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《有理数》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.
2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.
3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.
4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；
5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.
【知识网络】

【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：

要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数

2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
要点二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
要点四、科学记数法、近似数及精确度
1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
要点诠释：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
1．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．
【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立．
(2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．
【答案与解析】
解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0，
所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，
所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010
＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010
＝a2-a+1．
∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.
举一反三：
【高清课堂：有理数的复习与提高 357129 复习例题2】
【变式1】选择题
（1）已知四种说法：
①|a|=a时，a>0；|a|=-a时， a<0. ②|a|就是a与-a中较大的数.
③|a|就是数轴上a到原点的距离. ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|.
其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）有四个说法：
①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数
③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数
上述说法正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①②
（3）已知(-ab)3>0，则（ ）
A．ab<0 B．ab>0 C．a>0且b<0 D．a<0且b<0
（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ）
A．120 B．-15 C．0 D．-120
（5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）
A．-a6与(-a)6 B．-a3与|-a|3 C．[(-a)2]3与(-a3)2 D．(ab)3与ab3
【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C
【变式2】（2015•呼伦贝尔）中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为　 　．
【答案】9.6×106．

2. 在下列两数之间填上适当的不等号：
________．
【思路点拨】在a、b均为正数的条件下，根据“，，分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．
【答案】 ＞
【解析】法一：作差法：（）
=，
∴．
法二：作商法：由于，所以．
再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：．
【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．
举一反三：
【变式】在下列两数之间填上适当的不等号．
_________．
【答案】＞ （提示：倒数法较简便）
类型二、有理数的运算
【高清课堂：有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】
3．(1)
(2)
(4)
(5)
【答案与解析】
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）
【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a(b+c)等.
举一反三：
【变式】
（1）
（2）
【答案】

解：（1）

（2）

4. 先观察下列各式：；；
；…；，根据以上观察，计算：
…的值．
【答案与解析】
解：原式

【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成的形式，然后再进行计算．
举一反三：
【高清课堂：有理数的复习与提高 例2】
【变式】用简单方法计算：

【答案】
解：原式=
类型三、数学思想在本章中的应用
　5．（2014•香洲区校级二模）（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；
当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　 　；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是　 　，如果|AB|=2，那么x为　 　；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　．
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．

【答案与解析】
解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4．
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．
③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，
∴x+1≥0，x﹣2≤0，
∴﹣1≤x≤2．
④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2；
当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；
当x＞2时，x+1+x﹣2=5，解得x=3．
故答案为：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．
【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点．
类型四、规律探索
6.下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．
A．495 B．497 C．501 D．503
【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和．
【答案】A
【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．
【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来．
举一反三：
【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B提示：观察发现：分子总是1，第n行的第一个数的分母就是n，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是．