给出合理的解释。
2、灵活运用数学模型解决实际问题
教学难点
综合运用函数与方程、不等式的关系解决实际问题。
教学方法
自主─合作，思考─交流．
教具准备
多媒体．
教学过程
一、 引入课题
前面我们学习了一次函数与二元一次方程组的关系，今天我们就利用它们之间的关系解决一些实际问题，这节课我们学习问题学习——选择方案。
二、 共同探究，解决问题
用哪种灯省钱
我们学校张老师刚买了新房，现在正在装修，可是她现在正在为安装什么样的照明灯犯愁呢。他们一家到灯具店看灯，老板告诉她：
一种节能灯的功率为10瓦（即0.01千瓦），售价为60元；一种白炽灯的功率为60瓦（即0.06千瓦），售价为3元。两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同。
如果电费价格为0.5元/(千瓦·小时),张老师选用哪种灯可以节省费用?
提问：（1）你能帮帮张老师的忙吗？到底选择哪种灯更省钱呢？
（2）谁能说说什么是省钱吗？
省钱就是要使灯的总费用最少。
（3）灯的总费用与哪些量有关呢？这些量之间有怎样的关系？
对于以上问题，教师给学生充分地时间分组讨论、交流，然后各小组派代表回答。
师生共同归纳：灯的总费用和灯的售价、功率、照明时间、电费有关。灯的总费用＝灯的售价＋电费， 电费＝0.5×灯的功率（千瓦）×照明时间 。因此，灯的总费用＝0.5×灯的功率×照明时间＋灯的售价
（4）在这里，哪些是常量？哪些是变量？你能用咱们刚学的一次函数的解析式来表示灯的总费用与照明时间之间的关系吗？
通过观察学生很容易找到常量和变量。电费、灯的功率和灯的售价都是常量，灯的总费用和照明时间是变量。而照明时间与电费成正比，因此可以用一次函数的解析式表示灯的总费用与照明时间之间的关系。
分析：设照明时间为x小时，使用节能灯的总费用为y1元,使用白炽灯的总费用为y2元，则
y1=0.5×0.01x+60=0.005x+60
y2=0.5×0.06x+3=0.03x+3
探讨解法一：
问题1（1）：在这里对x的值有没有要求？（x≥0）。
（2）如果y1=y2,两种灯的总费用有什么关系？y1 = y2， 说明两种灯的总费用相同。
（3）y1>y2.两种灯的总费用又有什么关系？y1<y2呢？
在学生议论的基础上，教师归纳：
y1＞y2，说明节能灯的总费用高。
y1＜y2，说明白炽灯的总费用高。
师生共同分析解答：（1）当y1 = y2时，也就是0.005x+60=0.03x+3,解得x=2280;
学生完成当y1＞y2和y1＜y2时所对应的x的值。
(2)当y1＞y2时，则有 0.005x+60＞0.03x+3 解得 x＜2280；
(3)当y1＜y2时， 则有0.005x+60＜0.03x+3 解得 x＞2280。
问题2：如果两种灯的使用寿命都大于3000小时，你认为张老师应该选择哪种照明灯更省钱？为什么？
给学生充分地时间讨论（这个问题就是要学生明确应如何选择方案，如果分析不透彻，学生很容易选择和正确结论相反地方案，因此这里给学生充分的思考和交流的机会，从而提高每个学生分析和解决问题的能力。）
学生回答后教师给出结论：因为两种灯的使用寿命都在3000小时以上,因此应该选择节能灯.
接着教师给具体的解答过程：
解： 设照明时间为x小时，使用节能灯的总费用为y1元,使用白炽灯的总费用为y2元，由题意，得
y1=0.5×0.01x+60=0.005x+60
y2=0.5×0.06x+3=0.03x+3
(1) 当y1=y2时, 则有0.005x+60=0.03x+3 解得x=2280，即当照明时间为2280小时时，选择节能灯和白炽灯均可；
(2)当y1＞y2时，则有0.005x+60＞0.03x+3 解得
x＜2280，即当照明时间小于2280小时时，选择白炽灯更省钱；
(3)当y1＜y2时，则有 0.005x+60＜0.03x+3 解得 x＞2280，即当照明时间大于2280小时时，选择节能灯更省钱。
因为两种灯的使用寿命都在3000小时以上,因此应该选择节能灯。
探讨解法二：
问题：（1）你能利用函数解析式和函数图象解决此题吗？教师引导学生在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象。
（2）你认为这两个函数图象是直线还是射线？它们的交点坐标是多少？
说明：在画实际应用中的函数图象时，只需要画出简图就可以了。
在画两个函数图象时，有同学很容易画出两条直线，这样画是不对的。因为x≥0，所以这两个函数的图象应该是射线。
通过解方程组
x=2280
y=71.4
y=0.005x+60
y=0.03x+3
可知方程组的解为
所以两图象交于点（2280，71.4）。
y
2
y
1
0
71.4
60
2280
3
y（元）
X（小时）
因此由图象可知: 当照明时间等于2280小时时，y1=y2，即选择白炽灯和节能灯均可；当照明时间小于2280小时时，y1 >y2，即选择白炽灯省钱;当照明时间大于2280小时时， y1 >y2，即选择节能灯省钱。
教学说明：利用一次函数及其图象解决实际问题是本节课的难点，在这里教师要让学生明白，直接比较两个一次函数的图象，根据两图象的高低位置关系，确定在何种条件下应选择何种收费方式。
探讨解法三：
除了上面两种解法外,咱们还可以通过求节能灯和白炽灯总费用的差额进行解答。
师生共同分析、解答
设照明时间为x小时，节能灯的总费用与白炽灯的总费用的差额为y元，则
y=0.005x+60-(0.03x+3) 化简，得 y=-0.025x+57
问题1： 你能在直角坐标系中画出这个函数的图象吗？它是直线还是射线?它与x轴的交点坐标是多少？你能说说y>0,y=0,y<0分别说明了什么吗？试着求出此时所对应的x的值。
学生独立思考、合作讨论、分析探究、寻求结果。
教师小结，给出解答过程：因为x≥0，因此这个函数的图象是一条射线。它与x轴的交点坐标可以通过解方程－0.025x＋57＝0得到，与x轴的交点坐标是（2280，0）。y>0说明选择白炽灯省钱，此时x<2280;y=0什么选哪种灯都可以,此时x=2280；y<0什么选择节能灯省钱，此时x>2280.
你能把上面的解答过程补充完整吗？试试看。
教师给出解答过程。
解方程-0.025x+57=0,得 x=2280
所以射线y=-0.025x+57与x轴的交点坐标是（2280，0），
X（小时）
y（元）
0
57
2280
y=-0.025x+57
由函数图象得：
当x<2280时，y>0,即选择白炽灯省钱；
当x=2280时，y=0,即选择白炽灯和节能灯一样；
当x>2280时，y<0,即选择节能灯省钱。
这里给出了三种解答方法，以后在解答选择方案这类问题时，可以选择以下方法：
方法选择：(1)可以选择利用不等式来解答;
(2) 通过比较两个一次函数的图象的高低位置确定选择方案;
(3)计算两种收费方式的差额，并用一次函数表示，然后根据这个图象确定应如何选择收费方式。
方法分析
利用解不等式解答相当于把形的问题归结为数的问题，但是选择方案时需要分清数据之间的大小关系；
利用解析式和函数图象解答比较形象直观，易于通过比较函数图象的位置选出最佳方案，但是作函数图象时比较麻烦。
教师说明：在解答实际问题的过程中，由于各种模型的优缺点，应根据具体情况灵活的、有机的把这些数学模型结合起来使用。能让我们更方便、快捷地找到结果，这正是数形结合思想的体现。
设计意图：通过这三种方法的呈现，使学生认识到方程（组）、不等式、与函数都是基本的数学模型，它们之间互相联系，用函数的观点可以把它们统一起来。在解决实际问题时，根据实际情况选择方案，从而使学生进一步理解函数与方程及不等式的联系。
三、 巩固新知，加深理解
帮帮忙
小青的妈妈在深圳打工，我每个月都要给妈妈打长途电话，她有两种方法可供选择：（1）用手机打电话，开通12593每分钟0.15元，每月要交3元的包月费；（2）到话吧打电话，每分钟0.2元。她到底该怎么选择呢？
学生活动：学生先独立解答，再小组内交流，看你们的解答方法是否一样。请三位学生到黑板上演板。
教师活动：教师巡视解疑。然后讲评三种解答方法:
解法一：设每月的通话时间为x分钟，用手机打电话的费用为y1元，到话吧打电话的费用为y2元，则
y1=0.15x+3 y2=0.2x
当y1=y2时，0.15x+3=0.2x,解得x=60,即当通话时间为60分钟时，两种方式均可；
当y1>y2时，0.15x＋3>0.2x,解得x<60,即当通话时间小于60分钟时，选择到话吧打电话省钱；
当y1<y2时，0.15x+3<0.2x,解得x>60,即当通话时间大于60分钟时，选择手机打电话省钱。
因此,当通话时间小于60分钟时,选择到话吧打电话省钱；当通话时间为60分钟时，两种方式均可；当通话时间大于60分钟时，选择手机打电话省钱.
解法二：设每月的通话时间为x分钟，用手机打电话的费用为y1元，到话吧打电话的费用为y2元，则
y1=0.15x+3 y2=0.2x
x=60
y=12
得
y=0.15x+3
y=0.2x
解方程组
所以两函数图象的交点是（60，12）。
在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象
y2
y1
0
3
y（元）
x（分）
12
60
话吧
手机
由图象可知：
当x<60时，y1>y2,即选择到话吧打电话省钱；
当x=60时，y1=y2,即选择两种均可；
当x>60时，y1<y2,即选择用手机打电话更省钱。
解法三：设每月的通话时间为x分钟，用手机打电话的费用与到话吧打电话的费用的差额为y元，则
y=0.15x+3 -0.2x=-0.05x+3
解方程： －0.05x+3=0,得出直线y=-0.05x＋3与x轴的交点为(60，0)。
X（分）
y（元）
0
3
60
y=-0.05x+3
由函数图象得
当x<60时,y>0,即选择到话吧打电话省钱;
当x=60时,y=60,即选择两种方式均可;
当x>60是,y<60,即选择用手机打电话省钱.
挑战自我
三毛时代广场文具部的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元.该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择。 甲:买一支毛笔赠送一本书法练习本； 乙:按购买金额打九折付款。
我校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x≥10)本.应如何选择方案购买呢?
要求学生先用不等式来解答。学生完成后教师展示解题过程：
解:选择甲方案的实际金额为y甲,选择乙方案的实际金额为y乙,则
y甲=(x-10)×5+25×10＝5x+200
y乙＝(10×25+5x)×0.9＝4.5x+225
当y甲>y乙时,5x+200>4.5x+225,解得 x>50;
当y甲=y乙时,5x+200=4.5x+225,解得 x=50;
当y甲<y乙时,5x+200<4.5x+225,解得 x<50.
因此,如果购买书法练习本少于50本时选择甲方案;如果购买书法练习本等于50本时选择哪种方案均可;如果购买书法练习本小于50本时选择乙方案。
议一议
你能利用函数图象解决此题吗?想一想x的取值范围,你能在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象吗?试着利用函数图象解答此题。
学生活动：学生分小组交流、讨论、解答，充分发挥学生的合作意识和探索精神。
教师活动：教师深入学生，加以指导。教师出示此题的函数图象：
X（本）
0
y（元）
10
50
250
450
270
甲
乙
学生接着独立完成此题。
教师说明：由于x≥0,因此图象不同于以上两题的图象，以后在解答此类问题时一定要注意自变量的取值范围。
问题：你能利用求两种收费方式的差额的方法来解答这道题吗？有兴趣的可以在课下算算看。
设计说明：通过练习，进一步加深学生对方程（组）、不等式与函数关系的理解和应用，学生选用不同的解答方法选择方案，也优化了他们的数学思想方法。
四、 小结反思、加深理解
通过这节课的学习,你有哪些收获？谈谈你在解决实际问题时怎样建立函数模型？
学生畅所欲言。
在学生充分发言的基础上教师小结：
1、建立数学模型——列出两个函数关系式
2、通过解不等式或利用函数图象来确定自变量的取值范围。
3、选择出最佳方案。
设计说明：本节课的内容是14.3这一大节内容的综合体现，题目综合能力较强，让学生谈谈自己在解决实际问题时怎样建立函数模型，有助于学生对知识有一个正确全面的认识。
五、布置作业、能力提高
（1）完成下面第1题
（2）预习预习课题学习：问题2
1、一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式: 方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月基本费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.如何选择收费方式能使上网者更合算?
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