高中 数学 选修 2-3 排列组合.doc

计数原理
【知识要点】
一、分类加法原理与分布乘法计数原理

1．加法原理：完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。

2．乘法原理：完成一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。

二、排列与组合

1．排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示，
=n(n-1)…(n-m+1)=,其中m,n∈N,m≤n,
注：一般地=1，0！=1，=n! 。

2．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示：
规定：
组合数的基本性质：（1）；
（2）；
解决排列与组合的应用题的一般方法有：
（1）特殊元素（位置）法 （2）相邻问题的“捆绑法”
（3）不相邻问题“插空法” （4）正难则反 “排除法”
一、两个计数原理
1、某人计划按“石家庄—青岛—广州”的路线旅游，从石家庄到青岛可乘坐汽车、火车、飞机3种交通工具，从青岛到广东可以乘坐汽车、火车、飞机、轮船4种交通工具，文此人可选择的旅行方式有 （ ）
A、7 种 B、8 种 C、10 种 D、12种
2、从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b 组成复数a+bi,其中虚数有 （ ）
A、30个 B、36个 C、42个 D、35个
3、（07全国）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各1人参加，则不同的选派方法有 （ ）
A、40种 B、60种 C、100 种 D、120种
4、有4部机床，需要加工3个不同的零件，其不同的安排方法有 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加。
（1）若只需一个人参加，有多少种选法？

（2）若需要老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？

（3）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？

6、有0、1、2、…、8这9个数字

（1）用这9个数字组成四位数，共有多少种不同的四位数？

（2）用这9个数字组成四位的密码，共有多少个这样的密码？

二、排列数组合数的计算

1、计算：
（1） （2）

2、证明：
（1） （2）

三、排列
1、有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。
（1）选其中5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体站成一排，女生必须站在一起；
（5）全体站成一排，男生互不相邻；
（6）全体站成一排，甲、乙两人中间恰有3人。

2、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数。
（1）能组成多少个六位数？
（2）能组成多少个六位奇数？
（3）能组成多少个被5整除的六位数？
（4）能组成多少个比240135大的数？

四、组合
1、从7名男同学和5名女同学中，选出5个，分别求符合下列条件的选法总数有多少种。
（1）A、B必须当选
（2）A、B必不当选
（3）A、B不全当选
（4）至少有2名女同学当选
（5）选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员五种不同工作，但体育委员必须男同学担任，文娱委员必须女同学担任。

2、课外活动小组共有13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，以下列条件各有多少种选法？
（1）只有一名女生
（2）两队长当选
（3）至少一名队长当选
（4）既要有女生当选，又要有队长

五、排列组合的综合应用
排列组合的区别与联系：排列组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否考虑选出元素的先后顺序。不需要考虑先后顺序的是组合问题，需要考虑先后顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，解决排列组合问题的基本思维是“先选元后排队”。

1、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担三项任务，不同的选法共有 （ ）
A、1260种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040种
2、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有 （ ）
A、90种 B、180 种 C、270种 D、540种
3、有4个不同的球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内
（1）共有多少种方法？
（2）恰有一个盒子不放球，共有几种放法？
（3）恰有两个盒子不放球，共有几种放法？

高考链接

1、（07广东）．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图,公司在年初分配给A、
B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D
四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在
相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(件
配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为)为 （ ）
A．18 　　　 B．17 　　 C．16 　　 D．15

2、（09广东）．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）
Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种

3、（10年广东）.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ）
A.1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒

4、（09湖南）.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 （ ）
A 、 85 B、 56 C、 49 D、 28
5、（2010全国卷1理数）(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 （ ）
(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种w_w w. k#s5_u.c o*m

6、（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （ ）
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

7、（2010重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有　　（　　）
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种

8、（2010湖南理数）7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 （　　）
A.10 B.11 C.12 D.15w_w w. k#s5_u.c o*m

9、（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是　　（　　）
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m

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