(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题3.3 导数的综合应用(测).doc

专题3.3 导数的综合应用
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
(满分100分，测试时间50分钟)
一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分)．
1. 【2017课标3，理11改编】已知函数有唯一零点，则a=_________
【答案】
【解析】

2. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数.表示中的最小值，若函数
恰有三个零点，则实数的取值范围是 ▲ ．
【答案】
【解析】
试题分析：，因为，所以要使恰有三个零点，须满足，解得
3. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】若函数的定义域为，对于，，且为偶函数，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：令，则，因为为偶函数，所以，因此
4. 【2017届高三七校联考期中考试】若，且对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ▲ ．
【答案】
【解析】

则在上恒成立，恒成立
令，
，为减函数，在的最大值为
综上，实数的取值范围为.
5. f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a<b，则af(b)与bf(a)的大小关系为________．
【答案】af(b)≤bf(a)
【解析】∵xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，
∴′＝≤≤0.
则函数在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a<b，则≥.即af(b)≤bf(a)．
6.设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”，若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是________．
【答案】

7.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．
【答案】40
【解析】由y′＝x2－39x－40＝0，
得x＝－1或x＝40，
由于0<x<40时，y′<0；
当x>40时，y′>0.
所以当x＝40时，y有最小值．
8.函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________．
【答案】(－∞，0)
【解析】f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f′(x)＝0有两个不等实根．
∵f(x)＝ax3＋x，∴f′(x)＝3ax2＋1.
要使f′(x)＝0有两个不等实根，则a<0.
9.函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
【答案】21

10.设函数f(x)＝，g(x)＝，对任意x1、x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________．
【答案】[1，＋∞)
解析】因为对任意x1、x2∈(0，＋∞)，
不等式≤恒成立，所以≥max.
因为g(x)＝，
所以g′(x)＝(xe2－x)′＝e2－x＋xe2－x·(－1)＝e2－x(1－x)．
当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
所以当x＝1时，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e；
因为f(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，
f(x)＝e2x＋≥2e，当且仅当e2x＝，
即x＝时取等号，故f(x)min＝2e.
所以max＝＝.
所以≥.又因为k为正数，所以k≥1.
二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。(共4题，每小题10分，共计40分)．
11. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分16分）
已知，定义．
（1）求函数的极值；
（2）若，且存在使，求实数的取值范围；
（3）若，试讨论函数的零点个数．
【答案】（1）的极大值为1，极小值为；（2）；（3）当时， 有两个零点；当时，有一个零点；当时，有无零点．
【解析】
数，可得存在使得时，，在一个零点，当时无零点，最终可得零点个数为2．
试题解析：（1）∵函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　1分
令，得或，∵，∴，列表如下：

0

0

0

极大值

极小值

∴，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（3）由（1）知，在上的最小值为，
①当，即时，在上恒成立，
∴在上无零点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
②当即时，，又，
∴在上有一个零点，．．．．．．．．．．．．．．9分
③当，即时，设，
∵，∴在上单调递减，

12．【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分16分）
已知函数．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；
（3）若，使成立，求实数的最大值．
【答案】（1）当时，；当时，.（2）（3）.
【解析】
试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间位置关系分类讨论函数单调性：当时，在上单调递增，当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，最后根据单调性确定函数最小值（2）先转化不等式不妨取
当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，
的最小值为.
综上，当时，；当时，. …………………3分
（2）,对于任意的，不妨取，则,
则由可得，
变形得恒成立， ………………………5分
令，
则在上单调递增，
故在恒成立， ………………………7分
在恒成立.
，当且仅当时取，
. ………………………10分

13. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求的单调区间；
（2）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；
（3）若存在不等实数，，使得，证明：．
【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间为．（2）不存在（3）详见解析
【解析】
试题分析：（1）先求导数，再求导函数符号确定单调区间：单调递减区间是，单调递增区间为．（2）构造函数，，确定其是否有零点即可，先求导，确定为上的增函数，因此，无零点，即，
故不存在正实数使得成立．
（3）若存在不等实数，，使得，则和中，必有一个在，另一个在，不妨设，．
①若，则，由（1）知：函数在上单调递减，所以；
②若，由（2）知：当，则有，
而，所以，即，
而，，由（1）知：函数在上单调递减，
∴，即有，
由（1）知：函数在上单调递减，所以；
综合①，②得：若存在不等实数，，使得，则总有．
14. 【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分16分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的单调性；
（3）当时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证：.
【答案】（1）2x－y－2＝0．（2）详见解析（3）详见解析
【解析】
试题分析：（1）由导数几何意义得曲线在处的切线斜率为f ′(1)，所以先求导f ′(x)＝2x －1＋，再求斜率k=f ′(1)＝2，最后由f(1)＝0，利用点斜式可得切线方程：2x－y－2＝0．（2）先求函数导数：f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝．再分类讨论导函数在定义区间上的零点：当a≤0时，一个零
即2x－y－2＝0． …………………… 3分
（2）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，
从而f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0． ………… 5分
当a≤0时，x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，

所以f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(，1)上单调递减．
…………………… 10分
（3）方法一：因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，从而f ′(x)＝ (x＞0)．
由题意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，故x1x2＝．
记g(x) ＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，
所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且bxi＝2＋1 (i＝1，2)． …………………… 12分
f(x1)－f(x2)＝()－(bx1－bx2)＋ln＝－()＋ln．
因为x1x2＝，所以f(x1)－f(x2)＝－－ln(2)，x2∈(1，＋∞)． ……………… 14分
令t＝2∈(2，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝－lnt．
因为φ′(t)＝≥0，所以φ(t)在区间(2，＋∞)单调递增，
所以φ(t)＞φ(2)＝－ln2，即f(x1)－f(x2)＞－ln2． …………………… 16分