新课改下高中数学基本不等式解题技巧探析.pdf

184世纪之星在普通高中数学课程标准中，基本理念提出：优化课程结构，突出主线，精选内容；把握数学本质，启发思考，改进教学；重视过程评价，聚焦素养，提高质量。（P3-P3）在此背景下，教师应当根据过去高中数学教学中存在的问题，全面优化数学课程结构，突出基础知识、重点知识和难点内容，把握数学教学的本质特征，通过借助数字资源和智慧平台实施教学，创设更为合适的教学情境，启发学生思考、交流和探讨，引导学生经历知识生成的过程，以此把握数学知识的本质特点，根据学生的反馈改进教学，依托核心素养实施评价。基本不等式是高中数学课程的重点内容，教师要基于以上分析改进教学，做好解题技巧教学。一、新课改下高中数学教学理念在高中数学基本不等式解题技巧教学中，教师首先应当研读新课标课程理念，其中基本理念的第3项提出“把握数学本质，启发思考，改进教学”。因此教师在实施基本不等式解题技巧教学中，应当明确与之相关的数学核心素养，并引入相应的生活和生产资源，在课堂上创设合适的情境，提出针对性问题，启发学生抽象思考，引导学生逐步把握基本不等式解题技巧。在教学过程中，教师要引导学生独立思考、自主学习、合作交流等，达成基本不等式解题技巧教学目标1。二、新课改下高中数学基本不等式的基础知识基于新课改的课程理念，高中数学基本不等式解题技巧教学中，教师应当先指导学生熟悉基本不等式的基础知识。基本不等式基本公式是：，(a0,b0)，当且仅当a=b时取等号。教师还需要让学生与已学知识联系起来，由完全平方公式推导，经历基本不等式推导的过程，这样可以让学生更加深入理解基本不等式。教师还要强调基本不等式成立的前提，可以总结为“一正、二定、三相等”：一正是指a,b必须是正数；二定是指和定积最大（当a+b为定值时，由公式可得ab的最大值）、积定和最小（当ab为定值时，由公式可得a+b的最小值）；三相等，当且仅当a=b时，等号成立。除了以上基础知识，教师还要指导学生在运用基本不等式解答相关问题时，要看清公式成立前提条件，还要熟悉公式的变形。如几个重要的变形公式：a2+b22ab(a,bR)；2+baab(a,b同号)；+22baa b(a,bR)；+22222baba(a,bR)。教师除要求学生熟记和学会运用相关的变形公式，还要让学生明确算术平均数与几何平均数，认识基本不等式求最值问题等。三、新课改下高中数学基本不等式的解题技巧教学 策略1.基于基础定理公式，简单运用解答问题基于新课改课程理念，教师在实施高中数学基本不等式解题技巧教学过程中，首先是引领学生熟悉基本公式，简单运用基础定理公式，解答一些基础的问题，这能够为后续解答疑难问题，更好运用解题方法和技巧打下坚实的基础。教师要基于由易到难的原则，注重先根据教材的相关题目，改编和引入一些基础题目，让学生基于已学的基础知识和相关方法进行解答。教师根据学生的解答情况点拨与总结，最后实施讲解，以此辅助学生巩固基础知识，提高基本解题能力2。新课改下高中数学基本不等式解题技巧探析张丽（额敏县一中学新疆塔城834600）摘要：新课改背景下，高中数学教学应当注重培养学生数学思想方法，指导学生解题技巧，教师要做好基本不等式解题技巧的教学。基于新课改下高中数学教学理念，结合基本不等式的基础知识，根据学生的学习基础和认知能力，教师应当探析基本不等式解题技巧的教学策略：基于基础定理公式，简单运用解答问题；明确相关问题类型，认识不等式的价值；重点讲授最值技巧，训练最值问题解法；指导学生参与证明，解决恒成立的问题；均值定理比较大小，加强重点内容训练；根据学习训练情况，实施科学多元评价。教师应当深入研读基本不等式的知识，搜集与整理丰富的教学资源，落实以上教学策略，能够提高教学的有效性。关键词：新课改高中数学基本不等式解题技巧重点训练185探索与交流例如，教师可以先引入类似的基本不等式简单问题：设x0，y0，且x+y=18，则xy最大值是多少？选项有80,77,81,82。a0,b0,ab-(a+b)=1，则a+b的 最 小 值 是 多少？教师要求学生在限定的时间内解答这些问题。之后，教 师 做 好 解 析：题 目 一 是 根 据x0，y0，可 得，当且仅当x=y=9时，xy能取最大值是81；题目二是根据基本关系式，因此可将原式化为不等式()122+baba，设a+b=t，t2=4t=40,t2+22，最 小 值 是2+22。基于以上的解析，教师还要进行总结：利用基本不等式解题，应当明确“一正、二定、三相等”；解答简单最值问题，出现ab-(a+b0=1，求a+b最值要保留a+b，学会换元，才能更好地解答相关问题。在总结完成后，教师可以根据学生的课堂表现，引入相关基础题目，要求学生利用课后时间训练。2.明确相关问题类型，认识不等式的价值在高中数学基本不等式教学中，为更好让学生掌握解题方法与技巧，教师还需要引领学生明确基本不等式的相关问题类型，结合与其他类型问题的融合，让学生认识基本不等式的重要价值。总体而言，基本不等式的问题类型分最值问题，1”的代换问题，方程中的基本不等式问题，含参基本不等式问题，不等式与其他问题融合。教师需要先说明解题思路，之后引入若干个例题，解析题目内容，讲解解题步骤，引入变式问题等，以此更好提高教学的 效果3。一是最值问题。教师先强调这个类型的解题思路：1是 积 定 和 最 小：若ab是 定 值，当 且 仅 当a=b时，(a+b)min=，a,b0，+)；2是 和 定 积 最 大，若a+b为 定值，当且仅当a=b时，(ab)max=+22ba，a,bR。在此讲解后，教师要引入多个例题讲解，如：已知函数f(x)=2x+221+x，那么f(x)取最小值对应的x值是多少？教师要结合上述提到的解题思路，说明积为定，结合积定和最小法则对本题进行解析，以此推导出x=-1。教师讲解完成本题后，还可以引入变式题：已知x-2，那么x+21+x的最小值是多少？以此引领学生根据所学分析解答。二是“1”的代换问题。教师同样是先分析这类问题的解题思路：根据f(x)=mxfm)(m0)，基于所求内容实施乘除化简。以此为基础，教师要引入相应的例题进行讲解：若两正实数x,y满足141=+yx，且不等式4yx+m2-3m有解，那么实数m取值范围是多少？教师可以通过点拨，引导学生进行自主运算，是将左边乘以141=+yx，将所得结果化简，根据积定和最小的法则进行解答。经过学生一番解答，最后得出m(-,-1)(4,+)。完成本题的讲解后，教师要继续引入变式题，要求学生根据本题的解题方法进行解答。三是方程中的基本不等式问题。教师先要分析这类问题的基本解题思路，是将需要运用不等式的项移到方程一边，运用基本不等式解答。如这样一道高考题：如实数a,b满足a bba=+21，那么ab最小值是多少？要求学生基于思路解答。四是含参基本不等式问题。对于这类问题，主要的解题思路是运用含参不等式的解法进行求解。教师引入例题：已知142222+xxxaa对任意的x(1,+)恒成立，那么a的取值范围是多少？教师先要分析本题，明确本题参数是a，需要将自变量移项，然后观察等式，明确等式右侧经过配凑后得出积是定值，要根据积定和最小法则进行计算，最后得出a的取值范围是-3a1。五是不等式与其他问题融合。这主要是与向量、解析几何、线性规划、解三角形等内容的融合。教师同样可以按照以上的教学方法，先明确这类问题的解题思路，再引入相关例题进行分析，之后还可以引入一些变式题让学生解答。3.重点讲授最值技巧，训练最值问题解法最值问题是基本不等式的重点项目，教师教授好这个主题的内容，对于学生解答基本不等式问题具有非常重要的意义。在讲解问题的过程中，教师需要重点讲授最值技巧，这主要包括凑项，凑系数，分离，换元，结合函数单调性，整体代换等。为更好帮助学生理解这些技巧，教师可以借助具体例题进行讲解，还要引入一些典型题目，引领学生训练最值问题的解法，提高解题技巧教学效果4。一是凑项。教师要引入相关的题目：已知x45，求函数y-4x-2+541x的最大值。教师先要说明基本思路：4x-50，因此要“调整”符号，根据函数的右侧不是常数，要对4x-2实施拆和凑项后面要求学生自主解答，得出最大值是1。此题要调整项的符号，还要配凑项系数，使得积是定值。二是凑系数。教师同样需要引入相关的题目，如：当0 x4时，求出y=x(8-2x)的最大值。根据本题条件明确8-2x0，运用基本不等式求最值，需要和是定值或者积是定值，本题是两个式子积的形式，但是其和不是定值，2x+(8-2x)=8是定值，所有只要将y=x(8-2x)凑上一系数可解答。教师让学生自主解答，最后分析：本题不能直接应用基本不等式解答，可以通过凑系数后得到和是定值解答。最后，教师引入变式题：设230 x，求函数y=4x(3-2x)的最大值。三是分离。教师先引入相关题目：的值域。教师可以通过分析解题的思路，引领学生利用分离的方法进行解答。如本题表面上看不能用基本不等式解答，实际上可以把分子配方凑出含(x+1)项，再将其分离解答。在教师的指导下，学生可以很快地解答本题，提高学生应用分离技巧的能力。四是换元。还是以上述的题目为例，教师还可以指导学生利用换元技巧进行解答。以上题目通过换元的方法，令t=x+1，通过化简原式，分离后求最值。在此指导下，学生可以很快求出：9542=+tty(当t=2即x=1时取等号)。在运用以上两种技巧解答问题后，教师可以进行总结：分式函数求最值，一般是将分子配凑后将式子分开，或者把分母换元后将式子分离，再运用基本不等式求解。也可以理解186世纪之星为化成恒正或恒负形式，再用基本不等式求出最值。五是其他。一般包括这些方面的技巧：1.借助最值定理求最值，如遇到等号取不到情况，要结合函数xaxxf+=)(的单调性求解；2.整体代换，连续用最值的定理求最值，注 意 取 等 号 的 条 件 是 一 致 的；3.已 知a,b是 正 实 数，2b+ab+a=30，求函数y=的最小值，类似题目，可以通过消元转化成一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，或直接运用基本不等式求解。4.指导学生参与证明，解决恒成立的问题在基本不等式的解题技巧教学中，为了更好提高学生的解题能力，教师还要指导学生参与证明，是指借助基本不等式证明不等式。不仅如此，教师还要指导学生利用基本不等式解决恒成立的问题。这些方面都可以运用以上提到的方法，教师先让学生自主解题，之后再进行总结讲解，提高教学的成效。例如，关于利用基本不等式证明不等式，教师可以引入类似的题目：已知a,b,c是两两不相等的实数，求证a2+b2+c2ab+bc+ca。正数a,b,c满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)8abc。关于基本不等式与恒成立的问题，教师可以引入这样的题目：已知x0，y0且191=+yx，求让不等式x+ym恒成立的实数m取值范围。针对以上的题目，教师要求学生利用以上所学的解题方法和技巧进行解答，需要具体分析以上题目，才能灵活运用基本不等式的技巧解答问题。5.均值定理比较大小，加强重点内容训练在基本不等式的解题技巧教学中，教师还要引入关于均值定理在比较大小中的应用题目，以此要求学生利用所学的基础知识和解题技巧进行解答。在相关的内容结束后，教师还要引入重点内容的题目，比如关于最值等方面的问题，要求学生在限定的时间内进行训练，以此更好地提高学生解题能力5。例如，关于均值定理运用在比较大小方面的类型，教师 可 以 引 入 这 样 的 题 目：若ab1,P=，)2lg(,l g(lg21QbaRba+=+=，那么P，Q，R之间的大小关系是是什么？教师要求学生运用所学的解题技巧进行解答，之后进行总结性讲解，得出三者之间的关系是RQP。教师除了引入这类题目，还要针对最值类型引入多个题目，要求学生根据所学的基本不等式基本性质、解题方法和技巧等进行解答。教师可以根据学生的解题情况进行点评与讲解，指导学生更好方法与技巧，在循序渐进中提高学生的解题能力。6.根据学习训练情况，实施科学多元评价高中数学的新课标课程理念中，提出：重视过程评价，聚焦素养，提高质量。因此，教师需要根据学生在学习过程中的总体表现情况，分析基础知识和训练的情况，对学生实施科学多元的评价。教师应当将过程评价和结果评价有机融合，通过运用智慧平台的评价工具，构建目标多元、方式多样、定性定量融合的评价体系，这样可以更好发挥评价的诊断、引导和激励等多种作用6。例如，针对以上关于基本不等式解题技巧的教学，教师应当在过程中记录好学生的学习过程与训练过程，通过检测可以明确学生的学习成效。教师根据这个主题的教学目标，分为知识与技能的掌握程度、参与过程的态度、所掌握的方法、形成的学习态度等，运用多样的方法，借助评价工具进行评分，与总体印象结合，以此实施相应的评价。教师应当多鼓励和表扬学生，引导学生正确的学习方向，激励学生继续努力，争取取得更好的学习效果。结语综上所述，通过研读高中数学的新课标课程理念，明确新课改的主要要求，基于高中数学基本不等式的知识实施教学，重点教授学生解题技巧，以上分为多个方面进行论述，引领学生学习各类解题方法与技巧，指导学生参与训练，循序渐进中提高学生解答基本不等式相关问题的能力。教师应当基于学情落实以上的教学策略，能够有效提高基本不等式教学的成效。参考文献1赵碧云.浅析新课改下高中数学基本不等式解题技巧J.文理导航:教育研究与实践,2021(10):155-156.2陈大祥.浅析新课改下高中数学基本不等式解题技巧J.数理化解题研究,2021(12):48-49.3张斌.乱花渐欲迷人眼 拨开云雾见分明-浅析基本不等式的变形与应用J.数理化解题研究,2020(25):3-5.4李光星.基于高中数学基本不等式解题技巧分析J.数理化解题研究,2021(19):16-17.5勒子玉.高中数学基本不等式解题技巧的探究与分析J.数学学习与研究,2019(12):105.6陈新曦.“再创造”原理指导下的“一元二次不等式解法”教学J.文渊(高中版),2020(1):446.