一个都不能少——基于课程思政的“向量组极大线性无关组概念”教学设计.pdf

收稿日期2 0 2 1-1 1-1 9;修改日期2 0 2 3-0 3-2 7 基金项目国家基金面上项目:鞅空间中的加权不等式及其应用(1 1 9 7 1 4 1 9);扬州大学教学改革研究课题项目:线性代数线上和线下混合式教学研究(Y Z U J X 2 0 2 0D 1 1)作者简介孟凡云(1 9 8 3-),女,博士,讲师,从事同调代数研究.E-m a i l:f y m e n g y z u.e d u.c n 通讯作者陈伟(1 9 8 2-),男,博士,副教授,从事泛函分析研究.E-m a i l:w e i c h e n y z u.e d u.c n第3 9卷第3期大 学 数 学V o l.3 9,.32 0 2 3年6月C O L L E G E MATHEMAT I C SJ u n.2 0 2 3一个都不能少 基于课程思政的“向量组极大线性无关组概念”教学设计孟凡云,陈 伟(扬州大学 数学科学学院,江苏 扬州2 2 5 0 0 2)摘 要“向量组的极大线性无关组”概念既抽象难懂,但又很重要.本文基于H PM视角来进行教学设计,采用历史上欧拉解方程提出“一个都不能少”问题组织教学,贯穿整个教学过程,形成对“极大线性无关组”概念性理解的思维链.通过电影“一个都不能少”将线性表示思想生活化,期望在“课程思政”的方法上有创新.关键词向量组的极大线性无关组;向量组的秩;欧拉方程;九章算术 中图分类号O 1 5 1.2 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 3)0 3-0 1 0 7-0 61 引 言习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调指出:“要用好课堂教学这个主渠道,思想政治理论课要坚持在改进中加强,提升思想政治教育亲和力和针对性,满足学生成长发展需求和期待,其他各门课都要守好一段渠、种好责任田,使各类课程与思想政治理论课同向同行,形成协同效应.”1由此,课程思政作为一种教育理念,逐步在高等教育界形成共识.近几年,众多高校纷纷开展有关课程思政的教学探讨,一线数学教师、专家学者也开始关注课程思政2-1 0.线性代数作为各理工科专业重要的数学基础课程,是最有趣、最有价值的大学数学课程.在现代社会,除了算术以外,线性代数是应用最广泛的数学学科了.然而,对于该课程的学习,初学者总会感到“概念多,且许多概念看书整不明白”“从课本上,许多解题步骤不能理解”“线性代数的知识点衔接很紧密,知识间的联系不好掌握”“考试时,经常算错”那么,如何调动学生学习的主动性和积极性来学习线性代数课程,一直是人们关注的话题.线性代数课程主要研究线性方程组的求解问题以及有限维线性空间上的线性变换问题.向量组的极大线性无关组作为线性代数中的一个重要概念,在给出线性方程组解的结构方面居功至伟.“向量组的极大线性无关组”的概念和理论,通常是安排在介绍了“线性相关和线性无关”的概念之后,既是课程的教学重点又是教学难点.学生普遍觉得比较抽象,难以理解.近几年,关于“向量组的极大线性无关组”概念和理论的教学研究一直是大家关注的热点.文献1 1 通过类比的教学方法,将线性代数中关于“向量组的极大线性无关组”的教学难点,转化为学生较为熟悉的“代表团”问题.文献1 2 为了让学生更容易理解与掌握“向量组的极大线性无关组”的概念,将向量组形象地描述为“班级”,将向量组中的每个向量看成是“班级中的每个同学”,定义了“极大地域无关组”的概念.文献1 3 以生活中的实例(企业裁员)引入“向量组的极大线性无关组”的定义,通过理论与具体生活实例相结合的教学设计思路,将极大无关组的概念以及相关知识点以浅显易懂的形式呈现给学习者.文献1 4 针对“向量组的极大线性无关组”这个线性代数中的重要知识点,通过生活中的实例(团队中的精英小组)开展形似化教学设计,以便学生更加深 入 透 彻 地 理 解 极 大 无 关 组 的 相 关 知 识.本 节 课 将 基 于H PM(H i s t o r ya n dP e d a g o g yo fM a t h e m a t i c s)视角来进行“向量组的极大线性无关组”教学设计,运用社会问题“一个都不能少”与数学家欧拉提出的线性方程组中的方程“一个都不能少”的数学问题形成对比,期望在“课程思政”的方法上有创新,学生的课堂参与度方面有提升,培养学生学习数学的乐趣.2 教学过程本节课将从课程思政的角度,基于双层空间理论,以系列教学活动组织教学(见图1).根据知识发展的过程设计教学活动,环环相扣,形成一个引导学生步步深入的“链”.每个活动的切入点符合学生的认知水平与已有的知识基础,引导学生逐渐深入,让学生在探索新知的过程中感受数学的美和数学的趣味性.活动空间知识空间 活动1活动2活动3活动4本活动阶段针对的知识图12.1 引入问题生活中,现实主义影片 一个都不能少 以独特的视角,反映了中国农村的教育问题,呼吁全社会关注“希望工程”;全面建成小康社会进程中“一个也不能少”的提出,是对“共同富裕”思想的强力坚守和创新发展.线性方程组理论形成的历史上也曾经遇到过“方程组中的方程是否一个都不能少”的问题,又叫做“是否存在多余方程”问题.此问题的解决更有助于帮助学生理解方程组的本质.历史上,数学家欧拉曾考虑下面两个线性方程组是否存在多余方程1 5-1 6.3x-2y=5,4y=6x-1 0,(1)5x+7y-4z+3w-2 4=0,2x-3y+5z-6w-2 0=0,x+1 3y-1 4z+1 5w+1 6=0,3x+1 0y-9z+9w-4=0.(2)教师和学生一起来观察这两个方程组.对于方程组(1),这里的第二个方程是第一个方程的2倍,所以这个方程组中存在多余方程.对于方程组(2),这里的第二、三两个方程相加就是第四个方程,所以第四个方程是多余方程.引导学生提问:一般的线性方程组如何来判断是否存在多余方程呢?受高斯消元法的启示,不难发现该问题的解决可以从方程组所对应的行向量组进行讨论.以方程组(2)为例.方程组中第四个方程可以由第二、三两个方程相加得到,对应到行向量组的关系就是4=2+3,如果从线性方程组对应的行向量组整体来看,可以得到01+2+3+(-1)4=0,即存在不全为0的数使得这个向量组的线性组合为零向量.通过上节课关于向量组线性相关性的探讨,可以得到方程组中存在多余方程当且仅当方程组对应的行向量组线性相关的结论,进而可以顺利地判断方程组中是否存在多余方程,有效地解决方程组中的方程是否一个都不能少的问题.当然,对于方程组(2),还可以进行深入研究.这里,提出两个问题请学生思考.第一个问题:方程组中哪些方程可以看作是一个都不能少的方程?第二个问题:一个不能少的方程的个数是多少?学生会发现方程组(1)中第二个方程是第一个方程的2倍,所以这个方程组中的第二个方程可以删去,第一个方程可以看作是一个都不能少的方程.方程组(2)中第二、三两个方程不能相互表示,第二、三两个方程相加就是第四个方程,第二个方程的2倍与第三个方程相加就是第一个方程,所以这个方程组中的第一个和第四个方程可以删去,第二个和第三个方程可以看作一个都不能少的方程.由文献1 7可知,第二个和第三个方程构成的方程组可以称为方程组(2)的极大线性无关组.引导学生自然地801大 学 数 学 第3 9卷提出问题:对于这个线性方程组如何更好地判断其极大线性无关组呢?设计意图:利用电影 一个都不能少 及习近平总书记提出的“全面建成小康社会,一个也不能少;共同富裕路上,一个也不能掉队.”1 8引入课题,鼓励学生关注农村教育问题以及社会热点问题.2.2 问题分析2.2.1 直觉定义的形成受高斯消元法的启发,不难发现该问题的解决可以从方程组所对应的行向量组进行讨论.以欧拉的第二个方程组为例,首先写出每个方程组所对应的行向量:1=(5,7,-4,3,-2 4),2=(2,-3,5,1 5,-2 0),3=(1,1 3,-1 4,3,1 6),4=(3,1 0,-9,9,-4),方程组(2)中的第二、三两个方程不能相互表示,第二、三两个方程相加就是第四个方程,第二个方程的2倍与第三个方程相加就是第一个方程,对应到行向量组整体,可以得到向量2,3满足以下两个条件:(i)2,3线性无关;(i i)1=22+3,4=2+3,即1,4可以由2,3线性表示.这里2,3构成的向量组是行向量组中一个都不能少的,可以称之为向量组的极大线性无关组.通过分析使学生形成极大线性无关组的直觉定义,进而给出严格定义.设计意图:通过分析历史上数学家欧拉对线性方程组是否存在多余方程的研究,引导学生先得到向量组的极大线性无关组的“直觉定义”,再过渡到“严格定义”.以数学历史引入概念,可以启发学生学习的兴趣,理解数学知识发展的历程.2.2.2 向量组极大线性无关组的严格定义及理解结合以上分析,教师给出一般情况下向量组极大线性无关组的严格定义.定义11 9 设向量组1,2,n的一个部分组为j1,j2,jr满足:(i)j1,j2,jr线性无关;(i i)向量组中的每一个向量均可由此部分组线性表示,则称j1,j2,jr为该向量组的一个极大线性无关组,简称为极大无关组.为了便于学生更好地及时理解极大无关组的概念,教师引导学生总结得出以下结论.即时理解:(i)只含有零向量的向量组没有极大无关组.换句话说,向量组有极大无关组当且仅当向量组含有非零向量;(i i)线性无关向量组的极大无关组就是该向量组;(i i i)1,2,n为n的一个极大无关组.以上三条结论是由向量组的极大线性无关组的概念直接得出的简单性质.这些简单性质的推导,能够帮助学生深刻理解向量组的极大线性无关组的概念.为了让学生更好地掌握极大线性无关组的概念,教师来讲解如下例题.例1 求向量组1=(1,0),2=(0,1),3=(1,1),4=(0,2)的极大无关组.设计意图:通过这个例子,学生会发现1,2;1,3;2,3;3,4;1,4均是向量组的极大线性无关组.引导学生猜测对于同一个向量组可能有若干个不同的极大无关组,但是其极大无关组中含有向量的个数应该是相同的.2.2.3 给出向量组秩的概念为了证明猜测,给出向量组极大线性无关组的一些重要性质.利用极大无关组的概念以及前面学习的向量组等价的相关知识教师讲解证明如下结论:定理11 9 向量组与它的任一极大线性无关组等价.定理21 9 两个等价的向量组中的极大线性无关组所含向量的个数相等.推论11 9 向量组的任两个极大线性无关组所含向量个数是相等的.901 第3期 孟凡云,等:一个都不能少 基于课程思政的“向量组极大线性无关组概念”教学设计定义21 9 向量组1,2,n中极大线性无关组所含向量个数,称为向量组1,2,n的秩,记作秩(1,2,n).设计意图:通过分析得到向量组的任两个极大无关组中所含向量个数相等的结论,从而给出向量组秩的定义.2.3 问题解决及应用2.3.1 问题解决例2 对于欧拉的第二个方程组5x+7y-4z+3w-2 4=0,2x-3y+5z-6w-2 0=0,x+1 3y-1 4z+1 5w+1 6=0,3x+1 0y-9z+9w-4=0.(2)思考以下两个问题:(i)方程组中哪些方程是一个都不能少的?(i i)一个都不能少的方程个数是多少?解 由前面分析可知方程组中一个都不能少的方程构成的方程组与其行向量组的极大无关组相对应,一个都不能少的方程个数与行向量组的秩相对应.写出方程组所对应的行向量组1=(5,7,-4,3,-2 4),2=(2,-3,5,1 5,-2 0),3=(1,1 3,-1 4,3,1 6),4=(3,1 0,-9,9,-4).根据定义可以验证1,2;1,3;1,4;2,3;2,4;3,4均是向量组的极大无关组,行向量组的秩等于2,从而可知对应的方程组5x+7y-4z+3w-2 4=0,2x-3y+5z-6w-2 0=0;5x+7y-4z+3w-2 4=0,x+1 3y-1 4z+1 5w+1 6=0;5x+7y-4z+3w-2 4=0,3x+1 0y-9z+9w-4=0;2x-3y+5z-6w-2 0=0,x+1 3y-1 4z+1 5w+1 6=0;2x-3y+5z-6w-2 0=0,3x+1 0y-9z+9w-4=0;x+1 3y-1 4z+1 5w+1 6=0,3x+1 0y-9z+9w-4=0.均为方程组(2)的极大无关组且有效方程的个数为2.设计意图:通过引入向量组的极大无关组以及向量组秩的概念,“方程组中哪些方程是一个都不能少的”以及“一个都不能少的方程个数”的复杂问题转化为“求方程组对应的行向量组的极大线性无关组”以及“方程组对应的行向量组的秩”的问题.2.3.2 例题讲解图2 直除法作为应用来看下面的例题:例3 判断如下方程组3x+2y+z=3 9,2x+3y+z=3 4,x+2y+3z=2 6.(*)哪些方程是一个都不能少的?一个都不能少的方程的个数是多少?分析 这个方程组最早出现于刘徽的九章算术一书中,刘徽利用直除法(见图2,提醒学生直除法可以看作是之前学习过的初等行变换的起源)给出了该方程组的求解.011大 学 数 学 第3 9卷引导学生自然提问:如何来判断这个方程组中的有效方程呢?教师和学生一起分析,可以利用行向量组的极大无关组来解决这个问题.教师通过分析与讲解例题来帮助学生进一步深刻理解向量组极大线性无关组与线性方程组的极大无关组之间的关系.设计意图:历史上,刘徽曾在 九章算术 一书中利用直除法给出了该方程组的求解.这里将现在学习的知识与数学历史相结合,增加学生学习的兴趣同时,培养学生的爱国情怀,增强学生的国家荣誉感.2.4 问题再思考以上是关于向量组极大线性无关组的探讨,利用向量组的极大线性无关组可以顺利地给出方程组中一个都不能少的方程,有效地判断方程组中有效方程的个数.当然,对于欧拉的第二个方程组,这里运用定义给出了其行向量组的极大线性无关组.但是这个方法比较繁琐,请学生课下思考其它的求向量组的极大线性无关组的方法.设计意图:该题为课后思考题,为后面学习初等变换求向量组的极大线性无关组做好铺垫.3 结 论本节课首先利用电影 一个都不能少 以及社会热点问题引入课题,在讲授知识的同时鼓励学生关注农村教育问题以及社会热点问题.基于H PM的视角,通过分析历史上欧拉研究的四元线性方程组中“哪些方程是一个都不能少的问题”以及“一个都不能少的方程个数问题”得到向量组的极大无关组的概念以及向量组秩的概念.知识的呈现更符合学生的认知水平和已有知识基础,在老师有目的的引导、启发下,引导学生观察和发现一般规律,让学生的认知活动经历从直观到抽象,从特殊到一般,从简单到复杂的思维过程,帮助学生较便利掌握知识的同时达到了润物细无声的育人效果.学生通过这堂课的学习,不仅从数学文化的角度理解了向量组极大线性无关组的定义,而且对“一个都不能少”的社会热点问题有了更加深刻的理解.致谢 作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.参 考 文 献1 新华社.努力培养德智体美全面发展的社会主义事业建设者和接班人 习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上的讲话引起热烈反响E B/O L.(2 0 1 6-1 2-0 9)2 0 2 1-1 1-1 9.h t t p:ww w.m o e.g o v.c n/j y b_x w f b/s 5 1 4 7/2 0 1 6 1 2/t 2 0 1 6 1 2 0 9_2 9 1 3 2 4.h t m l2 何薇,陈建龙.线性代数课程思政教学案例的设计与实践J.大学数学,2 0 2 1,3 7(5):4 7-5 1.3 赵东红,魏海瑞,刘林.大学数学公共课程思政元素挖掘初探J.大学数学,2 0 2 1,3 7(3):4 6-5 2.4 张若军,高翔.哲学视域下的高等数学“课程思政”J.大学数学,2 0 2 1,3 7(2):1 3-1 7.5 史永堂,雷辉,李佳傲.数学基础课程图论的课程思政探索与实践J.大学数学,2 0 2 1,3 7(4):3 4-4 1.6 王璐,卢鹏,徐昌贵.金课视域下课程思政融入数学建模教学及实施路径J.大学数学,2 0 2 1,3 7(5):6 4-7 0.7 公徐路.课程思政下离散数学课堂教学中的改革与实践J.大学数学,2 0 2 0,3 6(4):2 5-3 0.8 俞能福,闵杰.挖掘高等数学文化内涵,践行课程思政教学改革J.大学数学,2 0 2 0,3 6(5):1 5-1 9.9 朱婧,申亚男,张志刚.数学模型“课程思政”的思考与教学实践J.大学数学,2 0 1 9,3 5(6):2 7-3 1.1 0 吴慧卓.高等数学教学中渗透课程思政的探索与思考J.大学数学,2 0 1 9,3 5(5):4 0-4 3.1 1 张莉,周羚君.类比方法在线性代数教学中的应用J.大学数学,2 0 1 4,3 0(6):6 7-6 9.1 2 何俊,刘如玉.向量组线性相关性理论的一种解释J.高等数学研究,2 0 1 5,1 8(2):5 3-5 6.1 3 王发兴,郑莹.浅谈线性代数微课设计 以向量组的最大无关组与秩为例J.大学数学,2 0 2 0,3 6(2):7 7-8 1.1 4 杨扬,张萌.线性代数中的形似化教学探索J.大学数学,2 0 2 1,3 7(3):3 6-4 2.1 5 项晶菁.HPM视角下向量组线性相关性概念的教学设计J.数学教育学报,2 0 1 5,2 4(4):5 7-6 0.1 6 KA T Z V J.U s i n g H i s t o r yt o T e a c h M a t h e m a t i c s:A nI n t e r n a t i o n a lP e r s p e c t i v eM.W a s h i n g t o n,D C:111 第3期 孟凡云,等:一个都不能少 基于课程思政的“向量组极大线性无关组概念”教学设计M a t h e m a t i c a lA s s o c i a t i o no fAm e r i c a,2 0 0 0:9 9-1 1 0.1 7 李尚志.线性代数M.北京:高等教育出版社,2 0 0 6:4 0-5 0.1 8 新华网.习近平总书记在十九届中共中央政治局常 委同中外记者见面时的讲话_新华网文字实录E B/O L.(2 0 1 7-1 0-2 5)2 0 2 1-1 1-1 9.h t t p:ww w.x i n h u a n e t.c o m/p o l i t i c s/1 9 c p c n c/2 0 1 7-1 0/2 5/c_1 2 9 7 2 6 4 4 3.h t m1 9 陈建华.线性代数M.北京:机械工业出版社,2 0 1 1:1 0 5-1 0 7.N o tO n eL e s s T e a c h i n gD e s i g no f“M a x i m a lL i n e a r I n d e p e n d e n t S e t o fV e c t o r s”B a s e do nI d e o l o g i c a l a n dP o l i t i c a lC o u r s e sME NGF a n y u n,CHE N W e i(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,Y a n g z h o uU n i v e r s i t y,Y a n g z h o u2 2 5 0 0 2,C h i n a)A b s t r a c t:T h ec o n c e p to f“M a x i m a lL i n e a rI n d e p e n d e n tS e to fV e c t o r s”i sa b s t r a c ta n dd i f f i c u l t,b u ti ti sv e r yi m p o r t a n t.B a s e do nt h ep e r s p e c t i v eo fHPM,t h i sp a p e ra d o p t st h ep r o b l e mo f“N o to n e l e s s”p u t f o r w a r db yE u l e rt oo r g a n i z et e a c h i n g,w h i c hr u n st h r o u g ht h e w h o l et e a c h i n gp r o c e s sa n df o r m st h et h i n k i n gc h a i no ft h ec o n c e p t u a lu n d e r s t a n d i n go f“M a x i m a lL i n e a r I n d e p e n d e n tS e t”.W eb r i n g st h em i n do f l i n e a rr e p r e s e n t a t i o nt ot h e l i f et h r o u g ht h ef i l m“N o to n e l e s s”,a n de x p e c t s i n n o v a t i o n i nt h em e t h o do f“I d e o l o g i c a l a n dP o l i t i c a lC o u r s e s t e a c h i n g”.K e yw o r d s:m a x i m a l l i n e a ri n d e p e n d e n ts e to fv e c t o r s;r a n ko fv e c t o r s;E u l e re q u a t i o n;t h en i n ec h a p t e r so nt h em a t h e m a t i c a la r t211大 学 数 学 第3 9卷