暑期数学综合试卷一.doc

暑期数学综合试卷一
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1、已知则 .
2、已知复数，(i为虚数单位)则复数的实部为 .
3、写出命题:“若x=3，则x2-2x-3=0”的否命题 .
4、一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的“茎叶图”如图，则他在这5场比赛中得分的方差为 .
5、如图所示的流程图，输出的 .
6、已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 .
7、若实数满足不等式组，则的最大值为 .
8、已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 .
9、在等差数列中，为其前n项的和，若则 .
10、将的图像向右平移单位（），使得平移后的图像过点则的最小值为 .
11、若直线： 被圆截得的弦长为2，则a= .
12、已知函数f(x)= 为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为 .
13、在三角形ABC中，已知AB=3，A=,的面积为，则的值= .
14、设点P,M,N分别在函数的图象上，且,则点P横坐标的取值范围为 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、（本小题满分14分）已知，
（1）若，求的最大值及对应的x的值.
（2）若， ，求tanx的值.

16、（本小题满分14分）已知三棱锥中，平面ABC, ，
D为PB中点，E为的中点，
（1）求证：平面；（2）求证:平面平面.

17、（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25-x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入-总支出）

18、（本小题满分16分）
已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程;
（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且，求直线AB方程.

19、已知数列满足，数列满足
（1）若为等比数列，求的前n项的和；
（2）若，求数列的通项公式；
（3）若，求证：

20、已知函数，
（1）求证： ;
(2)设,求证：存在唯一的使得g(x)图象在点A()处的切线与y=f(x)图象也相切；
（3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得成立.

暑期数学综合试卷一参考答案
一、填空、(每题5分，满分70分)
1、， 2、1, 3、“若则”， 4、2, 5、4,
6、， 7、6, 8、， 9、40, 10、， 11、-2, 12、，
13、， 14、。
二、解答题：(满分90分)
15、解：（1）………………………………（2分）
当
时f(x)有最大值2; ……………………………………………（6分）
(2) ………………………………………………………………(8分）

或
tanx=…………………………………………………（14分）
16、（1）证明：………………………(7分）

（2）………………………(12分）
,又(14分)
17、
解：（1）设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元，
则，

18、解：（1）…………………………………………………（2分）
设椭圆方程为：，
设椭圆方程为：…………………………………………………………(7分）

（2）设B()，D(0，m)，则，
即代入椭圆方程得m=1…(14分）

………………………………………………………………………(16分）
19、（1）……………………….……….…………(2分）
当a=1时，则……………………………………………………………(3分）
当时，………………………………………………………….…(5分）
（2）
………………………………………………………………(7分）
当时，
当时，
………………………………………………………………(11分）
（3）①，②
①－②得
=
=
＞－3．…….(16分)
20、（1）令，
得,
当时当时
，
由最小值定义得即…………………………………（4分）
（2）在处切线方程为 ①
设直线与图像相切于点，则 ②……(6分)

③
由①②得
④

⑤
下证在上存在且唯一.
令，
在上.
又图像连续，存在唯一 使⑤式成立，从而由③④可确立.故得证……………………………………………………（10分）
(1) 由（1）知即证当时不等式即在上有解.
令，即证………………………………………（12分）
由得.
当时，，
当时，.
.
令，其中
则，.
综上得证…………………………………………………………………………………(16分)