坐标轴平移参考.doc

§2-2 旋转坐标轴
(甲)转轴公式
考虑一个以点F(2,2)为焦点，以直线L：x+y=0为准线的
拋物线G方程式是G ：= ……..(*)，
(*)式平方后可化成G：x2-2xy+y2-8x-8y+16=0…(**)，
但是从(**)很难辨识它是一条拋物线，
是否可以利用适当的坐标变换，
来辨识(**)式为一条拋物线。
我们如果将坐标轴看成此拋物线的轴与过顶点
与轴垂直的直线，则此拋物线就成为一条开口
向上的拋物线，方程式也会化成y//=ax//2的形式，
因此接下来要考虑坐标轴的旋转，以化简G的方程式。

(1)推导转轴公式：
将直角坐标系S(O,. ,)绕原点旋转一个有向角q ，得到一个新坐标系S//(O, , )，像这种「坐标原点及长度单位都不变，只改变坐标的方向」的坐标变换称为坐标轴的旋转，简称转轴。

基底=(cosq，sinq)=cosq+sinq，
=(cos(q+)，sin(q+))=(-sinq，cosq)=(-sinq)+cosq
设P点在坐标系S(O,. ,)与S//(O, , )下的坐标为(x,y)、(x//,y//)
=x+y
=x//+y//
=x//( cosq+sinq)+y//((-sinq)+cosq )
=(x//cosq -y//sinq)+(x//sinq +y//cosq )
Þ 这个式子称为转轴公式。

[几何解释]：
如右图，=-=cosq -sinq =x//cosq -y//sinq
=+=cosq +sinq =x//sinq +y//cosq

透过可解得
从另一个方向来看，把新坐标系S//绕原点O旋转有向角-q就可变成原坐标系S，即(x//,y//)看成原坐标，(x,y)看成转轴后的新坐标，那么由转轴公式得到

结论：
(1)将直角坐标系的x、y轴旋转q角度，得到新的坐标轴x//、y//轴
点P作这两个坐标下的坐标分别为(x,y)、(x//,y//)，
(x,y)与(x//,y//)满足下列关系：。

(2)记忆法：

[例題1] 设将原坐标系旋转q，q如下，试分别将原坐标为(x,y)之点的新坐标以x,y表示。(1)q =30° (2)q =
Ans：(1)x//=x+y，y//=x+y (2)x//=x+y，y//=x+y
(練習1) 将坐标轴旋转q=，
(1)若点A(2,1)，求点A之新坐标。
(2)若点B之新坐标为(-2,3)，求点B的原坐标。
Ans：(1)(+，-1+) (2)(--，-1+)
(練習2) 将坐标轴旋转q=cos-1 ，若P(2，-1)之新坐标(h,k)，而Q(r,s)之新坐标为(2，-1)，求(h,k)、(r,s)。 Ans：(h,k)=(，)，(r,s)=(2，1)
(練習3) 平面上一点A(2,5)试分别就下列情形求A点的新坐标。
(1)先将坐标轴平移至(1,4)，再将新坐标轴以新原点为中心旋转。
(2)先将坐标轴以原点为中心旋转，再依新坐标轴平移(1,4)。
(3)于(2)中若先将坐标轴以原点为中心旋转后应平移至何处，则得A点所得之新坐标才与(1)相同。
Ans：(1)(,0) (2)( -1， -4) (3)平移至(，)
(乙)转轴化简方程式
例子：
将坐标轴旋转，求曲线G：x2+4xy+y2=3在新坐标系中的方程式，并作图。
[解法]：

设坐标轴旋转q角度，
根据转轴公式代入
曲线G的方程式x2+4xy+y2=3，得

(x//cosq-y//sinq)2+4(x//cosq-y//sinq)(x//sinq+y//cosq)+(x//sinq+y//cosq)2=3
Þ(cos2q+4cosqsinq+sin2q)x//2+(-2sinqcosq+4cos2q-4sin2q+2sinq cosq)x//y//
+(sin2q-4sinq cosq+cos2q)y//2=3……(*)

若要选取角度q，使得x//y//项的系数=0
Þ-2sinqcosq+4cos2q-4sin2q+2sinq cosq=4(cos2q-sin2q)=0Þcos2q=sin2q
可以取q=，再代入(*)中，可得 - =1 ，故可知G是一个双曲线。
(1)化简方程式：
由前面例题，我们发现适当选择旋转的角度q，可以使二次曲线的新方程式中消去xy项，但是对于一般的二次曲线G：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 (b¹0)……..(A)
如何选择转轴的角度q，才可以使G的新方程式中缺少xy项呢？

将代入二次曲线G的方程式中：

Þa(x//cosq-y//sinq)2+b(x//cosq-y//sinq)(x//sinq+y//cosq)+c(x//sinq+y//cosq)2
+d(x//cosq-y//sinq)+e(x//sinq+y//cosq)+f=0

上面的方程式展开后，整理成a//x//2+b//x//y//+c//y//2+d//x//+e//y//+f //=0……(B)

其中a//=acos2q+b×sinq cosq +csin2q，
b//=-2asin cosq +b(cos2q -sin2q)+2csinqcosq =bcos2q-(a-c)sin2q
c//=asin2q-bsinq cosq +ccos2q
d//=d cosq +e sinq
e//=-d sinq +e cosq
f //=f
如果选取转轴的角度q使得bcos2q-(a-c)sin2q=0，则x//y//项的系数b//=0，
所以当cot2q= (b¹0)时，x//y//项的系数b//=0。
结论：
可以取得锐角q满足cot2q=，选择这样的锐角q作为转轴旋转的角度，变换后的二次曲线G：a//x//2+c//y//2+d//x//+e//+y//+f//=0 (f //=f )。
[例題2] 坐标轴旋转q角度(0<q<)，使得曲线G：52x2-72xy+73y2=100
之新方程式中没有xy项。(1)求cot2q、sinq 、cosq 的值。
(2)写出转轴公式。 (3)求G的新方程式。(4)请求出焦点的坐标
Ans：(1)、、 (2)x=x//-y//，y=x//+y//
(3) + =1(4)(,)、(-,-)

[例題3] 设Γ为以原点O(0,0)为顶点，F(1,2)为焦点之拋物线，将原坐标系S旋转
cos－1得到新坐标系S//，则F对S'的坐标为　　　　　，Γ对S'坐标系的新方程式为　　　　　，Γ对原坐标系S的方程式为　　　　　。
(化为二元二次式)
Ans：(，0)，y'2＝4x'，4x2－4xy＋y2－20x－40y＝0
[解法]
θ＝cos－1，原坐标S旋转θ得到新坐标系S//，根据转轴公式

由知焦点F对于S//的坐标为(，0)
∴　在S'坐标系中，Γ：y//2＝4x//
(－2x＋y)2＝4．(x＋2y)
4x2－4xy＋y2＝20x＋40y
∴　在S中，Γ：4x2－4xy＋y2－20x－40y＝0。

(練習4) 设q为坐标轴旋转的角度，试求下列二次曲线旋转坐标轴后的新方程式。
(1)q=，xy= (2)q=，5x2-6xy+5y2=32
Ans：(1)x//2-y//2=2 (2) + =1
(練習5) 将坐标轴旋转q角(0<q<)，使得曲线G：2x2-xy+y2=10对新坐标系中的方程式消去xy项，请问q=？新的方程式为何？
Ans：， + =1
(練習6) 将坐标轴旋转q角(0<q<)，使得曲线G：2x2+4xy+5y2=12对新坐标系中的方程式消去xy项，
(1)请写出转轴公式(2)新的方程式为何？
Ans：(1)，(2) + =1
(練習7) 将坐标轴旋转q角(0<q<)，使得曲线G：xy+y2=12对新坐标系中的方程式消去xy项，
(1) 请问q=？(2)新的方程式为何？
Ans：(1)，(2) - =1
(練習8) 曲线：x2–2xy+y2–4( x + y ) = 0，
将坐标轴旋转，
(1) 可得新坐标方程式为　　　　。
(2) 其图形为何？答：　　　　。
Ans：(1) (y//)2 = 4 (x//)；(2) 拋物线
(丙)移轴与转轴化简方程式

例子：利用坐标变换，将曲线G：5x2-6xy+5y2-4x-4y-4=0化成标准式。

[先移轴]：因为=b2-4ac=(-6)2-4×5×5<0，由前面的讨论可知，可以选择适当的原点O/(h,k)来移轴，使得G的新方程式中的两个一次式项消去。
将移轴公式代入G的原方程式，
可得G：5x/2-6x/y/+5y/+dx/+ey/+f/=0
其中，
令(1)(2)中d=e=0，可得h=1,k=1
所以移轴到O/(1,1)可得
新的方程式为5x/2-6x/y/+5y/2=8 ……..(4)

[再转轴]：取一锐角q满足cot2q==0 Þq=，因此可得转轴公式
，代入(4)中，

5×(x//-y//)2-6×(x//2-y//2)+5×(x//+y//)2=8，
整理可得G： + =1。所以G是椭圆，对称中心在O/(1,1)。
[讨论]：
这个椭圆的长轴、短轴所在直线方程式(对于原坐标而言)为何？正焦弦长=？

[讨论]：如果先移轴，再转轴的话，结果会一样吗？

例子：利用坐标变换，将曲线G：4x2-4xy+y2-2x-4y+8=0化成标准式。

因为=b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0，因此移轴无法消去两个一次项，
因此先转轴消去xy项，再用配方法化成标准式。
[先转轴]：
取一个锐角q满足cot2q= =，由此知<2q <p，因此cos2q=。
Þcosq=，sinq =，
于是可得转轴公式
代入G 的方程式中，化简可得G：25y/2-10x/+40=0，
配方得y/2= (x/-)……….(1)。
[再移轴]：根据配方的结果，将原点移至O/(，0) (对转轴后的新坐标而言)，
并将移轴公式：代入(1)得到G的标准式：y//2=x// ，所以G是一条拋物线。

[讨论]：这个拋物线的对称轴、准线方程式(对x,y坐标而言)为何？正焦弦长=？

[例題4] 设G：4x2-24xy+11y2+40x+30y-145=0
(1)先移轴至O/(h,k)，使得x,y项的系数为0，此时方程式为何？
(2)在将坐标轴绕O/旋转q角度(0<q<)，使得(1)中的式子没有xy项，
此时方程式为何？
(3)求(x-4)2+(y-3)2的最小值。
(4)求G的正焦弦长。
Ans：(1)4x/2-24x/y/+11y/2=20 (2) - =1 (3)1 (4)8

(練習9) 于xy平面上，方程式5x2-6xy+5y2-4x-4y-4=0，
(1)标移轴转轴化简方程式成标准式。
(2)请问中心、长轴顶点、焦点坐标为何？
Ans：(1) + =1(2)中心(1,1)、焦点(+1，+1)、(-+1，-+1)、
长轴顶点(+1，+1)、(-+1，-+1)
(練習10) 若p ( x,y )为曲线：3x2 + 2xy +5y2 = 12上之动点则
(1) p到原点之最大距离为　　。(2) p到原点之最小距离为　　。
(3) x2+y2的最大值=_______。 (4) x2+y2的最小值=_______。
Ans：(1) (2) (3)6 (2)2
综合练习
(1) 坐标轴旋转q角度(0<q<)，使曲线G：2x2+4xy+5y2=12的新方程式消去xy项。
(a)写出转轴公式。
(b)化简G的方程式，并说明G的形状。
(c)求G的正焦弦长、焦点坐标。

(2) 旋转坐标轴角( 0 <<)，可使方程式4x2 – 12xy + 13y2 + 2x – 3y + 6 =0不具xy项，则cos=(A)(B)(C)(D)(E)

(3) 在坐标平面上，设曲线Γ的方程式为7x2-48xy-7y2+25=0，若将原坐标系旋转cos-1，则Γ的新方程式为何？
(4) 如右图，将坐标轴旋转q角后，
(a)q=______。
(b)椭圆对新坐标系的方程式为_____________________。
(c)椭圆的原方程式为___________________。

(5) 利用移轴、转轴化简下列曲线的方程式：
(a)5x2+4xy+8y2-2x+28y-7=0
(b)7x2-6xy-y2-26x+2y+7=0

(6) 将坐标轴旋转q角使得曲线的新方程式没有xy项。
(a)　　。(b)=　　。(c)转轴公式为________________。
(d)则的新方程式为 ________________。
(e)Γ之焦点的原坐标___________及对称轴之原方程式___________。

(7) 设二次曲线Γ：2x2+4xy+5y2=12，
若将原坐标系旋转一锐角q，使新方程式中没有xy项，则(a)sinq=_____。
(b)曲线Γ的长轴所在的直线方程式为___________。【92建中】

(8) 将坐标轴旋转45°，得新坐标系S//≡(O；x//,y//)，
有一曲线Γ：xy=4，试求：
(a)Γ对S//的新方程式为________________________。
(b)Γ之贯轴长_____________。(c)Γ之正焦弦长______________。
(d)Γ之焦点的原坐标__________________。
(e)若焦点为F1,F2，P点在Γ上，则=_______________。

(9) 将坐标轴旋转q (0°<q<90°)，得一新坐标系S/≡(O；x/,y/)，
使曲线Γ：11x2-24xy+4y2+20=0的新方程式中没有xy项，试求：
(a)cot2q=__________。(b)Γ的新方程式=________________________。
(c)Γ之焦点的原坐标为__________________。
(d)Γ之两对称轴之原方程式为_______________________。
(e)若x,y 满足11x2-24xy+4y2+20=0，求x2+y2的最小值=_____________。

(10) 关于二元二次方程式G：x2+xy+y2=6的叙述下列那一个选项是正确的？
(A)G的图形是双曲线。(91指定考科模拟试题3)
(B)F(0,2)是G的一个焦点。
(C)直线x+y=0是G的一条对称轴。
(D)若P(a,b)为G上一点，则a2-b2的最大值为4。

进阶问题
(11) 设P、Q在坐标系S (O,,)与S//(O,,)下的坐标为(a1,a2)、(b1,b2)
与(a1/,a2/)、(b1/,b2/)，其中,分别是由,绕原点O旋转q角度得到的。
请利用转轴公式证明：
(a)P、Q两点的距离，在转轴后不变。
(b)与的内积，在转轴后不变。
(c)DOPQ的面积，在转轴后不变。
这个结果说明，这样的坐标变换，不会使得距离、角度有所变化。
综合练习解答
(1) (a)x=(x//-2y//)，y= (2x//+y//) (b) + =1 ，椭圆
(c)，(-2,)、(2,-)
(2) (D)
(3) x//2-y//2=1
(4) (a)30° (b)x//2+4y//2=16(c)7x2-6xy+13y2-64=0
(5) (a) + =1 (b) - =1
(6) (a)，(b)，(c)，(d)
(e)及；
(7) (a) (b)x+2y=0
(8) (a)-=1 (b)4 (c)4 (d)(2,2)及(-2,-2) (e)4
(9) (a) (b) (c)及
(d) 3x+4y=0及-4x+3y=0 (e)4
(10) (C)(D)[提示：(D)由a=(a//-b//)，b=(a//+b//)代入a2-b2=-2a//b//
又(a//,b//)在 + =1 上，由平均数不等式+³2=Þ-4£a2-b2=-2a//b//£4。]
(11) (a)直接用转轴公式去检验(a1-a1/)2+(b1-b1/)2=(a2-a2/)2+(b2-b2/)2
(b)直接用转轴公式去检验a1b1+a2b2= a1/b1/+a2/b2/。
(c)利用向量的三角形面积公式，即可得证。
~2-2-11~