资源描述
2.2.2 反证法
【学习目标】
1.了解反证法的基本原理；
2.掌握运用反证法的一般步骤；
3.学会用反证法证明一些典型问题.
【重点难点】
重点：反证法的实质.
难点：如何产生矛盾.
【使用说明与学法指导】
1.课前用20分钟预习课本P89-91内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.
【问题导学】
1. 反证法?
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.
2.反证法常见矛盾类型?
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾或与假设矛盾或与定义、定理、公理、事实矛盾等.
3.反证法的实质是什么?
反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的.
4. 反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？
反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严格的演绎推理.
【合作探究】
问题1：用反证法证明否定性命题
1.设 ，且，
求证：.
证明：假设
因为，所以
即
即.
所以，
这与已知矛盾.故假设不成立，
所以.
2.已知，证明方程
没有负实数根.
证明：假设是的负数根，
则且且
由
解得这与矛盾，所以假设不成立，故方程没有负实数根.
3.已知三个正数成等比数列，但不成等差数列，求证：不成等差数列.
证明：假设成等差数列，
因为成等差数列,
所以.
又成等比数列，
所以即
所以
所以，即
所以，从而，
所以可以成等差数列，这与已知条件
不成等差数列矛盾，故假设不成立，
故不成等差数列.
问题2：用反证法证明“至少”“至多”等存在性问题
1.已知是互不相等的实数，求证：由
确定的三条抛物线至少有一条与轴有两个不同的交点.
证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与轴有两个不同的交点.
由
得
这是互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题的证.
2.关于的方程，
，，
当或时，至少有一个方程有实数根.
证明：假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零得
则解得
与矛盾，故原命题成立.
3.已知，
求证：中至少有一个数大于
证明：假设均不大于，
即则
这与已知条件矛盾
故假设不成立，从而命题的证.
问题3：用反证法证明唯一性命题
1.求证：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
证明：假设过点还有一条直线与已知直线平行，即，∥.
因为∥，由平行公理知∥，这与假设矛盾，故假设不成立，从而命题的证.
2.过平面内一点作直线，使得，求证：直线是唯一的.
证明：假设这样的直线不唯一，则过点至少还有一条直线，使得，因为直线是相交直线，所以两直线可以确定一个平面设和相交于过点的直线因为 所以
这样在平面内，过点就有两条直线垂直于直线这与平面内过直线上一点只能做一条该直线的垂线矛盾，故假设不成立，所以直线是唯一的.
3.求证方程有且只有一个根.
证明：因为，所以这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程的根是唯一的.
假设方程有两个根，则，两式相除，得
若，则，这与矛盾；若，则，
这也与矛盾，
因此只能，这与矛盾.
如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾.
故有且只有一个跟.
【深化提高】
证明直线，不存在这样的实数，使得直线与双曲线的交点关于直线对称.
证明：假设存在实数，使得关于直线对称，设，则有（1）直线与直线垂直；（2）点在直线上；
（3）线段的中点在直线上，
所以 ① 由
②
当时，与双曲线仅有一个交点，不合题意.由①得，③
由②得代入③整理得：，这与矛盾.
所以假设不成立，故不存在实数，
使得关于直线对称.
【学习评价】
●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
●当堂检测
A组（你一定行）：
1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ B ）
Ａ．假设都是偶数
Ｂ．假设都不是偶数
Ｃ．假设至多有一个是偶数
Ｄ．假设至多有两个是偶数
2．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是 （ D ）
Ａ．与的假设都错误
Ｂ．与的假设都正确
Ｃ．的假设正确；的假设错误
Ｄ．的假设错误；的假设正确
3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是 （ C ）
Ａ．有两个内角是钝角
Ｂ．有三个内角是钝
Ｃ．至少有两个内角是钝角
Ｄ．没有一个内角是钝角
B组（你坚信你能行）：
4．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60的反面为__∠A，∠B，∠C 都小于_____．
5. 已知A为平面BCD外的一点，则AB、CD是异面直线的反面为___共面____．
C组（我对你很有吸引力哟）：
6．设求证：不可能同时大于
证明：假设三个式子同时大于，
即
三式相乘得：
①
又因为
所以，，
同理，
所以 ②，
①与②矛盾，即假设不成立，故原命题成立.
【小结与反思】
5
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