1、三角函数的应用教学目标（一）教学知识点1经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用2能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明（二）能力训练要求发展学生的数学应用意识和解决问题的能力（三）情感与价值观要求1在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气2选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望教学重点1经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用2发展学生数学应用意识和解决问题的能力教学难点根据题意，了解有关
2、术语，准确地画出示意图教学过程（一）复习旧知，引入新课1一物体沿坡度为18的山坡向上移动，则物体升高了m答案：12在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45，沿水平方向，再向塔底前进am，又测得塔尖的仰角为60，那么电视塔的高为m答案：a3如图所示，在高2m，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要_m答案：4创设问题，引入新课海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流（二）讲授新课1思路点拔（1）
3、我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？应该是“上北下南，左西右东”（2）请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25处示意图如下（3）货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险A到BC所在直线的最短距离为过A作ADBC，D为垂足，即AD的长度我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较（4）下面我们就来看AD
4、如何求根据题意，有哪些已知条件呢？已知BC=20海里，BAD=55，CAD=25（5）在示意图中，有两个直角三角形RtABD和RtACD你能在哪一个三角形中求出AD呢？在RtACD中，只知道CAD=25，不能求AD在RtABD中，知道BAD=55，虽然知道BC=20海里，但它不是RtABD的边，也不能求出AD（6）那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC=BD-CDBD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系（7）有何联系呢？在RtABD中，；在RtACD中，利用BC=BD
5、-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55-ADtan25=20总结：其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一解：过A作BC的垂线，交BC于点D得到RtABD和RtACD，从而BD=ADtan55，CD=ADtan25，由BD-CD=BC，又BC=20海里得 ADtan55-ADtan25=20AD（tan55-tan25）=20， （海里）这样AD20.79海里10海里，所以货轮没有触礁的危险2小组合作，探索问题（1）想一想你会更聪明：接下来，我们再来研究一个问题还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看他是怎样测的，
6、并根据他得到的数据帮他求出塔的高度如图，小明想测量塔CD的高度他在A处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至B处测得仰角为60那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m）（2）思路点拔：我想请一位同学告诉我什么是仰角？在这个图中，30的仰角、60的仰角分别指哪两个角？当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角30的仰角指DAC，60的仰角指DBC很好！请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形RtADC和RtBDC的公共边，在RtADC中，即，在RtBDC中，即，又AB=AC-BC=50 m，得解得CD43（m），
7、即塔CD的高度约为43 m提出质疑，再探新知：小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时是否应考虑小明的身高？在实际测量时，的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？示意图如图所示，由前面的解答过程可知CC43 m，则CD=43+1.6=44.6 m即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m3巩固新知、解决问题：现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40减至35，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯
8、会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.0l m）请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，（先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法）（1）思路点拔 要注意调整前后梯楼的高度是一个不变量根据题意可画示意图（如右图）其中AB表示楼梯的高度AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度；AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度ACB是原楼梯的倾角，ADB是调整后的楼梯的倾角转化为数学问题即为：如图，ABDB，ACB=40，ADB=35，AC=4m求AD-AC及DC的长度（2）解决问题解：由条件可知，在RtABC中，即AB=4sin40m，原楼梯占地长BC=4c
9、os40m调整后，在RtADB中，则m楼梯占地长m调整后楼梯加长（m），楼梯比原来多占（m）（三）随堂练习1如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40夹角，且DB=5m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？解：在RtCBD中，CDB=40，DB=5 m，BC=DBsin40=5sin40（m）在RtEDB中，DB=5 m，BE=BC+EC=2+5sin40（m）根据勾股定理，得（m）所以钢缆ED的长度为7.96 m2如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD=6 m，坡长CD=8 m坡底BC=30 m，ADC=135（1）求ABC的大小；（2）如果坝长1
10、00 m那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01 m3）解：过A、D分别作AEBC，DFBC，E、F为垂足（1）在梯形ABCD中ADC=135，FDC=45，EF=AD=6 m在RtFDC中，DC=8mDF=FC=CD（m）（m）在RtAEB中，（m）ABC17821（2）梯形ABCD的面积：（m2）坝长为100 m，那么建筑这个大坝共需土石料（m3）综上所述，ABC=17821，建筑大坝共需10182.34 m3土石料（四）活动与探究，拓展知识例题：如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货此时接到气象部门通知
11、，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受到影响（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？ 过程这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征在转化、抽象成数学问题上下功夫 结果（1）过点B作BDAC垂足为D依题意，得BAC=30，在RtABD中，B处会受到台风影响（2）以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120，（小时）因此，该船应在3.8小时内卸完货物（五）课时小结本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣习题1.6第1、2、3题
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