数学理解障碍的成因分析.doc

数学理解障碍的成因分析和教学策略探索
问题提出：“为理解而教”，已经成了当今教育界的共识。如果学生的学习最终未能增进他在某个领域的理解、未能基于这样的理解，将所学的知识与自己的生活经验或问题解决结合起来，那么，这样的学习很难说是“有效”的。为改进数学课堂教学，提高课堂教学效能，我们应该使我们的课堂教学成为促进学生理解数学内容、培养学生数学理解力的过程。我们认为，数学理解应该是指学生在已有数学知识和经验的基础上，建立新知识的个人心理表征，不断完善和发展头脑中的知识网络，并能将纳入知识网络中的新知识灵活地加以提取和解决问题。也就是说，当数学知识被学生在理解的基础上内化，成为学生自身知识体系的一部分，并能灵活应用时，才真正形成了数学理解。尽管促进学生理解数学被认为是一个犹如寻找圣杯一样困难的目标，但还是有许多研究以此为目标，这足以显示出该目标的价值所在。本文将主要围绕以下三个问题展开：（1）学生在数学理解上存在哪些障碍？（2）这些障碍存在的原因是什么？（3）针对这些障碍和原因，我们在教学中采取了哪些策略？还有哪些设想或建议？我们发现学生的数学理解障碍主要由数学内容本身的特点造成、或由认知基础欠缺、思维品质较差造成，也与学生的学习方法和习惯有关，心理障碍也经常会影响学生的数学理解。本文既从这些角度对前期研究做出总结，提出了一些有益于培养学生数学理解的设想和方法，也希望能对后继的实践研究提供一些方向。
研究成果：
（一）学生的数学理解障碍及其成因分析
科研的目的是要改革和提高教学质量，而所有的改革都是基于现状的。所以，我们非常有必要了解清楚学生在数学理解上存在哪些障碍？根据一线教师长期的教学经验以及对学生、教师、教材的调查，我们发现了一些问题，经分类归纳，得出学生在数学理解上存在的障碍有以下几点：
一、 由数学学科本身的特点造成的理解障碍
1、数学的抽象性造成的理解障碍。因为数学的抽象，使外表完全不同的问题之间有了深刻的联系因此数学是自然科学中最基础的学科，但也正因为抽象，使学生不能形成恰当的表象，主要表现为概念模糊不清。数学中有具体形象的知识，也有不少抽象的知识，比如高一数学中有抽象的集合、以及函数。在学习了集合的概念和空集的概念后，很多学生仍对φ、{0}、{φ}的区别混淆不清。另外就是参数的大量出现，学生不知道参数到底什么含义。主要原因在于学生的认知水平没有到达形式运算阶段，仍处于具体运算阶段。此水平的学生在获得和使用概念时，需要实际经验或借助具体形象的支持，一旦缺少这样的经验和支持，理解的形成就会受阻。
2、对符号语言的理解障碍。数学的符号语言有其简练性，但这也给学生在审题、记忆时造成一些误解或理解障碍，比如说：对数定义“logaN”中，要求a>0且a≠1、N>0。如果忽略这个约束条件，在解对数不等式时，易犯错误。这是由于忽略语言符号的条件引起数学语言理解障碍。著名数学教育家弗莱登塔尔指出：“学生必须有意识地使用代数语言，不仅学会使用共识，还要知道为何这样用而不那样用，否则代数将为无意义的游戏”。对符号的意义和作用缺乏理解，将对以后的学习构成更大障碍。可见数学语言学习意义重大。又如“-”、“（）”、“f(x)”等这些符号，它们与平时所见的意义不同，有些符号还有着不同的作用，学生无法顺应这些含义就会造成理解障碍。
3、数学的结构特征造成的理解障碍。数学结构是指构成数学知识体系的各种知识单元之间的一种相对稳定的结合方式和联系形式。它表明知识单元（和组成部分）在数学体系中以何种方式结合起来，在数学体系中占有什么地位，以及怎样决定着数学整体的功能等等。数学结构具有很强的系统性。许多如数及函数等数学物件都有着内含的结构，且这些物件的结构性质又存在于更大物件的抽象系统中。比如理解函数概念时，由于函数是对应法则、定义域、值域的统一体，学生应当领会它们之间的相互制约关系，对三者进行整体把握。需要学生在头脑中建构一个情景（解析式的、表格的或图形的），使得函数的对应法则能够得到形象的、动态的反映。像这种抽象地、动态地、相互联系地、整体地认识研究对象，而且要在头脑中把整个动态过程转化为研究对象来研究，这就需要学生的思维在静止与运动、离散与连续之间进行转化。但是，学生的思维发展水平还处于辩证思维很不成熟的阶段，他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，还不善于把几个抽象的概念与具体事例联系起来，还不能够完全胜任这种需要用辩证的思想、运动变化的观点才能理解的学习任务。
二、由认知基础欠缺造成的理解障碍
1、 基础知识缺陷，阻碍知识应用。主要表现为学生的知识网络不完整，有需求时无法提取或应用知识。比如，学习有理数的四则运算，就必须有正整数和分数运算的相关知识，包括运算顺序、法则，只有这些基础扎实，才能顺利的完成新知的学习。认知心理学认为，知识的获得过程既受到个人先天倾向的影响，同时也受到个人已获知识的影响。学生在进行数学学习或解决数学问题时所需要的知识如果在他们的数学认知结构中欠缺，或者学生头脑中即使有这个知识点，但它却没有与同类知识建立联系，这种提取也将受到阻碍，从而增加学生对数学知识理解和掌握的难度，使他们无法建构新知、找到解决问题的思路和办法。
2、 知识联结不恰当，造成认知图式混乱或知识表征错误。当学习的新知与认知结构中已有的某些旧知识类似并可建立有意义的联系时，往往可以用旧知识去同化新知识，将新知纳入自己的认知结构中，成为学习者自己的东西。但有些数学知识貌似相像，本质却差别甚大，不能建立起联系，由于学生无法识别，就会将两个不相关的东西联系起来，产生错误的同化，这个错误的联系会妨碍学生对新知的正确理解。比如有学生将分配律与完全平方公式联系，造成漏中间项的错误，认为(a+b)2=a2+b2。这种现象发生主要原因是学生的辨别能力较弱，没有将新旧知识作比较的意识，或不会比较。
3、 悟性、直觉差，自己发现或接受新知的能力弱。理解某个知识、解决数学问题，灵感或直觉也是很重要的。比如有的同学对几何有很强的直觉，看到几何图形，就会很快看清里面元素的位置关系、数量关系，而有些同学即使让他慢慢看，他观察到的信息还是不全面。这里的原因可能受短时记忆容量影响，或信息提取速度慢，或者是不能整体表征知识，学生在数学学习中遇到较复杂的问题时，灵感的产生需要一个以这个问题为中心的一组知识，即问题中心图式。当这个中心图式中的知识未取得联系，或对问题中心图式的某个知识理解不正确，就无法产生顿悟或灵感。
三、由学生的思维品质差造成的理解障碍
学生思维品质差，在数学学习中表现在以下几方面。
1、思维的深度不够，在学习和解决问题时被一些表面现象迷惑，缺少洞察力，抓不住问题的实质。思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平。它表现为思维的多层次性，善于进行由表及里、深入思考，概括归类，善于抓住事物的本质和规律。在中学数学里，很多问题都有其深刻的背景，或蕴藏着某种规律、方法，有些学生就不能发现，如数学归纳法，学生不能理解为什么第一个命题必须成立，在学习运算定律时，不能从给定的一组算式中发现共同的特征，不能理解用字母表示运算定律的实质含义等诸如此类的表现。
2、思维的灵活性差，表现在数学学习和解决问题时，容易受思维定势的影响，不善于根据问题情景及学习对象的变化而调整自己的思路，思维受阻时不善于改变原有的思维起点和思考方向。思维的灵活性指思维活动的灵活程度，指善于根据事物的发展变化，及时地用新的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法。比如“异面直线所成的角”的概念是“角”的概念的再次扩展，一直是教学中的难点，而学生在平面几何里已接触两条直线的位置关系，在观念上已形成一种思维“定势”，如果不能以新的观点看待新的“角”，那么将影响学生几何观念的形成，所以克服思维定势的影响，是学习立体几何不容忽视的难点。
3、思维广度不够，学习时顾此失彼，不能将有关信息联系起来建立问题中心图式去多角度思考问题。如：数列某些问题可从函数角度来解决，函数的奇偶性、对称轴与周期性关系问题，函数与反函数的对应问题，解析几何与平面向量，解析几何中的方程与函数解析式的关系，等等。学生在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法。例如见到|a|≤1，|b|≤1，就通过三角代换来解决（设a=cosα，b=sinα），理由是|a|≤1，|b|≤1，而不管这两个毫不相干的量a、b有没有建立了具体的联系。主要原因是缺少对算法多样化和解决问题策略多样化的体验。
4、思维的独创性差，表现在学生在思考时的退缩、从众、呆板，在学习和解决数学问题过程中，不能找到有价值的、新颖的方法，不能迁移运用已有知识、方法进行创新学习，对根据问题情景提出数学问题感到困难。 比如想要知道杯口的周长，有的学生可能会先量出它的直径或半径，然后套公式计算，因为在教学中，我们的却是这样做的，但有的学生会有独到的方法，用绳子绕杯口一周，再量这段绳子的长度。可以说前者是死读书的典型，后者则充分挖掘了周长定义的作用。这种现象与我们的应试教育不无关系。在应试中，教师讲，学习听；教师问，学生答；教师出题，学生应考；师生成了应试的工具。应试选拔出的少数“成功者”；只有好胜没有好奇，失去了对自然社会探索的兴趣，丧失了想像力与创造力。
5、思维的批判性差，学习时不善于对自己的思维过程进行自我反思、自我调控。比如说有些学生不习惯分析、纠正自己作业中的错误，对错误的原因不会进行深刻的思考，导致对知识点的认识肤浅，屡次犯相同的错误。有的学生做题前不深思，依葫芦画瓢，照搬照套，做题后不反思，不变换，不求甚解，不寻求知识间的本质联系。因此，由此及彼，触类旁通就很难做到了。
四、由学习习惯不良和学习方法不当造成的理解障碍
1 、学习欠主动性，不主动探究数学问题。许多同学有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动性，表现在不订计划，坐等上课，课前不作预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，忽略了真正听课的任务，顾此失彼，被动学习。不能积极主动地思考，有时甚至开小差，心不在焉，有些学生注意力不能集中到课堂上，学习效率低。，如果不探究，问题越多，势必造成学习的障碍。主要原因是学生的元认知水平低，教师设立的学习任务不恰当。
2 、听课、练习、作业习惯不良。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵外延，分析重点难点，突出思想方法，而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是忙于赶做作业，乱套题型；不积极思考、讨论问题，养成一种依赖心理；慢腾腾作业，不讲速度，训练不出思维的敏捷性；心思不集中，作业、练习效率不高；不愿多动笔画一画，想一想，不善用草稿纸，专门看书，殊不知数学不是看出来的；作业是为交差，不作为检测自己学习的一种方式，因此质量不高，订正不及时或不订正，这些习惯都会造成相关知识的理解障碍。
3、 用文科的学习方法学习数学，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，不愿去深挖其中的含义，主要原因在于学生认懒于动脑思考，或者是根本不知道该怎么学习数学。
4、学习的持久力不够，有些难以理解的内容，往往需要一步接一步地坚持思考，可能需要5步，也可能需要10步，但有的学生却会产生思维的疲劳、或表现出心理上的耐心不够，而不能坚持思考，使已有的辛苦也前功尽弃，最终仍未能达到理解。
五、 由学生心理障碍造成的理解障碍
1、害怕数学，缺乏自我效能感，放弃对数学问题的探索。他们在数学学习时总是怀疑自己的学习能力，担忧自己学不好，由此，遇到一些具有挑战性的问题，就认为自己不能克服，于是回避或放弃对问题的探索，阻碍理解的形成。主要原因是一个阶段中成功体验太少，经常接受消极的反馈，如考试成绩不理想，缺少恰当的鼓励，时间一长，学生就很难去除消极体验。
2、兴趣不足，数学内容中，有些知识相对单调枯燥，学习此类知识时学生大脑处于抑制状态，这些知识在大脑中兴奋度不够，又会影响在下次学习时对知识的提取。除了数学本身的内容特点外，教学也是此障碍产生的因素，如果教师本身讲课没有激情，那么就无法让学生处于一种学习的兴奋状态。　
（二）促进理解的教学对策或建议
一、抽象概念具体化，多举实例，给出形象的支撑。强化数学阅读理解能力的训练，如运用通读，研读、联想的方式。加强学生间的交流与沟通。如小组讨论、合作学习等。在数学中要求学生理解符号的意义、说明符号的内涵、领悟符号的暗示，灵活运用数学符号。以整体全面、运动变化的观点给学生展示数学的结构，要求学生分析数学式子结构，在教学中可让学生先从整体把握知识结构，找到与旧知识的联系，以及对后继学习的作用，然后再各个深入学习，这样学生的学习目的会更明确。
二、重视基础知识的教学，根植同化知识的固定点。强化核心问题的教学，比如函数教学中，需对“什么是函数”进行不同角度的重点探究，让这个核心问题在学生的知识结构中成为同化其他知识的固定点，这对反函数、数列的学习都有积极的促进作用。引导学生对数学知识进行联系和比较，避免建立错误的联结，如为避免前面提到的完全平方公式学习中出现的“漏中间项”的错误，可将乘法的分配率:k´(a+b)=k´a+k´b⑴和积的乘方(a·b)n=an·bn⑵这两个公式与完全平方公式运算结构作比较，并思考为什么“分配律”在这两个公式中可以成立，而对(a+b)2却不能成立，学生在比较和思考之后，会对这个公式有更深的理解，甚至对各类运算间的关系也能搞得更明白。当认知结构完整地存在、并合理地联结成网络状，理解才肯能产生。当然在数学学习中，直觉和悟性也是很重要的，直觉好、悟性高的学生往往更容易产生各种知识间的联想，他们能很快发现其中的联系，为提高学生的直觉和悟性，教学中可设置意境，鼓励学生猜想，培养对数学的直觉。
三、关注数学思考，发展思维能力
首先，注重数学思维品质的培养。
1、针对学生思维的深刻性差的特点，在数学教学中要注意为他们提供形象支撑，让学习困难的学生获得更多的实践操作机会，以问题为支架，引导他们在思考问题时，注意联想具体情景和操作活动，在丰富动作思维、形象思维的基础上，逐步发展抽象思维，抽象和概括出问题的本质，如数学归纳法的教学时，可举推倒一批挨着排的自行车的例子，让学生理解要自行车全倒，推倒第一辆和挨着排是必要的，这样他们在运用归纳法时，就不会漏掉这两个环节。
2、针对学生思维灵活性差的特点，可多设计变式练习，如在学利用一次函数概念和性质解决面积问题时，可设计已知图象求面积和已知面积求解析式的变式练习。另外可引导学生增强主动“求变”意识，在求变中培养思维的变通性，克服学生思维的静态与单一，解决消极的思维定势。求变包括方法上求变和结果上求变。如在学习分数初步认识几分之一时，让学生用大小相等的纸叠不同的1/4，这样既深刻理解了“1/4”的意义，又培养了思维的灵活变通性。
3、针对思维广度不够，可有意识引导学生多角度思考问题，并多给学生思考余地，在学生思考过程提供适量的帮助。比如以下问题：若x∈R，当1≤x≤3时，不等式px+1>2x恒成立，求p的取值范围。此问题可引导学生选取不同的研究对象，采取不同的方法。方法一：以p做为研究对象，将不等式看作以p作为变量的不等式，将p进行分离。方法二：以x做为研究对象，将不等式看作以x作为变量的不等式，将x进行分离。方法三：以含p、x的不等式整体做为研究对象，将原不等式写成px-2x+1>0,此时左边可以看作是关于x的一次函数,原不等式恒成立,也就要求f(x)= px-2x+1在区间[1,3]上恒大于零，即满足f(1)>0且f(3)>0。方法四：以含p、x的不等式整体做为研究对象，将原不等式写成px-2x+1>0,此时左边可以看作是关于p的一次函数,原不等式恒成立, 即f(p)= px-2x+1当1≤x≤3时不等式恒大于零的p的取值范围。方法五：以形助数，数形结合，利用图象研究问题。经历了这样的探究后，学生多角度思考问题的意识得到增强，且体验到了如何多角度思考这类问题的方式。
4、针对思维的独创性差，可注重培养求异思维，鼓励和表扬学生的不同想法，鼓励一题多解。教学中要善于诱导学生分析归纳、合情推理、发散性地思维及延伸探究，就能为学生尝试创造性的学习构筑平台，就能让学生在更高、更深的层次上加深对问题的理解，培养他们善于观察、比较分析、归纳与探究的意识与能力。
5、针对学生思维批判性差的特点，可让学生写数学学习日记，整理错题集并反思和分析错误原因。比如，在分数四则运算的学习，学生会犯各种各样的计算错误，如带分数加减法中，算法错误，不够减时没有“退1”，乘法中，不小心将分子相加了，约分约错了，做除法时，忘了倒数等等，学生往往简单的将错误归为粗心，而不去反思犯错的根本原因，不去反思如何可以避免下次不犯同样错误的措施。所以，教学中首先要培养学生的反思习惯，另外从细节处，手把手教学生如何反思，让其把当时的错误想法完整讲出来或写出来，然后一个一个细节分析。
    其次，让学生掌握一些基本的数学思维方法，如换元、数形结合、归纳猜想、反证法类比、转化、逆向思维等。学生在数学学习中不能恰当表征知识，解决问题时不能产生思维顿悟，都与他们的数学认知结构中没有一些基本的思维方法有关。因此，在教学中，应结合具体内容的教学进行数学思维方法的渗透，让学生获得一些基本的思维方法，从而掌握解决某些问题的基本套路。如：“分式的乘除”，需要已有分数的乘除法则认知，在联想、类比的过程中理解新知。
四、培养良好的学习习惯和恰当的学习方法。如怎样合作学习，自主探究、积极思考，帮助学生确立学习目标，设立恰当的学习任务养成作业认真，及时订正的习惯。加强学习策略的渗透和学法指导，培养学习能力。
五、让学生获得积极的情感体验，增强学习动力
     在数学教学中关注情感、态度与价值观的目标，让学生获得积极的情感体验，不但有利于学生的全面发展，也有利于让学生在数学学习中克服心理障碍性的“知—情”编码。首先，给学生确定合适的数学学习任务，积极评价他们在学习上的进步，使学生在学习中具有成功的体验，树立能学好数学的自信心。其次，可通过讲故事法、问题法提高学生对数学学习的兴趣，让学生能主动走进知识，提高他们对数学学习内容的关注度和数学知识在认知结构中的兴奋度。再次，加强数学与生活的联系，注重数学文化的介绍，体现数学的简洁美、对称美、和谐美，让学生感受数学的应用价值、文化价值和美学价值。
（三）小结
综上所述，学生的数学理解障碍主要与数学本身的学科特点，抽象性，结构特征等有关，与学生的心理素质、思维品质、学习特点有关，也与教师的素质和教学特点有一定关系。所以在培养学生数学理解时，我们应该抓住这些特点，在教学设计中，注重教材分析、学情分析、筛选教学内容与教学目标，并强化“以学生为主体，教师为主导”的理念，同时教师自身需加强学习，提升专业能力。从学生来看，主要问题在于认知基础欠缺、思维品质较差、学习习惯不良、学习方法不当、对数学学习有心理障碍这些方面，为此，数学教学中须注意培养学生的认知策略、思维品质和学习方式。上文中已提出了一些教学对策或建议，但对于该如何有针对性地实施？是否可行？是否有效？实施后如何评价其有效性？这些问题还有待实践与研究，对于如何设计数学理解目标，探索培养数学理解力的课堂教学模式，如何证明学生实现了数学理解等都是我们亟待研究的问题。

浦东外国语学校 张洁铭

2

附录：
学生的数学理解障碍分析与对策探究

学生在数学理解上的障碍
教学对策或建议
1
数学本身的特点造成的障碍：
（1） 数学的抽象性造成的理解障碍
（2） 对符号语言的理解障碍
（3） 数学的结构特征造成的理解障碍
1． 多联系实际，举实例，使知识具体形象化
2． 提供数学阅读材料，培养数学阅读能力，理解数学符号语言的涵义
3． 以整体全面、运动变化的观点给学生展示数学的结构
2
由认知基础欠缺造成的理解障碍
（1） 基础知识缺陷，阻碍知识应用
（2） 知识联结不恰当，造成认知图式混乱或知识表征错误
（3） 悟性、直觉差，自己发现或接受新知的能力弱

1． 重视基础知识的教学，根植同化知识的固定点。
2． 引导学生对数学知识进行联系和比较。
3． 设置意境，鼓励学生猜想，培养对数学的直觉。

3
由学生的思维品质差造成的理解障碍（1） 思维的深度不够，在学习和解决问题时被一些表面现象迷惑，缺少洞察力，抓不住问题的实质
（2） 思维的灵活性差，在数学学习和解决问题时，容易受思维定势的影响
（3） 思维广度不够
（4） 思维的独创性差
（5）思维的批判性差，学习时不善于对自己的思维过程进行自我反思、自我调控
注重思维品质的培养，让学生掌握一些基本的数学思维方法
1． 提供形象支撑，以问题为支架，引导学生由表象深入思考。
2． 增加变式练习
3． 引导学生多角度思考问题，多留思考余地，并提供适量帮助
4． 培养求异思维，鼓励和表扬学生的不同想法，鼓励一题多解
5． 写数学学习日记，整理错题集并反思和分析错误原因
4
学习习惯不良和学习方法不当
（1）学习欠主动性，不主动探究数学问题
（2）听课、练习、作业习惯不良
（3）用文科的学习方法学习数学
（4）学习的持久力不够
1、培养良好的学习习惯和恰当的学习方法，如怎样合作学习，自主探究、积极思考，帮助学生确立学习目标，设立恰当的学习任务养成作业认真，及时订正的习惯
2、 加强学习策略的渗透和学法指导，培养学习能力。
5
心理障碍
（1）害怕数学，缺乏自我效能感，放弃对数学问题的探索
（2）兴趣不足
1．让学生获得积极的情感体验，增强学习动力，确定合适的数学学习任务，积极评价他们在学习上的进步，使学生在学习中具有成功的体验，树立能学好数学的自信心，鼓励学生充满克服困难的勇气，培养坚强的学习意志与毅力。
2．可通过讲故事法、问题法提高学生对数学学习的兴趣，