九年级数学下册解直角三角形全.教案（4）人教版.doc

人教版.九年级下.解直角三角形全章.教案（4）

第一课时
课题 锐角三角函数

教学目标
一.知识与能力：
初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
二.方法与过程：
逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
三.情感、态度与价值观：
提高学生对几何图形美的认识。
1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念
2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切
（三）教学程序
一．探究活动
1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2．归纳三角函数定义。
siaA=,cosA=,tanA=

3例1.求如图所示的Rt⊿ABC中的siaA,cosA,tanA的值。
B

4.学生练习P21练习1，2，3
二．探究活动二
1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°
归纳结果

30°
45°
60°
siaA

cosA

tanA

2. 求下列各式的值
（1）sia 30°+cos30°
（2）sia 45°-cos30°
(3)+ta60°-tan30°
三．拓展提高
1. 如图，在⊿ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=2,求AB

A
B
C

四．小结
五．作业
课本p79 练习

第二课时
课题 解直角三角形应用（一）
 教学目标
(一)知识与能力：
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
(二)方法与过程：
 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感、态度与价值观：
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点：直角三角形的解法．
教学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。
教学方法：
学生学法：
教学过程
(一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系 sinA= cosA= tanA
(2)三边之间关系a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
 （二） 探究活动
1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
 3．例题评析
 例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= a=，解这个三角形．
 例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 =35，解这个三角形（精确到0.1）．
例 3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三) 巩固练习
 在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。
(四)总结与扩展
 请学生小结：
1、在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
2、解决问题要结合图形。
（五）、布置作业
·  

第三课时
解直三角形应用（二）
 教学目标

(一)、知识与能力：
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、方法与过程：
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
(三)情感、态度与价值观：
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点：
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
教学难点：
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
 教学方法：
学生学法：
教学过程：
 （一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？

2．解直角三角形主要依据什么？

(1)勾股定理：a2+b2=c2

(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

(3)边角之间的关系：

 tanA=

 （二）新授概念 
1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1

如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
解：在Rt△ABC中sinB=
AB===4221(米)

答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

（三）．巩固练习：练习
(四)总结与扩展
 请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．

（五）、布置作业

第四课时
解直三角形应用（三）
教学目标
(一)知识与能力：
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
(二)能力目标：
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标：
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．
教学重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学方法：
学生学法：
教学过程：
1．导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．
2．例题分析
例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．
分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？
 例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东34方向上的B处。这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？P
A
B
65
34

．
引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？
 3、巩固练习
 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)． 
(三)总结与扩展
请学生总结：
通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决．
本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．
4、布置作业

第五课时
解直三角形应用（四）
教学目标
(一)知识与能力
使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．
(二)方法与过程：
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感、态度与价值观：
培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．
教学重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；
教学难点：如何添作适当的辅助线．
教学方法：
学生学法：
教学过程
1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．
2．例题
例 燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)．

分析：
(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．
(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．

例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．
3．巩固练习
如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)．

分析：
(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长．
(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．

4、小结
请学生作小结，教师补充．
本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系．
5、布置作业

  第六课时
解直三角形应用（五） 
教学目标
(一)知识与能力
巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．
(二)方法与过程：
逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)情感、态度与价值观：
培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
教学重点：能熟练运用有关三角函数知识．
教学难点：解决实际问题．
教学疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．
教学方法：
学生学法：
教学过程
1．探究活动一
（1）教师出示投影片，出示例题．
例1 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．

（2）．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形
已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
（3）．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．

答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
 2．探究活动二
例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？

由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。
解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．
∴DE=BD·cosD
=520×0.6428=334.256≈334.3(m)．
答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，
3、练习 P95 练习1，2。 
4、小结与扩展
教师请学生总结：
在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
四、布置作业
课本习题P97 9，10

第七课时
解直三角形应用

一、
教学目标：
(一)知识与 能力
巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
(二)方法与过程：
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法。
(三)情感、态度与价值观： 
培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点． 
教学重点：解决有关坡度的实际问题． 
教学难点：理解坡度的有关术语．
教学疑点：对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视．
教学方法：
学生学法：
教学过程
1．创设情境，导入新课．
例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
 介绍概念：坡度与坡角

2．讲授新课
引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，

∴AE=3BE=3×23=69(m)．

FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．

∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．

因为斜坡AB的坡度i＝tan＝≈0.3333，查表得

α≈18°26′

答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

3．巩固练习
 教材P124. 2
 4、总结与扩展
 引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力．
1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．

2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．

3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．

4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．

四、布置作业

1．看教材，培养看书习惯，作本章小结．
2．课本习题P96第5，8题