席位分配问题.doc

公平席位问题分析
一、 问题重述。
学校共有1000名同学，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个十人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数。
(1) 完.按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例给小数部分较大者。
(2).Q值法。
(3).d'Hondt方法。

二、 问题分析。
（1）对于第一问满足等比例分配模型。使用等比例分配。分配图标如下。

系别
学生人数
学生比例
十个席位的分配

比例
席数

A
235
0.235
2.35
3

B
333
0.333
3.33
3

C
432
0.432
4.32
4

总和
1000
1
10
10
由该图表我们可知，在等比例分配的模型下，A,B,C分别占用的席位是3、3、4。二这样的分配显然对B.C是不公平的。所以我们引入Q值法来分析这个问题。

（2）应用相对标准（Q值法）来分析公平席位问题。
相对标准方法引入（Q值法）：
现引入A、B两方做公平席位分析。
设两方人数分别为p1和p2，占有席位分别是n1和n2 ，则两方每个席位代表的人数分别为p1/n1和p2/n2 。显然仅当p1/n1=p2/n2 时席位的分配才是公平的。但是因为人数和席位数都是整数，所以通常p1/n1¹p2/n2 ，这时席位分配不公平，并且pi/ni(i=1,2) 数值较大的一方吃亏，或者说对这一方不公平。

现为了更准确地区分两种程度明显不同的不公平情况，借用误差分析中绝对误差和相对误差的概念，建立如下衡量分配不公平程度的数量指标：
若p1/n1>p2/n2 ,则对A的相对不公平值为:

若p1/n1>p2/n2 ,则对A的相对不公平值为:

建立了数量指标后,制定席位分配的原则是使它们尽可能小.
所以，如果
（1）
则这1席应分给A方；反之应分给B方。（1）式等价于下面的（2）式：

（2）

于是结论是：当（2）式成立时增加的1席应分给A方，反之则分给B方。
若记 Qi = pi2 / ni ( ni+1 )，i=1,2.
则增加的1席应分给Q值较大的一方。
将上述方法推广到有m方分配席位的情况：设第i方人数为pi，已占有ni个席位，。当总席位增加1席时，计算
Qi = pi2 / ni ( ni+1 )，i=1,….m。
应将这1席分给Q值最大的一方。

应用Q值法计算第（2）问：

系别
学生人数
学生比例
九个席位的分配
十个席位的分配
比例
席数
Q值
席数
A
235
0.235
2.115
2
9204
2
B
333
0.333
2.997
3
9240
3
C
432
0.432
3.888
4
9331
5
总和
1000
1
9
9

10

由Q值法可知第10席位应该分给C，故应该以2、3、5的席位分配。

（3）d’Hondt方法
比利时人D’Hondt提出将甲乙丙3部门人数Pl(l=1,2,3)都用i(i=1,2,3……)整除，将pl/i的商从大到小排列，取排列在前的21个数。若这21个数中有m个是甲部门的人数被整数相除所得的商，则甲部门分到m个名额，乙丙依此类推。

对于该10个席位运用d’Hondt模型作图如下：

A1
235
B1
333
C1
432
A2
117.5
B2
166.5
C2
216
A3
78.3
B3
111
C3
144
A4
58.75
B4
83.25
C4
108
A5
47
B5
66.6
C5
86.4
A6
39.16
B6
55.5
C6
72
A7
33.57
B7
47.57
C7
61.71
所以对于10个席位，由大到小排列A占2个B占3个C占5个。