八年级数学下册 6.6关注三角形的外角示范教案1 北师大版.doc

第七课时
●课 题
§6.6 关注三角形的外角
●教学目标
（一）教学知识点
1.三角形的外角的概念.
2.三角形的内角和定理的两个推论.
（二）能力训练要求
1.经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力.
2.理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.
（三）情感与价值观要求
通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路.从而使他们灵活应用所学知识.
●教学重点
三角形内角和定理的推论.
●教学难点
三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用.
●教学方法
启发、诱导法.
●教具准备
投影片四张
第一张：想一想（记作投影片§6.6 A）
第二张：推论（记作投影片§6.6 B）
第三张：例1（记作投影片§6.6 C）
第四张：例2（记作投影片§6.6 D）
●教学过程
Ⅰ.巧设现实情境，引入新课
［师］上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？
［生］通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.这样就可以证明三角形的内角和等于180°.
［师］很好，下面大家来共同证明：三角形的内角和定理.

图6－56
已知，如图6－56，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA.
则：∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）
［师］好，在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到 ∠ACD，我们把∠ACD叫做三角形ABC的外角.
那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.
Ⅱ.讲授新课
［师］那什么叫三角形的外角呢？
像∠ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
外角的特征有三条：
（1）顶点在三角形的一个顶点上.如：∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点.
（2）一条边是三角形的一边.如：∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边.
（3）另一条边是三角形某条边的延长线.如：∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线.
把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知：一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质.
下面大家来想一想、议一议（出示投影片§6.6 A）

图6－57
如图6－57，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？
［生甲］∠1与∠4组成一个平角.所以∠1+∠4=180°.
［生乙］∠1=∠2+∠3.因为：∠1与∠4的和是180°,而∠2、∠3、∠4是△ABC的三个内角.则∠2+∠3+∠4=180°.所以∠2+∠3=180°－∠4.而∠1=180°－∠4,因此可得： ∠1=∠2+∠3.
［生丙］因为∠1=∠2+∠3，所以由和大于任何一个加数，可得：∠1>∠2,∠1>∠3.
［师］很好.大家能用自己的语言说明你的结论的正确性.你能把你的结论归纳成语言吗？
［生丁］三角形的一个外角等于两个内角的和.它也大于三角形的一个内角.
［生戊］不对，如图6－58.

（1） （2）
图6－58
图6－58（1）中，∠ACD是△ABC的外角，从图中可知：△ACB是钝角三角形.∠ACB>∠ACD.所以∠ACD不可能等于△ABC内的任两个内角的和.
图6－58（2）中的△ABC是直角三角形，∠ACD是它的一个外角，它与∠ACB相等.
由上述可知：丁同学归纳的结论是错误的.应该说：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角.
［师］噢.原来是这样的，同学们同意他的意见吗？
［生］同意.
［师］是三角形的任一个外角都有此结论吗？
［生］是的.
［师］很好.由此我们得到了三角形的外角的性质（出示投影片§6.6 B）
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
［师］这两个结论是由什么推导出来的呢？
［生］通过三角形的内角和定理推出来的.
［师］对.在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）.
因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用.
注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思.即：“和它不相邻”的意义.
下面我们来研究三角形内角和定理的推论的应用（出示投影片§6.6 C）

图6－59
［例1］已知，如图6－59，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证：AD∥BC.
［师生共析］要证明AD∥BC.只需证明“同位角相等”即：需证明：∠DAE=∠B.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C
∴∠B=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
［师］同学们想一想，还有没有其他的证明方法呢？
［生甲］这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
［生乙］还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和定理）
∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°（等量代换）
即：∠B+∠DAB=180°
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
［师］同学们叙述得真棒.运用了不同的方法证明了两直线平行.
现在大家来想一想：若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？（出示投影片§6.6 D）

图6－60
［例2］已知，如图6－60，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE.
求证：∠1>∠2.
［师生共析］一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明.所以需要找到三角形的外角.
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）
∴∠1>∠3（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠3是△CDE的一个外角（已知）
∴∠3>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1>∠2（不等式的性质）
［师］很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握三角形内角和定理的推论.
Ⅲ.课堂练习
（一）课本P201随堂练习1

图6－61
1.已知，如图6－61，在△ABC中，外角∠DCA=100°,∠A=45°.
求∠B和∠ACB的度数.
解：∵∠DCA=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠DCA=100°,∠A=45°（已知）
∴∠B=∠DCA－∠A=100°－45°=55°（等式的性质）
∵∠DCA+∠ACB=180°（1平角=180°）
∴∠ACB=180°－∠DCA（等式的性质）
∵∠DCA=100°（已知）
∴∠ACB=80°（等量代换）
（二）看课本P199~200然后小结
Ⅳ.课时小结
本节课我们主要研究了三角形内角和定理的推论：
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
在计算角的度数、证明两个角相等或角的和差倍分时，常常用到三角形内角和定理及推论1.
在几何中证明两角不等的定理只有推论2，所以遇到有证明角不等的题目一定要设法用到它去证明.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P201习题6.7 1、2、3
（二）1.预习内容：全章内容
2.预习提纲
用自己的语言梳理本章知识.
Ⅵ.活动与探究
1.如图6－62，求证：（1）∠BDC>∠A.
（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.

图6－62
如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
［过程］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.

图6－63
［结果］证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图6－63.
则：∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1>∠3.
∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）
即：∠BDC>∠BAC.
（2）连结AD，并延长AD，如图6－62.
则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1=∠3+∠B
∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）
即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC

图6－64
证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图6－64.
则∠BDC是△CDE的一个外角.
∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠BDC>∠A（不等式的性质）
（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.
∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠BDC=∠C+∠A+∠B（等量代换）

图6－65
如果点D在线段BC的另一侧，如图6－65，则有
∠A+∠B+∠C+∠D=360°
（可利用三角形的内角和定理来证明，证明略）
●板书设计
§6.6 关注三角形的外角
一、三角形的外角
①
其特征 ②
③
二、三角形内角和定理的推论：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三、例题
例1例2
四、课堂练习
五、课时小结
六、课后作业