高二数学竞赛试题及龙一中doc.doc

和龙一中高二理科
数学竞赛试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，则集合下列关系正确的是（ ）
（A） （B）（C） （D）M与N之间无包含关系
2．在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB
（A）有最大值和最小值0 （B）既无最大值也无最小值
（C）有最大值，但无最小值 （D）有最大值1,但无最小值
3．已知，则下列不等式一定成立的是( )
（A）a2＞b2 （B）ln a＞ln b （C） （D）＞
4．设、是两个非零向量，则(+)2=()2+()2是⊥的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
5．若数列{}的通项公式为an=，其中均为整数，则与的大小关系为
（A） （B） （C） （D）与n的取值有关
6．若不等式对一切都成立，则a的取值范围是( )
（A）（3，+∞） （B）[0,3） （C） （D）[0，3]
7．过点P(1,4)直线在两个坐标轴上的截距都为正，且截距之和最小，则直线的方程为( )
（A） （B）
（C） （D）
8．已知cos(α－β)=，sinβ=－，且α∈(0，)，β∈(－，0)，则sinα=
（A） （B） （C）－ （D）－
9.已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面且，，
①若，则 ②若，则
③若，相交，则，也相交 ④若，相交，则，也相交
则其中正确的结论是（ ）
（A）①②④ （B）①②③ （C）①③④ （D）②③④
10．是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上的动点，从一焦点向的顶点Q的外角平分线引垂线，垂足为P，则点得轨迹是( )
（A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
11．等比数列{}中，a4+a6=3，则a5（a3+2a5+a7）= .
12．设函数f（x）=，则满足f（x）≥的x的取值范围为 .
13．实数满足：，且的最大值为，则实数 ．
14．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于 ．

高二数学竞赛试题
一、选择题
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案

二、填空题

11、 ；12、 ；13、 ；14、

三、解答题：本大题共6小题共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
15、（本小题满分10分）
已知向量＝（x，x－4），向量＝（x，x），x∈[－4，5]
（Ⅰ）试用x表示·；
（Ⅱ）求·的最大值，并求此时的、夹角的余弦值.

16. （本小题满分10分）设二次函数，当，时，的所有整数值的个数为.
（1）求的表达式
（2）设，设，求

17、（本小题满分12分）
已知某椭圆的焦点是、，过点F2并垂直到x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点、满足条件：、、成等差数列。
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；
（Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围。

18. （本小题满分12分）已知f（x）=.是否存在实数p、q、m，使f（x）同时满足下列三个条件：①定义域为R的奇函数；②在[1，+∞上是减函数；③最小值是－1.若存在，求出p、q、m；若不存在，说明理由.

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