第一讲---三角形基本性质及全等三角形.doc

湖口中学九年级数学培优班资料
第一讲 三角形基本性质及全等三角形
一、 考点知识梳理
（一） 三角形基本性质
1、三边关系：三角形的两边之和 第三边，两边之差 第三边。
2、内角和定理及外角和定理：
（1）内角和定理：任意三角形的内角和都等于180゜
（2）外角和定理：三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之 。
3、三角形中重要线段：
四线
定义
图形
性质
中线
连接一个顶点和它对边 的线段

高线
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的

角平分线
一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段。

中位线
连接三角形两边 的线段。

A
B
C
D
E
F
图1
（二）全等三角形的性质及判定
1、全等三角形的性质
如图1所示，△ABC≌△DEF。那么：
文字表述： 几何表述：
（1）全等三角形的对应边相等； AB=DE BC=EF AC=DF
（2）全等三角形的对应角相等。 ∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F
2、全等三角形的判定
1、SSS定理（三边对应相等的三角形是全等三角形）：
在△ABC和△DEF中
∵ AB=DE
BC=EF △ABC≌△DEF （SSS）
AC=DF

A
B
C
D
E
F
图3
2、SAS定理（两边对应相等且夹角相等的三角形是全等三角形）：
在△ABC和△DEF中
∵ AB=DE
∠B=∠E △ABC≌△DEF （SAS）
BC=EF

A
B
C
D
E
F
图4
3、ASA定理（两角相等且夹边相等的三角形是全等三角形）：
在△ABC和△DEF中
∵ ∠A=∠D
AB=DE △ABC≌△DEF （ASA）
∠B=∠E

A
B
C
D
E
F
图5
4、AAS定理（两角相等且有一角的对边相等的三角形是全等三角形）：
在△ABC和△DEF中
∵ ∠C=∠F
∠B=∠E △ABC≌△DEF （AAS）
AB=DE

A
B
C
D
E
F
图6
5、HL定理（直角三角形中有一组直角边和斜边对应相等的三角形是全等三角形）：
在△ABC和△DEF中
∵ ∠C=∠F=90°
AC=DF △ABC≌△DEF （HL）
AB=DE

考点一：三角形的三边关系
例1、若a、b、c是三角形的三边，且a、b满足，则第三边c的取值范围是 。

针对演练1：从长度分别为2,4,6,7的四条线段中随机取三条，能够成三角形的概率是 。
思路点拨：先列举出所有可能的结果，再根据三边关系找出所有能构成三角形的结果，求出概率。

考点二：三角形当中的重要线段
例2：如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为∠ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为_____ 。

针对演练2：如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）
A、2cm
B、cm
C、4cm
D、cm
考点三：三角形内角与外角的应用
例3、如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．若∠A＝75º，则∠1＋∠2＝（ ）
A．150º    B．210º      C．105º        D．75º

针对演练3：如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是　 　。

考点四：全等三角形的性质与判定的应用
例4：如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90゜，∠DAE=90゜，B、C、D在同一条直线上。求证：BD=CE。

针对演练4：已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。
（1）求证：BD=CE。
（2）求证：∠M=∠N。