一道2021年大学生数学竞赛题的其它解法.pdf

第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.010高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023一道2 0 2 1年大学生数学竞赛题的其它解法王飞1，侯江霞，马子轩1（1.新疆农业大学数理学院，新疆乌鲁木齐8 30 0 52；2.新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐8 30 0 46）摘要又对2 0 2 1年全国大学生数学竞赛第一型曲面积分试题，给出两种简单解法。关键词第一型曲面积分；对称性；微元法中图分类号0 17 2.2文献标识码AOn a Problem in the 2021 Mathematics Competition for University StudentsWANG Fei,HOU Jiangxia?,and MA Zixuan(1.College of Mathematics and Physics,Xinjiang Agriculture University,Urumqi 830052,China;2.College of Mathematics and System Sciences,Xinjiang University,Urumqi 830046,China)Abstract For the first type surface integral problem of the 2021 National Mathematics Competition for U-niversity Students,two simple methods are presented.Keywords first type surface integral,symmetry,infinitesimal文章编号10 0 8-1399(2 0 2 3)0 3-0 0 2 6-0 21引言计算第一型曲面积分的基本思路为利用公式化为二重积分，或利用两类曲面积分的联系化为第二型曲面积分.受教学时数的限制，利用对称性、轮换对称性以及曲面微元简化计算第一型曲面积分，在教材1及课堂教学中很少涉及.因而对全国硕士研究生入学考试及大学生数学竞赛涉及对称性的第一型曲面积分，计算往往很复杂.本文以2 0 2 1年全国大学生数学竞赛（非数学专业，初赛）的一道积分计算试题为例进行说明.2订试题及解法试题对于4次齐次函数f(,y,z)=aia+a2y+a+3ay2+3asy+3a6a2收稿日期：2 0 2 1-12-13修改日期：2 0 2 2-0 3-2 3基金项目：2 0 2 1年度中华农业科教基金课程教材建设研究项目（NK J2 0 2 10 2 0 38），2 0 2 2、2 0 2 3年新疆农业大学教研教改项目（2 0 2 2 DXKF02、2 0 2 3ZH G G 0 5).作者简介：王飞（197 8 一），男，广西桂林，硕士，副教授，主要从事微分方程和大学数学教学研究，Email：457 56 6 56 0 q q.c o m.计算曲面积分f(,y,)dS,其中Z:c+y?+2=1.解因为于(,）为4次齐次函数,所以对VtER,恒有f(ta,ty,tz)=ttf(a,y,z)对上式两边关于t求导，得afi(ta,ty,tz)+yf2(ta,ty,t)+zfs(ta,ty,tz)=4tf(a,y,z)取t=1,得af(,y,)+yfs(a,y,z)+f(,y,z)=4f(,y,2)设曲面上点（，）处的外法线方向的方向余弦为(cos,cos,cos),则 cos=,cos=y,cos=z,因此I=$f(,y,2)ds-1f(af(a.y,2)+(a.y2)+zf(,y,z)ds+cosf(,y,z)Jds第2 6 卷第3期1f:(ay,e)dyde+f,(a.y,2)dedr+f(,y,z)ddy利用高斯公式得1fl(a,y,z)+f(,y,z)42+2+21+f(,y,z)Jdu3x(2ai+ax+a)+y(2a+a+as)2，2+32+21+(2as+as+as)Jdcdydz由轮换对称性得6i-16aii=1064元5a;i=1评注该参考答案是基于齐次函数的性质，利用单位球面在点（，）处外法线方向的方向余弦恰好为（，y,）的特征，巧妙地将第一型曲面积分的计算转化为第二型曲面积分，再利用高斯公式和轮换对称性化为三重积分来计算，从而得到问题的解.该解法利用了齐次函数、方向余弦、两类曲面积分互化、高斯公式、轮换对称性等较多的知识点，技巧性较高.以下两种新解法避开了齐次函数，主要利用对称性和微元法，给出了问题的解。3两种新解法解法一利用轮换对称性得=f(x,y,2)ds=(a+a2+as)+3(a+as+as)ds记Zi为Z在第一卦限的部分,D为Z1在oy面上的投影，则4dS=84dS(利用对称性)(1-?-y2)?dS(1-?-y2)2D王飞，侯江霞，马子轩：一道2 0 2 1年大学生数学竞赛题的其它解法dS15J4元(?+y2+)dcdydz从而ds15，故有7I=(a+a+as)ds+3(a+as+a)fdsdosinod1-2-y274元do（1(1-y2-)dSds-$yeds-D4dS1e(2+y+2)ds-6ds4元5bds-d4元ds58元=(ai+a+a）+3(a+a s+a.)4元154元6ai5i=1评注解法一主要利用对称性和轮换对称性将第一型曲面积分问题转化为二重积分处理，计算过程直观易懂.解法二由球坐标变换=rsinpcosoy=rsinpsing(=rcosg知球坐系下体积微元d=rsinpdrddp，故在球面r=1上面积微元dS=sinpdodp.记Zi为在第一卦限的部分，则在Z1上a=singcosoy=singsing(&=cosg(,y,z)dS=8元8“do?(ai sin*pcos*0+a2 sinpsin0+as cos*0+3a sinpcos?Osin0+3as singpsin cosp+3assinpcos0cosp)singdp8do(ai sinp cos*0+a2 sinp sin0+a cosgsing+3a sing(sin0-sin0)+(3as sin0+3a cos0)(sin-sin)dpd.dy5八，因此f(,y,z)ds(下转第46 页)46C+804+a40下面我们看一个更熟悉的反常积分，同样可以使用定理2 来计算d.c例2J。?+1下面的例题不适用于利用定理1，但是可以利用定理2.例3求实积分2-+1d解若一+1=0,则=1;VE.2理2 得*+8010?-+1log(1+i/322.1+iV324/3元9下面的例题来自于文献4的习题5.4，不仅可以对被积函数裂项后求积分值，而且可以使用定理2计算.例 4.4求实积分(1+)(1+2)高等数学研究dog()Res+-0log(aeti)4ei3a5元(aeTi元log(aet)2元aa33e42元4a3d.2023年5月解依定理2，并且结合引理1，我们有+a3T1log(aetiee4log(i)log(-i)2i211由定分式函数积分时，比通常的数学分析方法更加复杂，例如本文的例2 但是当被积函数的原函数不容易1og(之)Res22-+1a:+1=01og1-iV3212d+8(1+)(1+)JRes(1+)(1+)(1+:)(1+dz)=0=k1og(-1)3(-1)2+2(-1)+1log(-i)3(-i)+2(i)+13元i元元222i一2元24小结定理2 在计算Q()有一般性，但是通常适用于利用定理1的过程比定理2 更简洁定理2 在处理一些简单情形的实有理求解时，定理2 为计算这类积分提供了新的思路，例如本文的例3和例4.-iV3参考文献21郭国安，宋洪雪一类不定积分的复变函数解法.高等数学研究，2 0 17，2 0（3）：51-54.2钟玉泉复变函数论M.4版.北京：高等教育出版社，2 0 12.3DAngelo JP.An introduction to complex analysis andgeometry M.American Mathematical Sociecty,2010.4同济大学数学教研室.高等数学：上册M.7版.北京：高等教育出版社，2 0 14.dP()dz型积分比定理1更具log()3i2+2i+12元2i一2log(i)4(上接第2 7 页）利用sinadc可以得到上式积分结果为5=1评注解法二巧妙利用球面面积微元转化为三角函数的积分，快速得到结果，计算过程简洁明了.该解法需要对微元概念理解透彻，才能灵活应用.以上针对2 0 2 1年全国大学生数学竞赛第一型(n-1)!曲面积分问题，从不同角度运用知识技巧给出三种n为奇数n！cosad(n-1)!n！4元ai.解法.启发我们在高等数学复习课程及拔高课程的教学中，注意多角度的分析问题，找准突破口，以提高学生解决问题的能力及创新能力.参考文献1同济大学数学系.高等数学（下册）M.7版.北京：高等教育出版社，2 0 14.