一道椭圆试题的改编与延伸.pdf

教法探讨1问题呈现例1已知椭圆C:x24+y23=1，A,B是其左右顶点，M是椭圆上异于A,B的动点，若P为直线x=4上一点且PA,PB分别与椭圆交于C，D两点，则下列命题：kMAkMB=-34;直线CD恒过椭圆的右焦点F1;F为椭圆的左焦点，则CFD的周长为定值；CFD内切圆面积的最大值为916.其中为真命题的是.2试题分析此题以椭圆为素材背景进行题目设计，在于考查学生对椭圆的定义、方程和性质的理解与应用，从其涉及的范围来看，糅合了直线、圆等方面的知识，是一道看似熟悉简单实则复杂的综合性问题.解答此题首先要根据题目所呈现的文字信息将其转化为图形语言，借助数形结合来定位相关联的点、线关系，从而逐步解决问题.3试题改编例 2已知椭圆C:x24+y23=1（如图 1），若P为直线x=4上一点且PA,PB分别与椭圆交于C,D两点，求证：直线CD恒过椭圆的右焦点F1.证法 1：由已知得a=2,A()-2,0,B()2,0,设P()4，t()t0，则kPA=t6,lPA:x=6ty-2,同理 可 得kPB=t2,lPB:x=2ty+2,联 立 方 程x=6ty-23x2+4y2-12=0，得yc=18t27+t2,xc=54-2t227+t2，则C54-2t227+t2,18t27+t2，同理可得D(2t2-63+t2,)-6t3+t2，椭圆的右焦点为F1()1,0,F1C=27-3t227+t2,18t27+t2,F1D=t2-93+t2,-6t3+t2,因 为27-3t227+t2-6t3+t2-18t27+t2t2-93+t2=0，所以C,D,F1三点共线，即直线CD恒过F1点.证法2：由已知得a=2,A(-2,0),B(2,0),一道椭圆试题的改编与延伸甘肃省天水市清水县第六中学 李旺强 741400摘 要：重视习题的基础作用和示范引领作用,挖掘习题的深化功能,探索从不同角度和方位去审视题目，加强知识点之间的覆盖与交汇，追求一题多解，在平时的学习中逐步培养学生解题思维的养成，从而提升解题效率.关键词：一题多解；改编；延伸ADBOCyPx图12023年第2期河北理科教学研究 41教法探讨设P(4,t)（t0）,则kPA=t6,lPA:x=6ty-2,同理 可 得kPB=t2,lPB:x=2ty+2,联 立 方 程x=6ty-23x2+4y2-12=0,得yc=18t27+t2,xc=54-2t227+t2,则C54-2t227+t2,18t27+t2，同理可得D(2t2-63+t2,)-6t3+t2，椭圆的右焦点为F1()1,0，F1C=27-3t227+t2,18t27+t2，F1D=t2-93+t2,-6t3+t2，即 F1C=-9+3t227+t2 F1D，所以C,D,F1三点共线，即直线CD恒过F1点.证法3：由已知得a=2,A(-2,0),B(2,0),设P(4,t)(t0),则kPA=t6,lPA:x=6ty-2,同 理可得kPB=t2,lPB:x=2ty+2,联立方程x=6ty-23x2+4y2-12=0，得yc=18t27+t2，xc=54-2t227+t2，则C54-2t227+t2,18t27+t2,同理可得D2t2-63+t2,-6t3+t2，椭圆的右焦点为F1()1,0，PF1=()-3,-t，PC=-54-6t227+t2,-9-t327+t2，PD=-18-2t23+t2,-9t-t33+t2，不妨设 PF1=1 PC+2 PD,有-541-61t227+t2+-182-22t23+t2=-3-91-1t327+t2+-92t-2t33+t2=-t，化简得()271+2432t+()121+362t3+(1+2)t5=81t+30t3+t5，所以有1+272=921+62=51+2=1，因为1+2=1，所以C,D,F1三点共线，即直线CD恒过F1点.纵观上述解法，证法1是利用两向量共线的坐标运算关系来解答三点共线问题；证法2是借助两向量共线的基本定理来处理三点共线问题；证法3是利用向量法证明三点共线的推论进行了问题的解答.众所周知，对于选择圆锥曲线作为素材背景设计的题目，运算量大就是该类题型独特的风格.但解决过程如果太过于冗长，花大量的时间和精力就显得有些得不偿失了，更何况从题目本身来讲是一道只求结果不论过程的填空题，因此在最短的时间内用最简洁的步骤去解决它才是每位答题者所追求的目标.根据题目所设计的层次关系、逻辑关系一步一步来实现4个命题真假的判断，即使全部解答对，也是一项损耗巨大的任务.因此，在熟练掌握椭圆、直线、圆的定义、性质以及与其相关联的一系列知识的基础之上，合理、巧妙地应用一些基本推论来解答问题方是节时、省功、高效的做法.这样一来四个命题中的就可以直接进行秒杀，然后将按照常规之法来解决问题的时间用来定位两个命题真假的判断上，进而提高解题效率.4推论推论1 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),A,B是其左右顶点，若P为直线x=m()ma上一点且PA,PB分别与椭圆交于C,D两点，则直线CD恒过椭圆的右焦点F1.证明：由已知得A(-a,0),B(a,0),F1(c,0),设P(m,t)(ma,t0),则kPA=tm+a，直线lPA:x=m+aty-a，同理可得kPB=tm-a,直线lPB:x=m-aty+a，则 有x=m+aty-ax2a2+y2b2=1，解 得2023年第2期河北理科教学研究 42教法探讨xC=ab2()m+a2-a3t2b2(m+a)2+a2t2yC=2ab2()m+a tb2(m+a)2+a2t2，同理可得xD=a3t2-ab2()m-a2b2(m-a)2+a2t2yD=-2ab2()m-a tb2(m-a)2+a2t2，所以 F1C=ab2()m+a2-a3t2b2(m+a)2+a2t2-c,2ab2()m+a tb2(m+a)2+a2t2，F1D=a3t2-ab2()m-a2b2(m-a)2+a2t2-c,-2ab2()m-a tb2(m-a)2+a2t2.因为ab2()m+a2-a3t2b2(m+a)2+a2t2-c-2ab2()m-a tb2(m-a)2+a2t2-a3t2-ab2()m-a2b2(m-a)2+a2t2-c 2ab2()m+a tb2(m+a)2+a2t2=0所以C,D,F1三点共线，直线CD恒过F1点.推论2 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，A,B是其左右顶点，若P为直线x=m()ma上一点且PA,PB分别与椭圆交于C,D两点，F为椭圆的左焦点，则CFD周长为定值4a.证明：由推论1知直线CD恒过F1点，结合椭圆的定义可知CFD的周长等于4a，是一个定值.5试题延伸延伸1 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1，A,B是其左右顶点，M是椭圆上异于A,B的动点且满足kMAkMB=-34，（1）求椭圆的方程；（2）若P为直线x=4上一点且PA,PB分别与椭圆交于C,D两点，F为椭圆的左焦点，求CFD的面积.延伸2 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1，A,B是其左右顶点，M是椭圆上异于A,B的动点且满足kMAkMB=-34，（1）求椭圆的方程；（2）若P为直线x=4上一点且PA,PB分别与椭圆交于C,D两点，F为椭圆的左焦点，求CFD内切圆的最大面积.参考文献1李旺强.合理设计体现教学之“度”，变式提升彰显学习之“悟”J.教学月刊，2017（03）.2李旺强.一道课本例题的解析、改编与变式J.中学数学教研，2017（08）.3李旺强.这样解题更有效J.高中生，2017（04）.4李旺强.一道向量题的多解与多变J.高中生,2017（02）.本文系甘肃省教育科学“十四五”规划2021年度一般课题“核心素养视域下高中数学深度学习教学策略研究与实践”（课题编号:GS2021GHB1317）研究成果.2023年第2期河北理科教学研究 43