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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,集美大学理学院,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,2,.5 线性方程组解结构,一、引例,这里r(A|,)=r(A)n,所以有没有穷多个解.自由未知量个数n-r(A)=1.,第1页,1/9/2025,1,集美大学理学院,所以方程组(1)与下面方程组同解,令,x,3,=,c,则原方程组解为,为何它能够代表方程组(1)全部解呢?,这就是方程组解结构问题!,第2页,1/9/2025,2,集美大学理学院,二、齐次线性方程组解结构,齐次线性方程组,记为,齐次线性方程组解几个基本性质:,齐次线性方程组解线性组合也是齐次线性方程组解,第3页,1/9/2025,3,集美大学理学院,由性质知,当AX=0有非零解时,则它必有没有穷多个解,这无穷多,个解组成一个n维向量组,只要找到该向量组一个极大无关,组,就可用它线性组合来表示齐次线性方程组全部解.,定义2.15,若 是齐次线性方程组AX=0解向量组一,个,极大无关组,则称 是齐次线性方程组AX=0,一个,基础解系.,第4页,1/9/2025,4,集美大学理学院,定理2.13,若齐次线性方程组AX=0系数矩阵A秩r(A)=rn,则方程组基础解系存在,且每个基础解系中恰有,n-r个向量.,证:,第5页,1/9/2025,5,集美大学理学院,即上面增广矩阵所代表线性方程组为:,其中 为自由未知量.,它与原方程组AX=0同解,因为自由未知量可取任意值,令,分别取(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),则得方程组AX=0n-r个解:,第6页,1/9/2025,6,集美大学理学院,下证 是AX=0一个基础解系.,显然 是AX=0n-r个解,下面只要证它是AX=0全部,解所组成向量组一个极大无关组即可.,分两步:,(i)证实 是线性无关,(ii)证实,AX=0任意一个解可表为 线,性组合.(定义2.11),第7页,1/9/2025,7,集美大学理学院,(i),所以线性无关.,(ii)设 为AX=0任一个解,则有,所以,第8页,1/9/2025,8,集美大学理学院,第9页,1/9/2025,9,集美大学理学院,第10页,1/9/2025,10,集美大学理学院,第11页,1/9/2025,11,集美大学理学院,所以 是AX=0一个基础解系.从而方程组AX=0,全部解为,求解基础解系方法:,对增广矩阵(系数矩阵)施以行初等变换化成以下形式,确定n-r个自由未知量,齐次线性方程组解结构,第12页,1/9/2025,12,集美大学理学院,令 分别取(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),则得方程组AX=0n-r个解即为基础解系.,例1,求以下齐次线性方程组一个基础解系,并用此,基础解系表示方程组全部解(通解),解,方程组系数矩阵,对系数矩阵进行行初等变换,得,第13页,1/9/2025,13,集美大学理学院,令自由未知量,从而得到方程组两个非零解,:,第14页,1/9/2025,14,集美大学理学院,在求解过程中,也可对增广矩阵进行行初等变换,得到同解方程组,进而得到全部解.,第15页,1/9/2025,15,集美大学理学院,例2,求以下齐次线性方程组一个基础解系,并用此,基础解系表示方程组全部解(通解),解,第16页,1/9/2025,16,集美大学理学院,r(A)=2n=4,方程组有没有穷多解，基础解系含2个向量，得同解方程组,令自由未知量,得基础解系,全部解为,第17页,1/9/2025,17,集美大学理学院,例3,求以下齐次线性方程组一个基础解系:,解,第18页,1/9/2025,18,集美大学理学院,r(A)=2,方程组基础解系含有3个向量.得原方程组同解方程组,取自由未知量为,第19页,1/9/2025,19,集美大学理学院,让自由未知量 分别取 得到方程组,解为,即为所给方程组一个基础解系。,第20页,1/9/2025,20,集美大学理学院,练习：,答案：,第21页,1/9/2025,21,集美大学理学院,证实：,将 按列分块为,例,设 分别是 和 矩阵,且,证实：,即,由,得,即,是齐次,线性方程,解，,从而,可由,基础解系线性表示，,故,第22页,1/9/2025,22,集美大学理学院,非齐次线性方程组,记为,其,导出组,（对应齐次线性方程组）,记为,三.非,齐次,线性方程组解结构,第23页,1/9/2025,23,集美大学理学院,非齐次,线性方程组解几个基本性质.,性质1,若,是,解，则,是对应齐次,线性方程组（称为导出组）,解。,，所以,证实：,由,是,解，所以,，即,是,解。,第24页,1/9/2025,24,集美大学理学院,第25页,1/9/2025,25,集美大学理学院,由此定理得:,非齐次线性方程组解是由本身一个(特)解与其导出组通解叠加而成.,当非齐次线性方程组有解时,它有唯一解充分必要条件是它导出组只有零解;它有没有穷多解充分必要条件是它导出组也有没有穷多解.,第26页,1/9/2025,26,集美大学理学院,例,判断以下线性方程组是否有解?若方程组有 解,在有没有穷多解时,试求其导出组基础解系,并用基础解系表示其全部解:,解,第27页,1/9/2025,27,集美大学理学院,令自由未知量,可得原方程组一个特解：,所以方程组有解，并有没有穷多解,其同解方程组为,第28页,1/9/2025,28,集美大学理学院,原方程组导出组,同解方程组为,令自由未知量 取为,得导出组基础解系,第29页,1/9/2025,29,集美大学理学院,所以原方程组全部解为,第30页,1/9/2025,30,集美大学理学院,求该方程组通解.,于是导出组任何,一个非零解都可作为其基础解系.,第31页,1/9/2025,31,集美大学理学院,显然,是导出组非零解,可作为其基础解系.,故方程组,通解为,第32页,1/9/2025,32,集美大学理学院,例,求出一个齐次线性方程组,使它基础解系由以下向量组成:,即,第33页,1/9/2025,33,集美大学理学院,这个方程组同解方程组为,第34页,1/9/2025,34,集美大学理学院,其基础解系为,第35页,1/9/2025,35,集美大学理学院,故所求齐次线性方程组系数矩阵,从而所求齐次线性方程组为,第36页,1/9/2025,36,集美大学理学院,练习：,第37页,1/9/2025,37,集美大学理学院,答案：,第38页,1/9/2025,38,集美大学理学院,
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