垂线段最短在四边形中的应用.doc

专题复习：垂线段最短在四边形中的应用
中伙中学 邓立明
课 题：垂线段最短在四边形中的应用
教学目的：1、掌握垂线段最短在直角三角形与矩形组合图形中的应用；
2、掌握垂线段最短在等边三角形与菱形组合图形中的应用；
3、掌握垂线段最短在等腰直角三角形与正方形组合图形中的应用。
重 难 点：在求最小值时边的转化
教学过程：
一、复习引入：出示图片
思考：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
二、新授
探究活动一：直角三角形与矩形组合
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4、D是AB上任意一点、则CD的最小值是 ；最大值是 。
（设计意图：为第2、3打下基础，提供思路。）
2、如图，在△ABC中，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是     cm．
（设计意图：把矩形镶嵌在直角三角形中，矩形的两边和直角边重合，第四个顶点在斜边上。本题要利用转化思想，把DE转化为AM。）
3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（设计意图：本题关键是把求DE的最小值转化为OD最小。）

探究活动二：等边三角形与菱形组合
1、D是边长为2的等边三角形BC上任意一点，则AD的最小值是　　　． 最大值是　　　 ．
（设计意图：可以利用等边三角形的边角的特殊性进行计算，求出最小值。）
2、如图，菱形ABCD的边长为2，BD = 2，点E、F分别是边AD、CD上的两个动点，且满足AE＋CF = 2. 有下列结论：①△BDE≌△BCF；②△BEF为等边三角形；③ △BEF周长的最小值是。其中正确的有　　　　　　．
（设计意图：等边三角形与菱形结合，第①、②个结论是对以前知识的复习，也是在为第③问作铺垫，要注意让学生体会把求等边三角形的周长转化为求等边三角形的边长。）

探究活动三：等腰直角三角形与正方形组合
以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，探讨下列问题：①OA与OB又怎样的数量关系；②四边形AFBO的面积是多少？它与正方形CDEF的面积有怎样的关系？③求线段AB的最小值。④四边形AFBO的周长最小值是多少？

（设计意图：正方形与等腰直角三角形的完美结合，第①、②通过三角形全等可以解决问题，①在变化中找出OA与OB不变的数量关系；②体现了形变积不变的规律；③考察转化思想，先求OA的最小值再求AB的最小值；④考察学生的观察分析能力，AF+BF=2是定值，所以当OA最小时四边形AFBO的周长最小）

三、回顾与小结
1、垂线段最短在直角三角形与矩形组合图形中的应用
2、垂线段最短在等边三角形与菱形组合图形中的应用
3、垂线段最短在等腰直角三角形与正方形组合图形中的应用
4、转化思想在解题中的应用

四、作业
1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边B C上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM 的最小值是    ．

2、△ABC的面积等于14 ，∠BAC=45° ，BC等于5，D时BC上任意一点，把△ABD沿AB翻折至△ABE位置，把△ACD沿AC翻折至△ACF位置，求EF的最小值。

教学后记：
1、 本节课是学完《四边形》以后、专门组织设计的一堂专题复习课。意在通过垂线段最短在直角三角形与矩形组合图形中的应用、等边三角形与菱形组合图形中的应用、等腰直角三角形与正方形组合图形中的应用，通过三组组合图形训练，让学生掌握在四边形中运用垂线段最短解决相似最短距离问题。
2、 在教学活动中多让学生动手动脑，然后通过思考解决问题。
3、 及时有效总结学习中运用的数学思想，解题思路、解题方法。从而真正的提高学生的数学能力。