2024年奥数知识点解析之抽屉原理.doc

奥数知识点解析之抽屉原理
第一步：初步了解该知识点的定理及性质
　　1、提出疑问：什么是抽屉原理？
　　2、抽屉原理有哪些内容呢？
　　【抽屉原理1】：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么最少有一个抽屉中的物品不少于2件；
　　【逆抽屉原理】：从n个抽屉中拿出多于n件的物品，那么最少有2个物品来至于同一个抽屉。
　　【抽屉原理2】：将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么最少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。
　　第二步：学习最具备代表性的题目
　　【例1】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
　　【例2】对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除。
　　【总结】以上的例题都是在考查抽屉原理在整除与余数问题中的利用。以上的题目我们都是利用抽屉原理一来处理的。
　　第三步：找出处理此类问题的核心
　　【例3】从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
　　【例4】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，最少任选几个数，就能够确保其中一定包括两个数，它们的差是12。
　　【例5】从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。
　　｛1，2，4，8，16｝
　　｛3，6，12｝，｛5，10，20｝
　　｛7，14｝，｛9，18｝
　　｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。
　　【总结】依照题目条件灵活结构“抽屉”是处理此类题目标核心。
　　第四步：重点处理该类型的拓展难题
　　我们先来做一个简单的铺垫题：
　　【铺垫】请阐明，任意3个自然数，总有2个数的和是偶数。
　　【例6】请阐明，对于任意的11个正整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除。
　　【总结】上面两道题目用到了抽屉原理中的“双重抽屉”与“合并抽屉”，都是在原有经典抽屉原理题目标基础上进行的拓展。

什么是抽屉原理？
（1）举例
　　桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉能够放一个，有的能够放两个，有的能够放五个，但最后我们会发觉最少我们能够找到一个抽屉里面最少放两个苹果。
　　（2）定义
　　一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必然最少有一个抽屉里最少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。
（一）、利用公式进行解题
　　苹果÷抽屉＝商……余数
　　余数：（1）余数＝1，                 结论：最少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
　　（2）余数＝，  结论：最少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
　　（3）余数＝0，                          结论：最少有“商”个苹果在同一个抽屉里
　　（二）、利用最值原了解题
　　将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”措施、特殊值措施．

举个例子：把3个苹果任意放到2个抽屉里，必有一个抽屉最少放了2个苹果。这个生活中最简单的道理，在数学上就叫做抽屉原理。
应用抽屉原理能够处理诸多奇妙的问题，当然在实际问题中，“抽屉”和“物体”的表述是不明确的，解题的核心就是找出问题中哪个概念对应的是“抽屉”，哪个概念对应的是“物体”，精心制造“抽屉”是处理此类问题的核心。
【题目1】：
最少在多少个人中，才能找到两个同月份出生的人？
【解析】：
每年都有12个不一样的月份，能够看着是12个抽屉。人就看着苹果。
原题就相称于：多少个苹果放到12个抽屉里，能够确保最少有一个抽屉里有2个苹果?
12+1=13（人）
因此最少在13个人中，才能找到两个同月份出生的人。
【题目2】：
在任意3个自然数中，是否其中必然有两个数，它们的和为偶数？为何？
【解析】：
我们先把奇数看作一个抽屉，把偶数看作一个抽屉。
自然数不是奇数就是偶数，那么这任意3个自然数不是奇数就是偶数，把这3个数放到上面奇、偶数两个抽屉里，最少有一个抽屉里有两个数，即3个自然数中有两个奇数或两个偶数必居其一。
假如3个数中有两个奇数，这两个奇数的和一定是偶数；假如3个数中有两个偶数，这两个偶数的和也一定是偶数。
因此在任意3个自然数中，其中必然有两个数，它们的和为偶数。
【题目3】：
班上有50名小朋友，老师最少要拿几本书，随意分给小朋友，才能确保最少有一个小朋友能得到不少于两本的书？
【解析】：
“确保最少有一个小朋友能得到不少于两本的书”意思就是：确保最少有一个小朋友最少得到两本书。
我们把50个小朋友看着50个抽屉，最少要多少本书放到50个抽屉里，能确保最少有一个抽屉里最少有两本书呢：50+1=51（本）。
【题目4】：
在1，2，3，…，99，100这100个整数中，选出某些数，使得任意两数的差都不等于1，2，6，那么，从中最多能选出几个数？
【解析】：
第一步：先从1开始列一列。
①先选1；②最少加3（差不能为1、2）选4；③最少要加4（差也不能为6）选8；④接着再加3选11；⑤加4选15……可列举如下：
1、4、8、11、15、18、22、25.29……
第二步：观测上面的数列，找规律。
从1到7七个数中能够选2个数；从8到14七个数中又能够选2个数；从15到21七个数中又能够选2个数……
即每7个数一组能够选出2个数，这2个数能够选7个数中的第1个和第4个。
100÷7=14（组）……2（个）
共有14组，每组选2个数，还剩余2个数，即第十五组的第1个数和第2个数。每组第1个数也是可选的。因此从中最多能够选出数：
14×2＋1=29（个）。
【题目5】：
泡泡糖出售机内有各种颜色的糖，有红色糖10颗、白色糖15颗、蓝色糖3颗、黄色糖20颗。假如投入1元钱钱币可得到1颗糖，那么最少投入多少元钱，就能够确保得到5颗颜色相同的糖？
【解析】：
这里共有4种颜色的糖果，除了蓝色糖果3颗，其他颜色糖果都不少于5颗。从最糟糕的情况考虑：投币先得到蓝色糖3颗，其他颜色糖每种4颗。
这时候再买一颗糖，无论是哪种颜色的糖，就得到了这种颜色的糖5颗。
一元钱一颗糖，买这些糖最少要投入钱币：3×4＋3＋1=16（颗）。
本题依据抽屉原理2：把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则最少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
【题目6】：
2行5列共10个小方格，将每个小方格涂上红色或蓝色。试论：无论怎样涂法，其中最少有两列，它们的涂色方式是同样的。
【解析】：
2行5列的小方格，每列有2个小方格竖排，每个小方格涂上红色或蓝色，共有如下4种涂法（看着4个抽屉）：
红         红           蓝          蓝
红         蓝           蓝          红