全等三角形总复习(知识点+基础应用+能力提高).doc

全等三角形
知识点梳理
　　（一）、基本概念
　　1、“全等”的理解
　　全等的图形必须满足：
　　（1）形状相同的图形；
　　（2）大小相等的图形；
　　即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
　　2、全等三角形的性质
　　（1）全等三角形对应边相等；
（2）全等三角形对应角相等；
（3）全等三角形的对应边上的高、中线对应相等。
（4）全等三角形对应角的角平分线相等；
（5）全等三角形的周长和面积相等；
　　3、全等三角形的判定方法
　　（1）三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）
　　（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）
　　（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）
　　（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）
　　（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL）
4、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
　　（二）灵活运用定理
　　1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
　　2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
　　3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
　　（1）已知条件中有两角对应相等，可找：  ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)
　　（2）已知条件中有两边对应相等，可找:  ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找:  ①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。
证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：
　　1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；
2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；
3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证 明的问题）。
　　常见考法：
　　（1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等；
　　（2）利用判定公理来证明两个三角形全等；
　　（3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。
　老师误区提醒：
　　（1）忽略题目中的隐含条件；
　　（2）不能正确使用判定公理。

全等三角形常见题型分类练习
全等三角形性质的应用
类型一.全等三角形的基本性质应用
1．下列命题正确的是( )
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相同的两个三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形 D．全等三角形的对应边相等、对应角相等
2. 如图1，ΔABD≌ΔCDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是：( )
A.ΔABD和ΔCDB的面积相等 B.ΔABD和ΔCDB的周长相等
C.∠A+∠ABD =∠C+∠CBD D.AD//BC，且AD = BC
3.（2009海南）如图所示，已知图中的两个三角形全等，则∠度数是（ ）
A.72° B.60° C.58° D.50°

第2题 第3题
4.（2009陕西）如图，，=30°，则的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
5．如图，△ABC≌△AEF，AB和AE，AC和AF是对应边，那么∠BAE等于 ( )
A．∠ACB B．∠BAF C．∠F D．∠CAF．
6．已知△ABC≌△EFG，有∠B=70°，∠E=60°，则∠C=（ ）
A． 60° B． 70° C． 50° D． 65°
7．（2009清远）如图，若，且，则= ．
8．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠E＝______．
A
B
C
C1
A1
B1

C
A
B

第4题 第5题 第7题
9．（2009邵阳）如图，将Rt△ABC(其中∠B＝34，∠C＝90）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1 C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）
A.56 B.68 C.124 D.180
34
B1
C
B
A
C1

第9题 第12题
10．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=__________．
11．已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=________，BC=______，AC=_______．
12．如图，在正方形网格上有一个△ABC．⑴在网格中作一个与它全等的三角形；⑵如每一个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是 ．
全等三角形的证明
【基础应用】
1．（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件：
①； ②；
③； ④．
其中，能使的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( )
A.∠B=∠E,BC=EF B.BC=EF，AC=DF C.∠A=∠D，∠B=∠E D.∠A=∠D，BC=EF
3.（2009广西）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

第1、2题 第3题
4.如图：AB=DC，BE=CF，AF=DE。求证：△ABE≌△DCF。

5．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC

6.如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。

7. 已知BE=ED，∠1=∠2,求证：△ABE≌△CDE

8.如图；AB=AC，BF=CF。求证：∠B=∠C。

9.如图：在△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BD，CD=DE，E是AD上一点，连结BE并延长交AC于点F。
求证：（1）BE=AC，（2）BF⊥AC。

【能力提高】
类型一、平行线性质的应用
1.如图：AC∥EF，AC=EF，AE=BD。 求证：△ABC≌△EDF。

2.如图（8）A、B、C、D四点在同一直线上，AC=DB，BE∥CF，AE∥DF。求证：△ABE≌△DCF。

C
E
B
F
D
A
3.(2009武汉)如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：．

D C
O
A B
4.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB.

D
A
B F C E

5.如图，点B,E,C,F在一条直线上，FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.求证AB=DE,AC=DF.

6.（2009黄石）如图，C、F在BE上，∠A=∠D，AC∥DF,BF=EC．求证：AB=DE．
A
B
C
F
E
D

7.如图（16）AD∥BC，AD=BC，AE=CF。求证：（1）DE=DF，（2）AB∥CD。

类型三、角平分线性质应用
1．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，
若AC = 10cm，则BD+DE=（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm
2．尺规作图作∠AOB的平分线方法：以为O圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP,由作法得的根据是( ）
A． SAS B．ASA C．AAS　 　D．SSS
3.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )
A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定

第1题 第2题 第3题
4．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
5．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是( )
A．1 B.2 C．3 D．4
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为 __
O

B
A
P

第4题 第5题 第6题
A
E
B
D
C
F
7.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF．

8.如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA

9.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

10.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

类型四、垂直平分线性质应用
1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围是 。
A
D
C
E
B

第1题 第2题
3.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

4.如图：A、E、F、B四点在一条直线上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。求证：△ACF≌△BDE

类型五、添加辅助线
（一） 连接四边形的对角线
1. 如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB=CD。

（二）作垂线，利用角平分线的知识
1. 如图，AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为∠MBN的平分线。

2.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分∠ABC，求证： ∠A＋∠C＝180°

3.如图，中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

（三） “截长补短”构造全等三角形
1.如图，AD∥BC， AE, BE分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

2.如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB－AC＞PB－PC

3.已知△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．

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