初中数学一元二次方程中的存在型探究题.doc

一元二次方程中的存在型探究题
吴复

“已知方程A，试问是否存在实数B，使A具有某种性质，若存在，试求B；若不存在，试说明其理由。”这类题是近年来中考试题中经常出现的存在型探究题，现举例说明其解法。
例1. （2005年沈阳市）已知方程的两个实数根是、q，是否存在m的值，使得p、q满足？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
解：设存在满足题意的m的值，由一元二次方程的根与系数的关系，得
，。
所以。
又因为，
所以，但当时，
△，
故不存在m的值，使得p、q满足。

例2. （四川省）已知、是一元二次方程的两个实数根，问是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
解：设存在实数k，使成立，因为一元二次方程有两个实数根。
所以△=，且，所以。
因为、是一元二次方程的两个实数根，
所以，，
所以

，
所以。
解这个方程，得，而，可以满足题中条件的实数k不存在。

例3. （2004年四川省）已知关于x的方程①的两个不相等的实数根中有一个根为0，是否存在实数k，使关于x的方程
②的两个实数根、之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
析解：这既是一道探索性试题，又是一道综合性较强的中考压轴题，解此类题，需着眼于题中条件，进行顺向解题。
因为方程①有两个不相等的实数根，所以
△，
解之，得。
又因为方程①只有一个根为0，
所以，
即。
解之，得，。
又因为，所以舍去，所以
当时，方程②变为
。
因为、是方程②的两个实数根，
所以，。
若，
则，
所以，
即，
所以
所以，。
当时，△=。这时，方程②变为
解之，得，满足条件；
当时，，这时，方程②变为，解之，得，也满足条件，所以或4。
所以存在实数或4，使得方程②的两个实数根之差的绝对值为1。

例4. （河南省）已知关于x的方程，问是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，请求出满足条件的k值；若不存在，请说明理由。
解：设方程的两个实数根为、，由根与系数关系，得
，，
所以，
所以，
解之，得，。
因为k为负数，所以舍去。
当时，△=。
故存在满足条件的负数k，。
小结：解存在型探究题的步骤，一般是先设存在实数B，然后进行计算或推理，若推出矛盾，则说明假设不正确，给予否定的结论；若推出合理结论，则说明假设正确，可给出肯定的结论。
还需注意的是解这类题时，常需用到根与系数的关系，若题中未给出方程的根时（如例4）则需先设出方程的根，判断结论成立与否，有时还需用到根的判别式和定义，所以解题时，务必分析全面，思考缜密。