资源描述
一元二次方程求解(配方法求解)
一.解答题(共30小题)
1.解方程:x2﹣6x﹣4=0.
2.解方程:x2+4x﹣1=0.
3.解方程:x2﹣6x+5=0 (配方法)
4.解方程:x2﹣2x=4.
5.用配方法解方程:2x2﹣3x﹣3=0.
6.解方程:x2+2x﹣5=0.
7.用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0.
8.解方程:x2﹣2x﹣2=0.
9.用配方法解方程:x2﹣2x﹣4=0.
10.解方程:2x2﹣4x+1=0.
11.2x2﹣5x+2=0(配方法)
12.解方程:x2﹣2x﹣4=0.
13.解方程:(2x﹣1)2=x(3x+2)﹣7.
14.解一元二次方程:x2﹣6x+3=0.
15.解方程:x2﹣2x﹣5=0.
16.有n个方程:x2+2x﹣8=0;x2+2×2x﹣8×22=0;…x2+2nx﹣8n2=0.
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为:“①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=﹣2.”
(1)小静的解法是从步骤 开始出现错误的.
(2)用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0.(用含有n的式子表示方程的根)
17.解方程:4x2﹣6x﹣4=0(用配方法)
18.用配方法解方程:2x2+3x﹣1=0.
19.用配方法解方程:x2+x﹣2=0.
20.用配方法解方程:2x2+1=3x.
21.用配方法解方程:3x2+6x﹣1=0.
22.用配方法解方程:2x2+2x﹣1=0.
23.解方程:x2﹣6x+2=0(用配方法).
24.解下列方程:
(1)x2+6x+7=0(用配方法解)
(2)x2+2x﹣1=0.
25.用配方法解方程:4x2﹣3=4x.
26.用配方法解方程:6x2﹣x﹣12=0.
27.用配方法解方程:2x2﹣8x﹣198=0.
28.用配方法解方程:6x2﹣x﹣12=0.
29.用配方法解方程:2x2﹣5x+2=0.
30.用配方法解方程:2x2﹣x﹣1=0.
一元二次方程求解(配方法求解)
参考答案与试题解析
一.解答题(共30小题)
1.(2015•大连)解方程:x2﹣6x﹣4=0.
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用,把左边配成完全平方式,右边化为常数.
【解答】解:移项得x2﹣6x=4,
配方得x2﹣6x+9=4+9,
即(x﹣3)2=13,
开方得x﹣3=±,
∴x1=3+,x2=3﹣.
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程,用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)形如x2+px+q=0型:第一步移项,把常数项移到右边;第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方;第三步左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可.
(2)形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方.
2.(2016•淄博)解方程:x2+4x﹣1=0.
【分析】首先进行移项,得到x2+4x=1,方程左右两边同时加上4,则方程左边就是完全平方式,右边是常数的形式,再利用直接开平方法即可求解.
【解答】解:∵x2+4x﹣1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4
∴(x+2)2=5
∴x=﹣2±
∴x1=﹣2+,x2=﹣2﹣.
【点评】配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
3.(2016•金乡县一模)解方程:x2﹣6x+5=0 (配方法)
【分析】利用配方法解方程.配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
【解答】解:由原方程移项,得
x2﹣6x=﹣5,
等式两边同时加上一次项系数一半的平方32.得
x2﹣6x+32=﹣5+32,即(x﹣3)2=4,
∴x=3±2,
∴原方程的解是:x1=5,x2=1.
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
4.(2016•安徽)解方程:x2﹣2x=4.
【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解
【解答】解:配方x2﹣2x+1=4+1
∴(x﹣1)2=5
∴x=1±
∴x1=1+,x2=1﹣.
【点评】在实数运算中要注意运算顺序,在解一元二次方程时要注意选择适宜的解题方法.
5.(2016•天门模拟)用配方法解方程:2x2﹣3x﹣3=0.
【分析】首先把方程的二次项系数化为1,移项,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解.
【解答】解:2x2﹣3x﹣3=0,
x2﹣x﹣=0,
x2﹣x+=+,
(x﹣)2=,
x﹣=±,
解得:x1=,x2=.
【点评】此题考查利用配方法解一元二次方程,用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
6.(2015•福州模拟)解方程:x2+2x﹣5=0.
【分析】配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
【解答】解:∵x2+2x﹣5=0,
∴x2+2x=5,
∴x2+2x+1=5+1,
∴(x+1)2=6,
∴x+1=±,
∴x=﹣1±.
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
7.(2015•岳池县模拟)用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0.
【分析】借助完全平方公式,将原方程变形为,开方,即可解决问题.
【解答】解:∵2x2﹣4x﹣3=0,
∴,
∴,
∴x﹣1=±,
∴.
【点评】该题主要考查了用配方法来解一元二次方程的问题;准确配方是解题的关键.
8.(2015•厦门校级质检)解方程:x2﹣2x﹣2=0.
【分析】在本题中,把常数项2移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方.
【解答】解:移项,得
x2﹣2x=2,
配方,得
x2﹣2x+1=2+1,即(x﹣1)2=3,
开方,得
x﹣1=±.
解得x1=1+,x2=1﹣.
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程.用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)形如x2+px+q=0型:第一步移项,把常数项移到右边;第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方;第三步左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可.
(2)形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方.
9.(2015•东西湖区校级模拟)用配方法解方程:x2﹣2x﹣4=0.
【分析】按照配方法的一般步骤计算:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
【解答】解:把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边,得到x2﹣2x=4,
方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2﹣2x+1=4+1,
配方得(x﹣1)2=5,
∴x﹣1=±,
∴x1=1﹣,x2=1+.
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤,解题的关键是牢记步骤,并能熟练运用,此题比较简单,易于掌握.
10.(2014•秦淮区一模)解方程:2x2﹣4x+1=0.
【分析】先化二次项系数为1,然后把左边配成完全平方式,右边化为常数.
【解答】解:由原方程,得
x2﹣2x=﹣,
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方,得
x2﹣2x+1=,
配方,得
(x﹣1)2=,
直接开平方,得
x﹣1=±,
x1=1+,x2=1﹣.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法.用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)形如x2+px+q=0型:第一步移项,把常数项移到右边;第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方;第三步左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可.
(2)形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方.
11.(2016•北京二模)2x2﹣5x+2=0(配方法)
【分析】方程二次项系数化为,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半的平方,左边化为完全平方式,右边合并后,开方即可求出解.
【解答】解:方程变形得:x2﹣x=﹣1,
配方得:x2﹣x+=,即(x﹣)2=,
开方得:x﹣=±,
解得:x1=2,x2=.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
12.(2016•陆丰市校级模拟)解方程:x2﹣2x﹣4=0.
【分析】在本题中,把常数项﹣4移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方.
【解答】解:由原方程移项,得
x2﹣2x=4,
等式两边同时加上一次项系数一半的平方,得
x2﹣2x+1=5,
配方,得
(x﹣1)2=5,
∴x=1±,
∴x1=1+,x2=1﹣.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣配方法.配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
13.(2013•太原)解方程:(2x﹣1)2=x(3x+2)﹣7.
【分析】根据配方法的步骤先把方程转化成标准形式,再进行配方即可求出答案.
【解答】解:(2x﹣1)2=x(3x+2)﹣7,
4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7,
x2﹣6x=﹣8,
(x﹣3)2=1,
x﹣3=±1,
x1=2,x2=4.
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,掌握配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键,是一道基础题.
14.(2016•河北区模拟)解一元二次方程:x2﹣6x+3=0.
【分析】移项,配方,开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
【解答】解:x2﹣6x+3=0,
x2﹣6x=﹣3,
x2﹣6x+9=﹣3+9,
(x﹣3)2=6,
x﹣3=,
x1=3+,x2=3﹣.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,能正确配方是解此题的关键.
15.(2016•翔安区模拟)解方程:x2﹣2x﹣5=0.
【分析】利用完全平方公式配平方,再利用直接开方法求方程的解即可.
【解答】解:x2﹣2x+1=6,
那么(x﹣1)2=6,
即x﹣1=±,
则x1=1+,x2=1﹣.
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法,解题的关键是注意使用配方法是要保证不改变原方程.
16.(2014•葫芦岛)有n个方程:x2+2x﹣8=0;x2+2×2x﹣8×22=0;…x2+2nx﹣8n2=0.
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为:“①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=﹣2.”
(1)小静的解法是从步骤 ⑤ 开始出现错误的.
(2)用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0.(用含有n的式子表示方程的根)
【分析】(1)移项要变号;
(2)移项后配方,开方,即可得出两个方程,求出方程的解即可.
【解答】解:(1)小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的,
故答案为:⑤;
(2)x2+2nx﹣8n2=0,
x2+2nx=8n2,
x2+2nx+n2=8n2+n2,
(x+n)2=9n2,
x+n=±3n,
x1=2n x2=﹣4n.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,解此题的关键是能正确配方,题目比较好,难度适中.
17.(2014•微山县二模)解方程:4x2﹣6x﹣4=0(用配方法)
【分析】把常数项﹣4移项后,然后画二次项系数为1,再在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方.
【解答】解:由原方程,得
x2﹣x=1,
配方,得
x2﹣x+(﹣)2=1+(﹣)2,
则(x﹣)2=,
所以 x﹣=±,
解得 x1=2,x2=﹣.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法.
配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
18.(2016春•门头沟区期末)用配方法解方程:2x2+3x﹣1=0.
【分析】首先把方程的二次项系数化为1,移项,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解.
【解答】解:2x2+3x﹣1=0
x2+(1分)
x2+(3分)
(4分)
x+(6分)
x1=(7分)
【点评】配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
19.(2013•甘肃模拟)用配方法解方程:x2+x﹣2=0.
【分析】先把常数项﹣2移项后,再在方程的左右两边同时加上一次项系数1的一半的平方,然后配方,再进行计算即可.
【解答】解:配方,得x2+x﹣=2+,
即 =,
所以x+= 或x+=﹣.
解得 x1=1,x2=﹣2.
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
20.(2008•济宁)用配方法解方程:2x2+1=3x.
【分析】首先把方程的二次项系数变成1,然后等式的两边同时加上一次项系数的一半,则方程的左边就是完全平方式,右边是常数的形式,再利用直接开平方的方法即可求解.
【解答】解:移项,得2x2﹣3x=﹣1,
二次项系数化为1,得,
配方,
,
由此可得,
∴x1=1,.
【点评】配方法是一种重要的数学方法,是中考的一个重要考点,我们应该熟练掌握.
本题考查用配方法解一元二次方程,应先移项,整理成一元二次方程的一般形式,即ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,然后再配方求解.
21.(2015秋•普陀区期末)用配方法解方程:3x2+6x﹣1=0.
【分析】先把方程两边都除以3,使二次项的系数为1,然后再配上一次项系数一半的平方,利用配方法解方程.
【解答】解:把方程x2+2x﹣=0的常数项移到等号的右边,得
x2+2x=,
方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得
x2+2x+1=+1
配方得(x+1)2=,
开方得x+1=±,
解得x=±﹣1.
【点评】本题考查了配方法解方程.配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
22.(2015春•北京校级期中)用配方法解方程:2x2+2x﹣1=0.
【分析】方程整理后,利用完全平方公式变形,开方即可求出解.
【解答】解:方程变形得:x2+x=,
配方得:x2+x+=,即(x+)2=,
开方得:x+=±,
解得:x1=﹣+,x2=﹣﹣.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
23.(2013•下关区一模)解方程:x2﹣6x+2=0(用配方法).
【分析】配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
【解答】解:x2﹣6x+2=0
移项,得
x2﹣6x=﹣2,
即x2﹣6x+9=﹣2+9,
∴(x﹣3)2=7,
解得x﹣3=±,
即x=3±.
∴x1=3+,x2=3﹣.
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
24.(2016春•潜江校级期中)解下列方程:
(1)x2+6x+7=0(用配方法解)
(2)x2+2x﹣1=0.
【分析】(1)直接利用配方法将原式变形,利用完全平方公式进行配方,进而解方程即可;
(2)直接利用配方法将原式变形,利用完全平方公式进行配方,进而解方程即可.
【解答】解:(1)x2+6x+7=0(用配方法解)
x2+6x=﹣7,
x2+6x+9=﹣7+9,
则(x+3)2=2,
故x+3=±,
解得:x1=﹣3+,x2=﹣3﹣;
(2)x2+2x﹣1=0
x2+2x=1,
x2+2x+1=2,
则(x+1)2=2,
故x+1=±,
解得:x1=﹣1+,x2=﹣1﹣.
【点评】此题主要考查了配方法解方程,正确应用完全平方公式是解题关键.
25.(1997•四川)用配方法解方程:4x2﹣3=4x.
【分析】移项后配方,再开方即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
【解答】解:移项,得4x2﹣4x=3,
配方得:4x2﹣4x+12=3+12,
(2x﹣1)2=4,
开方得:2x﹣1=±2,
2x﹣1=2,2x﹣1=﹣2,
x1=,x2=﹣.
【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程,关键是能正确配方.
26.(2008•泰安)用配方法解方程:6x2﹣x﹣12=0.
【分析】首先将二次项系数化为1.然后移项,把常数项移到等号的右边,方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方,则左边是完全平方式,右边是常数项,即可直接开方求解.
【解答】解:原式两边都除以6,移项得,
配方,得,
(x﹣)2==()2,
即x﹣=或x﹣=﹣,
所以x1=,x2=﹣.
【点评】本题主要考查了配方法,是解一元二次方程常用的一种基本方法.
27.(2015秋•克拉玛依校级期中)用配方法解方程:2x2﹣8x﹣198=0.
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程,首先将常数项移到等号的右侧,把二次项系数化为1,再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方,即可将等号左边的代数式写成完全平方形式.
【解答】解:原方程变形为 x2﹣4x=99,
∴(x﹣2)2=99+4
∴x﹣2=±
∴x1=2+,x2=2﹣.
【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法,配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
28.(2004•泉州)用配方法解方程:6x2﹣x﹣12=0.
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程,首先将常数项移到等号的右侧,把二次项系数化为1,将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方,即可将等号左边的代数式写成完全平方形式.
【解答】解:原方程可化为x2﹣x=2,
∴x2﹣x+()2=2+()2,
配方得(x﹣)2=,
∴x﹣,
解得x1=,x2=﹣.
【点评】配方法的一般步骤:
①把常数项移到等号的右边;
②把二次项的系数化为1;
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
29.(2014秋•天门期末)用配方法解方程:2x2﹣5x+2=0.
【分析】两边都除以2,移项,配方,开方即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
【解答】解:两边都除以2,得,
移项,得,
配方,得x2﹣x+()2=﹣1+()2,
,
解这个方程,得,
∴,x2=2.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,关键是能正确配方.
30.(2006•聊城)用配方法解方程:2x2﹣x﹣1=0.
【分析】首先把方程的二次项系数化为1,移项,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解.
【解答】解:两边都除以2,得.
移项,得.
配方,得,.
∴或.
∴x1=1,.
【点评】配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数
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