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基于simulink的线性二自由度汽车模型稳态响应
1.项目背景
进行控制器的设计以及验证控制器是否正确的必要前提在于建立一个正确且可靠的整车数学模型。如果能够建立同实际车辆更加接近的整车虚拟样机模型就能更好的反映车辆响应特性以及控制效果。因此本实验将会在一定的假设条件之下,基于汽车理论以及牛顿力学在MATLAB/Simulink的环境下将整车动力学数学模型建立出来，在此基础上求前轮角输入下的响应曲线。
2.二自由度车辆模型
如果要准确的对车辆的动力学状态进行描述，则需要知道车辆的上百个参数，譬如轮胎半径、前后轮的侧偏刚度等，但这当中有许多的参数是不变的，而有些却在车辆的行驶过程中会不断地发生变化，我们难以知道所有的参数的精确值，有些参数甚至于是不可以被测得的。而且，车辆的动力学状态也受到外部的行驶环境的影响，譬如汽车和空气的相对运动所产生的空气阻力、地面坡度所产生的道路的阻力等都会对汽车的状态有明显的影响，然而这些力的大小方向都会实时发生变化，就算根据相关的经验公式也只能得到它们的估计值，不容易被直接地测出。除此之外，汽车的许多参数相互之间都存在耦合关系，某一个参数的改变也可能会导致其它的参数改变，譬如汽车横向速度以及纵向速度间的耦合关系、非线性的轮胎横向力和纵向力间的耦合关系。有的参数之间的耦合关系并不能够用准确的数学公式来表达，这会使得所创建的数学模型的精度受到严重的影响。显而易见，如果要建立一个能精确地描述汽车的运动状态的车辆数学模型很明显是不太可能的。
本实验根据实际情况的需要进行适当地简化后把多自由度的整车模型简化成为二自由度车辆动力学模型。在分析中，直接以前轮转角作为输入而忽略了转向系统的影响；也忽略了悬架的作用，认为汽车的车厢只作平行于地面的平面运动，汽车只有沿着y轴的侧向运动以及绕着z轴的横摆运动。在建立运动微分方程的时候还假设：不考虑地面切向力对轮胎侧偏特性的影响，也忽略左右车轮的轮胎由于载荷变化而引起的轮胎特性的变化以及轮胎回正力矩的作用。如下图1,它是一个有前后两个有侧向弹性的轮胎支承于地面、具有侧向及横摆运动的二自由度汽车模型。

图1二自由度汽车摸型

图2利用固结于汽车的车辆坐标系分析汽车的运动
假设汽车的质心同车辆坐标系的原点相重合。
对于这样一个固结于汽车的动坐标系来说，汽车的转动惯量、质量分布参数等都是常数，这使得采用车辆坐标系很方便。只要把车辆的外力和外力矩以及车辆的绝对速度和绝对角加速度沿着坐标系的轴线进行分解，就可以得到运动微分方程。
ax、ay分别是车辆坐标系的纵轴和横轴，在t时刻，质心速度在Oy轴上的分量为v，而在Ox轴上的分量为u；而在t+t时，坐标系中的质心速度的方向和大小都会发生变化。可以得到沿Ox轴的速度分量的变化如下：

因为很小，所有上式可简化为

除以并取极限，可以得到汽车绝对加速度在坐标系的ox轴上的分量。同理可得，汽车绝对加速度在坐标系Oy轴上的分量为

二自由度的汽车所受的外力沿Oy方向的合力以及绕质心的力矩和为

上式中，δ为前轮转角;FY1、FY2分别为地面对前、后轮的侧偏力。
因为δ比较小，上式可简化为

上式中，α1 、α2分别为前、后轮的侧偏角。

上式中，为质心侧偏角；为u1与x轴的夹角。
由此可得，前后轮侧偏角为

而外力外力矩和汽车运动参数的关系式如下

得到二自由度汽车的运动微分方程为

式中，m为整车质量; k1、k2分别为前、后车轮的侧偏刚度;a、b分别为前、后轴到质心的距离; v为侧向速度; u为横向速度;质心侧偏角为β; δ为前轮转角; ωr为横摆角速度。
3.动态系统simulink模型的建立方法
（1）先将描写该系统的动力学微分方程根据输入和输出变量整理成所需形式。
输入量（k1,k2,a,b,delta,u,m,Iz ）

输 出 量
（横摆角速度w，侧向速度v）

把汽车运动微分方程整理成dv和dωr 的表达式，根据等式关系绘制模型图，注意输入放在左侧,输出放在右侧。
（2）打开空白的模型窗口,并将Simulink的Simulink Library Browser打开。
（3）依据理论以及数学模型，在Simulink Library Browser中选取所需要的模块，将它复制到空白的模型窗口当中。本实验中主要用到的模型有：常量constant、积分integrator、乘除divide、加减subtract、阶跃信号step和示波器显示scope。
（4）根据理论以及数学模型，将各模块之间进行连线，从而使它成为一个系统。
（5）对各个模块的参数进行设定。根据表1中给定的相关参数设置前、后车轮的侧偏刚度、前、后轴至质心距离、车速、整车质量、汽车绕z轴转动惯量lz以及仿真时间。输入为前轮转角δ，δ为阶跃信号，输出为横摆角速度ωr。
表1 汽车参数列表
参数名称
符号
量纲
数值
整车质量
M
kg
1500
质心到前轴距离
a
m
1.185
质心到后轴距离
b
m
1.283
绕z轴的转动惯量
Iz
kgm－2
2280
前轮侧偏刚度
k1
N/rad
－60533
后轮侧偏刚度
k2
N/rad
－70052
车速
u
m/s
80
图3 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
4.实验结果与分析
将参数代入并运行成功以后，示波器所显示的横摆角速度和侧向速度
响应曲线如下图4所示。

图4 横摆角速度响应曲线
从响应曲线可以看出，当前轮给定一个阶跃信号后，汽车的横摆角速度首先会迅速增长，然后迅速衰减，之后经过震荡后趋于稳定，汽车具有较小的横摆角速度。
改变汽车的车速u为60m/s，得到响应曲线如图5所示。

图5 横摆角速度响应曲线2
当汽车沿x轴的前进速度由80m/s改为60m/s时，从响应曲线可以看出，振荡的幅度有所减小，但都趋于平稳。