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一元二次方程求解(配方法求解).doc

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一元二次方程求解(配方法求解)   一.解答题(共30小题) 1.解方程:x2﹣6x﹣4=0. 2.解方程:x2+4x﹣1=0. 3.解方程:x2﹣6x+5=0 (配方法) 4.解方程:x2﹣2x=4. 5.用配方法解方程:2x2﹣3x﹣3=0. 6.解方程:x2+2x﹣5=0. 7.用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0. 8.解方程:x2﹣2x﹣2=0. 9.用配方法解方程:x2﹣2x﹣4=0. 10.解方程:2x2﹣4x+1=0. 11.2x2﹣5x+2=0(配方法) 12.解方程:x2﹣2x﹣4=0. 13.解方程:(2x﹣1)2=x(3x+2)﹣7. 14.解一元二次方程:x2﹣6x+3=0. 15.解方程:x2﹣2x﹣5=0. 16.有n个方程:x2+2x﹣8=0;x2+2×2x﹣8×22=0;…x2+2nx﹣8n2=0. 小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为:“①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=﹣2.” (1)小静的解法是从步骤  开始出现错误的. (2)用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0.(用含有n的式子表示方程的根) 17.解方程:4x2﹣6x﹣4=0(用配方法) 18.用配方法解方程:2x2+3x﹣1=0. 19.用配方法解方程:x2+x﹣2=0. 20.用配方法解方程:2x2+1=3x. 21.用配方法解方程:3x2+6x﹣1=0. 22.用配方法解方程:2x2+2x﹣1=0. 23.解方程:x2﹣6x+2=0(用配方法). 24.解下列方程: (1)x2+6x+7=0(用配方法解) (2)x2+2x﹣1=0. 25.用配方法解方程:4x2﹣3=4x. 26.用配方法解方程:6x2﹣x﹣12=0. 27.用配方法解方程:2x2﹣8x﹣198=0. 28.用配方法解方程:6x2﹣x﹣12=0. 29.用配方法解方程:2x2﹣5x+2=0. 30.用配方法解方程:2x2﹣x﹣1=0.   一元二次方程求解(配方法求解) 参考答案与试题解析   一.解答题(共30小题) 1.(2015•大连)解方程:x2﹣6x﹣4=0. 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用,把左边配成完全平方式,右边化为常数. 【解答】解:移项得x2﹣6x=4, 配方得x2﹣6x+9=4+9, 即(x﹣3)2=13, 开方得x﹣3=±, ∴x1=3+,x2=3﹣. 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程,用配方法解一元二次方程的步骤: (1)形如x2+px+q=0型:第一步移项,把常数项移到右边;第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方;第三步左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可. (2)形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方.   2.(2016•淄博)解方程:x2+4x﹣1=0. 【分析】首先进行移项,得到x2+4x=1,方程左右两边同时加上4,则方程左边就是完全平方式,右边是常数的形式,再利用直接开平方法即可求解. 【解答】解:∵x2+4x﹣1=0 ∴x2+4x=1 ∴x2+4x+4=1+4 ∴(x+2)2=5 ∴x=﹣2± ∴x1=﹣2+,x2=﹣2﹣. 【点评】配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.   3.(2016•金乡县一模)解方程:x2﹣6x+5=0 (配方法) 【分析】利用配方法解方程.配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 【解答】解:由原方程移项,得 x2﹣6x=﹣5, 等式两边同时加上一次项系数一半的平方32.得 x2﹣6x+32=﹣5+32,即(x﹣3)2=4, ∴x=3±2, ∴原方程的解是:x1=5,x2=1. 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.   4.(2016•安徽)解方程:x2﹣2x=4. 【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解 【解答】解:配方x2﹣2x+1=4+1 ∴(x﹣1)2=5 ∴x=1± ∴x1=1+,x2=1﹣. 【点评】在实数运算中要注意运算顺序,在解一元二次方程时要注意选择适宜的解题方法.   5.(2016•天门模拟)用配方法解方程:2x2﹣3x﹣3=0. 【分析】首先把方程的二次项系数化为1,移项,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解. 【解答】解:2x2﹣3x﹣3=0, x2﹣x﹣=0, x2﹣x+=+, (x﹣)2=, x﹣=±, 解得:x1=,x2=. 【点评】此题考查利用配方法解一元二次方程,用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.   6.(2015•福州模拟)解方程:x2+2x﹣5=0. 【分析】配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 【解答】解:∵x2+2x﹣5=0, ∴x2+2x=5, ∴x2+2x+1=5+1, ∴(x+1)2=6, ∴x+1=±, ∴x=﹣1±. 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.   7.(2015•岳池县模拟)用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0. 【分析】借助完全平方公式,将原方程变形为,开方,即可解决问题. 【解答】解:∵2x2﹣4x﹣3=0, ∴, ∴, ∴x﹣1=±, ∴. 【点评】该题主要考查了用配方法来解一元二次方程的问题;准确配方是解题的关键.   8.(2015•厦门校级质检)解方程:x2﹣2x﹣2=0. 【分析】在本题中,把常数项2移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方. 【解答】解:移项,得 x2﹣2x=2, 配方,得 x2﹣2x+1=2+1,即(x﹣1)2=3, 开方,得 x﹣1=±. 解得x1=1+,x2=1﹣. 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程.用配方法解一元二次方程的步骤: (1)形如x2+px+q=0型:第一步移项,把常数项移到右边;第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方;第三步左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可. (2)形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方.   9.(2015•东西湖区校级模拟)用配方法解方程:x2﹣2x﹣4=0. 【分析】按照配方法的一般步骤计算:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数. 【解答】解:把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边,得到x2﹣2x=4, 方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2﹣2x+1=4+1, 配方得(x﹣1)2=5, ∴x﹣1=±, ∴x1=1﹣,x2=1+. 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤,解题的关键是牢记步骤,并能熟练运用,此题比较简单,易于掌握.   10.(2014•秦淮区一模)解方程:2x2﹣4x+1=0. 【分析】先化二次项系数为1,然后把左边配成完全平方式,右边化为常数. 【解答】解:由原方程,得 x2﹣2x=﹣, 等式的两边同时加上一次项系数一半的平方,得 x2﹣2x+1=, 配方,得 (x﹣1)2=, 直接开平方,得 x﹣1=±, x1=1+,x2=1﹣. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法.用配方法解一元二次方程的步骤: (1)形如x2+px+q=0型:第一步移项,把常数项移到右边;第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方;第三步左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可. (2)形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方.   11.(2016•北京二模)2x2﹣5x+2=0(配方法) 【分析】方程二次项系数化为,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半的平方,左边化为完全平方式,右边合并后,开方即可求出解. 【解答】解:方程变形得:x2﹣x=﹣1, 配方得:x2﹣x+=,即(x﹣)2=, 开方得:x﹣=±, 解得:x1=2,x2=. 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.   12.(2016•陆丰市校级模拟)解方程:x2﹣2x﹣4=0. 【分析】在本题中,把常数项﹣4移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方. 【解答】解:由原方程移项,得 x2﹣2x=4, 等式两边同时加上一次项系数一半的平方,得 x2﹣2x+1=5, 配方,得 (x﹣1)2=5, ∴x=1±, ∴x1=1+,x2=1﹣. 【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣配方法.配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.   13.(2013•太原)解方程:(2x﹣1)2=x(3x+2)﹣7. 【分析】根据配方法的步骤先把方程转化成标准形式,再进行配方即可求出答案. 【解答】解:(2x﹣1)2=x(3x+2)﹣7, 4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7, x2﹣6x=﹣8, (x﹣3)2=1, x﹣3=±1, x1=2,x2=4. 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,掌握配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键,是一道基础题.   14.(2016•河北区模拟)解一元二次方程:x2﹣6x+3=0. 【分析】移项,配方,开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可. 【解答】解:x2﹣6x+3=0, x2﹣6x=﹣3, x2﹣6x+9=﹣3+9, (x﹣3)2=6, x﹣3=, x1=3+,x2=3﹣. 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,能正确配方是解此题的关键.   15.(2016•翔安区模拟)解方程:x2﹣2x﹣5=0. 【分析】利用完全平方公式配平方,再利用直接开方法求方程的解即可. 【解答】解:x2﹣2x+1=6, 那么(x﹣1)2=6, 即x﹣1=±, 则x1=1+,x2=1﹣. 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法,解题的关键是注意使用配方法是要保证不改变原方程.   16.(2014•葫芦岛)有n个方程:x2+2x﹣8=0;x2+2×2x﹣8×22=0;…x2+2nx﹣8n2=0. 小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为:“①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=﹣2.” (1)小静的解法是从步骤 ⑤ 开始出现错误的. (2)用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0.(用含有n的式子表示方程的根) 【分析】(1)移项要变号; (2)移项后配方,开方,即可得出两个方程,求出方程的解即可. 【解答】解:(1)小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的, 故答案为:⑤; (2)x2+2nx﹣8n2=0, x2+2nx=8n2, x2+2nx+n2=8n2+n2, (x+n)2=9n2, x+n=±3n, x1=2n x2=﹣4n. 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,解此题的关键是能正确配方,题目比较好,难度适中.   17.(2014•微山县二模)解方程:4x2﹣6x﹣4=0(用配方法) 【分析】把常数项﹣4移项后,然后画二次项系数为1,再在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方. 【解答】解:由原方程,得 x2﹣x=1, 配方,得 x2﹣x+(﹣)2=1+(﹣)2, 则(x﹣)2=, 所以 x﹣=±, 解得 x1=2,x2=﹣. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法. 配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.   18.(2016春•门头沟区期末)用配方法解方程:2x2+3x﹣1=0. 【分析】首先把方程的二次项系数化为1,移项,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解. 【解答】解:2x2+3x﹣1=0 x2+(1分) x2+(3分) (4分) x+(6分) x1=(7分) 【点评】配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.   19.(2013•甘肃模拟)用配方法解方程:x2+x﹣2=0. 【分析】先把常数项﹣2移项后,再在方程的左右两边同时加上一次项系数1的一半的平方,然后配方,再进行计算即可. 【解答】解:配方,得x2+x﹣=2+, 即 =, 所以x+= 或x+=﹣. 解得 x1=1,x2=﹣2. 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.   20.(2008•济宁)用配方法解方程:2x2+1=3x. 【分析】首先把方程的二次项系数变成1,然后等式的两边同时加上一次项系数的一半,则方程的左边就是完全平方式,右边是常数的形式,再利用直接开平方的方法即可求解. 【解答】解:移项,得2x2﹣3x=﹣1, 二次项系数化为1,得, 配方, , 由此可得, ∴x1=1,. 【点评】配方法是一种重要的数学方法,是中考的一个重要考点,我们应该熟练掌握. 本题考查用配方法解一元二次方程,应先移项,整理成一元二次方程的一般形式,即ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,然后再配方求解.   21.(2015秋•普陀区期末)用配方法解方程:3x2+6x﹣1=0. 【分析】先把方程两边都除以3,使二次项的系数为1,然后再配上一次项系数一半的平方,利用配方法解方程. 【解答】解:把方程x2+2x﹣=0的常数项移到等号的右边,得 x2+2x=, 方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得 x2+2x+1=+1 配方得(x+1)2=, 开方得x+1=±, 解得x=±﹣1. 【点评】本题考查了配方法解方程.配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.   22.(2015春•北京校级期中)用配方法解方程:2x2+2x﹣1=0. 【分析】方程整理后,利用完全平方公式变形,开方即可求出解. 【解答】解:方程变形得:x2+x=, 配方得:x2+x+=,即(x+)2=, 开方得:x+=±, 解得:x1=﹣+,x2=﹣﹣. 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.   23.(2013•下关区一模)解方程:x2﹣6x+2=0(用配方法). 【分析】配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 【解答】解:x2﹣6x+2=0 移项,得 x2﹣6x=﹣2, 即x2﹣6x+9=﹣2+9, ∴(x﹣3)2=7, 解得x﹣3=±, 即x=3±. ∴x1=3+,x2=3﹣. 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.   24.(2016春•潜江校级期中)解下列方程: (1)x2+6x+7=0(用配方法解) (2)x2+2x﹣1=0. 【分析】(1)直接利用配方法将原式变形,利用完全平方公式进行配方,进而解方程即可; (2)直接利用配方法将原式变形,利用完全平方公式进行配方,进而解方程即可. 【解答】解:(1)x2+6x+7=0(用配方法解) x2+6x=﹣7, x2+6x+9=﹣7+9, 则(x+3)2=2, 故x+3=±, 解得:x1=﹣3+,x2=﹣3﹣; (2)x2+2x﹣1=0 x2+2x=1, x2+2x+1=2, 则(x+1)2=2, 故x+1=±, 解得:x1=﹣1+,x2=﹣1﹣. 【点评】此题主要考查了配方法解方程,正确应用完全平方公式是解题关键.   25.(1997•四川)用配方法解方程:4x2﹣3=4x. 【分析】移项后配方,再开方即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可. 【解答】解:移项,得4x2﹣4x=3, 配方得:4x2﹣4x+12=3+12, (2x﹣1)2=4, 开方得:2x﹣1=±2, 2x﹣1=2,2x﹣1=﹣2, x1=,x2=﹣. 【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程,关键是能正确配方.   26.(2008•泰安)用配方法解方程:6x2﹣x﹣12=0. 【分析】首先将二次项系数化为1.然后移项,把常数项移到等号的右边,方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方,则左边是完全平方式,右边是常数项,即可直接开方求解. 【解答】解:原式两边都除以6,移项得, 配方,得, (x﹣)2==()2, 即x﹣=或x﹣=﹣, 所以x1=,x2=﹣. 【点评】本题主要考查了配方法,是解一元二次方程常用的一种基本方法.   27.(2015秋•克拉玛依校级期中)用配方法解方程:2x2﹣8x﹣198=0. 【分析】本题要求用配方法解一元二次方程,首先将常数项移到等号的右侧,把二次项系数化为1,再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方,即可将等号左边的代数式写成完全平方形式. 【解答】解:原方程变形为 x2﹣4x=99, ∴(x﹣2)2=99+4 ∴x﹣2=± ∴x1=2+,x2=2﹣. 【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法,配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.   28.(2004•泉州)用配方法解方程:6x2﹣x﹣12=0. 【分析】本题要求用配方法解一元二次方程,首先将常数项移到等号的右侧,把二次项系数化为1,将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方,即可将等号左边的代数式写成完全平方形式. 【解答】解:原方程可化为x2﹣x=2, ∴x2﹣x+()2=2+()2, 配方得(x﹣)2=, ∴x﹣, 解得x1=,x2=﹣. 【点评】配方法的一般步骤: ①把常数项移到等号的右边; ②把二次项的系数化为1; ③等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.   29.(2014秋•天门期末)用配方法解方程:2x2﹣5x+2=0. 【分析】两边都除以2,移项,配方,开方即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可. 【解答】解:两边都除以2,得, 移项,得, 配方,得x2﹣x+()2=﹣1+()2, , 解这个方程,得, ∴,x2=2. 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,关键是能正确配方.   30.(2006•聊城)用配方法解方程:2x2﹣x﹣1=0. 【分析】首先把方程的二次项系数化为1,移项,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解. 【解答】解:两边都除以2,得. 移项,得. 配方,得,. ∴或. ∴x1=1,. 【点评】配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数   第20页(共20页)
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