第五章微分中值.doc

思考与练习 5-1
1. 函数在点取得极大(小)值的定义是什么?函数在区间上的最大(小)值的定义是什么?
答：设函数在区间内有定义,,若存在,对任意的有, 则称函数在点取得极小(大)值,称点是函数的极小(大)值点,而函数值就称为函数的极小(大)值。
设函数在区间内有定义,，若对任意，有，则函数值就称为函数的最小(大)值。
2. 最大(小)值是否一定是极大(小)值?反之如何?
答：最大(小)值不一定是极大(小)值，极大(小)值不一定是最大(小)值。
例如在闭区间上能取到最大值，但不是函数在区间中的极大值，也不是函数的极大值点。
3. 若函数在闭区间的端点取得最大值,且存在,则是否有,为什么?
答：若函数在闭区间的端点取得最大值,且存在,但不一定有。例如，在闭区间上能取到最大值，但
。
4. 稳定点一定是极值点吗?稳定点的几何意义是什么?极值点一定是稳定点吗?
答：稳定点不一定是极值点。函数在稳定点处对应的曲线上的点的切线平行于轴。极值点不一定是稳定点。
5. 费马定理说明了稳定点和极值点的什么关系?
答：费马定理说明了若点是函数可导的极值点，则点一定是函数的稳定点。
6. 洛尔中值定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理之间有什么关系?
答：拉格朗日中值定理是洛尔中值定理的推广，如果函数在闭区间上满足,由拉格朗日中值定理立即可得洛尔中值定理。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，取,由柯西中值定理就可得到拉格朗日中值定理。
7. 证明拉格朗日中值定理所用的辅助函数是怎样构造的?还有其它的构造方法吗?
答：教材中的辅助函数，即为函数与过原点的直线函数的差。还可令，即为函数与过点的直线函数的差。
8. 设,则柯西中值定理对于函数和在区间上是否成立.为什么?
答: 不能.,对任意的,所以对任意的,都没有.这是因为不满足柯西中值定理的条件(ⅲ).
9. 给定函数,是否一定存在函数使得?
答：不一定。例如，不存在函数满足（其中是Dirichlet函数）。当在给定区间上连续时，才一定存在函数使得。

10. 求下列函数的稳定点:
①； ②.
解：①由，得稳定点为
②由，得稳定点为：。
11. 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点,使。
①; ②,.
解 ①在闭区间,在闭区间上连续,且在两端点处,.在内,，即在内可导，根据罗尔定理:,使.
② 所以，当时，，当时，，在点不可导，故在内不存在，使的点.
12. 证明:
①方程(这里为常数)在区间内无相异的实根;
②方程(为正整数这里为实数)当为偶数时至多有两个实根;当为奇数时至多有三个实根;
证 ①用反证法: 设.若存在,使得
.
因为在上连续,在内可导,由罗尔中值定理,应,使得,而这两点均不可能在区间内,此为矛盾.
②(ⅰ) 当为偶数时,用反证法:若存在为方程的三个根,令
.
因为在和上连续,在上可导,由罗尔中值定理可得:
,使,所以得
,因为是奇数,所以,此为矛盾.所以方程当为偶数时至多有两个实根.
(ⅱ) 当为奇数时,用反证法:若存在为方程的四个根,令
.
依(ⅰ)相同的理由,.使,
即
,
有三个实根.由于是偶数,这与(ⅰ)矛盾.所以方程当为奇数时至多有三个实根.
13. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:
①,其中;
②,其中;
③对任意实数,,都有;
④.
证： ① 设,函数满足拉格朗日中值定理的条件,所以存在,使.
② 设,则对任意的,在区间上连续且可导,函数满足拉格朗日中值定理的条件,所以,使
.
③令,则对任意的实数在(或上可导,且.所以。
④令,则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件,故,使得,
又 ,
故
14. 若在区间上存在有界导数,试证:在上满足Lipschitz条件.(参看第三章第2节20题).
证明：由于在区间上有界，所以存在常数，对任意的，有。利用拉格朗日中值定理，对任意，有
，其中。
15. 设函数在上可导,证明:存在,使得
=.
证 (ⅰ) 若,则取,结论成立.
(ⅱ) 若且,则同样取,结论成立.
(ⅲ) 若,但.
（ⅳ）若,且.则取,在区间上满足柯西中值定理的条件,所以,使
。
16. 设函数在点处具有二阶导数,证明:
.
证 设,因为函数在点处具有连续的二阶导数,所以在的某空心邻域内具有二阶连续导数,且
,根据定理5.6得

16*. 设函数在点处具有二阶导数,且，
.
由拉格朗日中值定理知,存在,使得.证明：.
证

17. 设.证明存在,使得.
证 设,则在上满足: (1) 连续; (2) 可导.(3) 对任意的，，（4）对任意的，.由柯西中值定理得，,使
。
思考与练习 5-2
1. 不定式有哪几种形式?
答：不定式存在的形式有：，，。
2. 若存在,求证:.证 由洛比达法则可得

.
上述证明正确吗?如果不正确,请说明理由,并给出正确的证明方法.
答：不正确。因为题目条件只是存在，即题目没有条件“在点的某个邻域内二阶可导”，因而，对极限就不能使用洛比达法则；而且，题目也没有“在点连续”的条件，所以，极限和不一定存在，当然，也就没有

这样的运算结论。
正确的证明方法是：

3. 用洛比达法则求极限

对吗?为什么?怎样的计算方法才是正确的?
解：不对，这个极限不是型，即不满足洛比达法则的第一个条件。应直接用“商的极限等于极限的商”求极限，即。
4. 能否用洛比达法则求极限?为什么?
答：不能，因为不存在，故不满足洛比达法则的第二个条件。
5. 用洛比达法则求极限(正确答案是)错在哪里?为什么?
解：。错误出在第二次使用洛比达法则时，没有检验极限不满足洛比达法则的条件。
6. 能否借用洛比达法则求数列极限?以数列极限说明具体求法.
答：可以。
先求函数极限，，所以。
7. 应用洛比达法则求下面两个极限
与
能否得到正确结果?能否用初等方法求出?这些都说明了什么?
答：不能，因为极限虽然是“”型，但使用一次洛比达法则之后得到的极限不存在，故不满足洛比达法则的第三个条件；极限也是“”型，但无论用多少次洛比达法则，所得到的极限仍是“”型，因而永远也不可能达到洛比达法则的第三个条件的要求。可以用第二章的方法求出极限，即
；。
8. 求下列不定式极限
①; ②; ③;
④; ⑤; ⑥;
⑦; ⑧; ⑨.
解：①；
②；
③；
④；
⑤令，则，又,所以;
⑥;
⑦;
⑧令，则,而
,所以;
⑨.
9. 设函数在点处二阶可导.证明:
.
证 设,因为函数在点处二阶可导,所以在的某空心邻域内有一阶导数,故在连续，，且。

10. ① 由拉格朗日中值定理知, ,存在,使,求极限.
② 由柯西中值定理知,存在,使,求极限.
解 ① 解法1 因为,
,又

所以
解法2（要用本章第3节的结论）

② 解法1，由（1）得，，所以

解法2 对使用泰勒公式。
11 设是以为周期的连续、可导函数,则对任意的有理数,至少存在一点,使.
证明：令，则
，其中
又是以为周期的函数，所以有，
所以，故。
思考与练习 5-3
1. 求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式:
①; ②到含的项.
解 ①

所以,从而有
。
②
则
所以。
2. 按例9的方法求下列极限:
①; ②;
③.
解：①因为,
所以, 原式；
②因为

所以；
③因为 ,由泰勒公式得到,

所以

因此
.
3. 求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式:
① 在处;
② ,在处.
解 ① ,所以
,从而有
.
②

,.
从而有

另解

其中.
4. 用间接法，按指定的次数写出函数在的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式:
①,5次; ②,6次;
③,6次; ④,4次.
解：①解法1 因为,所以
,
所以

解法2

而

② 因为,所以

③

④因为,所以

5. 证明：若在开区间内满足,则是次多项式.
证明：因为,所以,取定,由泰勒公式得

其中，所以是次多项式。
6. 利用泰勒公式证明:对任意的,有.
证明：因为
,所以
,
当时,而，,所以。
思考与练习 5-4

1. 怎样从几何上解释单调函数的判别法则(定理5.10与定理5.11)?
答：表示的导数，当时，表明函数图像的切线斜率非负（正），则函数的图形是沿轴正向上升（下降）的曲线，所以函数是单调函数。
2. 怎样用函数的单调性证明某些不等式?
答：证明函数不等式的方法,要证,就是要证不等式,如果差函数在区间满足(1)单调递增,也就是要证:对任意的,有;(2)在区间的左端点的值,则要证的函数不等式当然成立.
3. 判别函数在点取极值有哪些判别法?
答：判别方法有：①
设函数定义在区间上,为的连续点.
(i) 如果存在,使得

则函数在点处取得极大值;
(ii) 如果存在,使得

则函数在点处取得极小值;
(ⅲ)当时,恒正或恒负,则函数在处没有极值.
②设函数在点处具有二阶导数且,则
(i) 当时,函数在点处取得极大值;
(ii) 当时,函数在点处取得极小值.
③设在点的某邻域内存在直到阶导数,在处阶可导,且,则
(ⅰ) 当为偶数时,在点处取得极值,且当时取极大值,时取极小值.
(ⅱ) 当为奇数时,在点处不取极值.
4. 极值第一判别法的几何意义如何?能否说,判断不可导点是否为极值点只能用第一判别法?
答: 极值第一判别法是利用函数的导数的符号来讨论函数的单调性,因而,几何意义与函数的单调性相同.
不能.因为除了第一判别法之外,极值的定义也是判别法之一.
5. 函数在稳定点是否一定取极值?
答：不一定.
6. 函数,且在闭区间中只有一个极值,那么为什么极大值就是最大值?极小值就是最小值?
证 若是在上的唯一极大值点,则存在某,使对,有.
若在上另外存在一个最大值点,使.不失一般性设.由条件可得在闭区间上连续,所以在上可取得最小值,因为且是的极大值点,故存在,使对任意的,有,因而是在区间上的一个极小值点,此与条件矛盾.
同理,若是上函数的唯一极小值点,则必是最小值点.
7. 面积一定的矩形中,哪个矩形周长最小?周长一定的矩形中,哪个矩形面积最大?你能否再提出类似的问题?
答：面积一定时，当一边长为面积的平方根时，矩形的周长最小。周长一定时，当一边长为周长的四分之一时，矩形的面积最大。如圆柱体的体积与表面积的关系等.
8. 确定下列函数的单调区间和极值:
①; ②; ③;
④; ⑤; ⑥.
解：①在区间上严格递减; 在上严格递增.
所以极小值为.
②在区间和内均为严格递增。无极值
③因为,又令,则
.当时,,故严格单调减,且,
所以,当时,,所以在内严格单调增.无极值.
④，所以在上单调递增，在上单调递减。所以极大值为，极小值为。
⑤，在内，所以在上为严格递增，无极值。
⑥，所以在内单调递增，在内单调递减，所以极大值为。
9. 应用函数的单调性证明下列不等式:
①; ②, ;
③ , ; ④, .
解：①设,则
.
所以,当时,有所以。
②设,有.又
,.
所以在区间上严格递增,故得,有,即
。
③设则
,.(注:由教材78页的不等式(2)知,当时,.由于,而在上严格递增,在上严格递减,所以,对任意的,有,所以。
的另一证法：设，则
，所以是凹函数，又，因此（该证法要用到函数的凹凸性结论）。
④设,则.
,则.
.
.
所以,当时,有,
,
所以。
10. 求下列函数在指定区间上的最大值和最小值:
①; ②;
③; ④.
解：①由，得驻点，
，所以最大值为，最小值为.
②由，得驻点，而，，所以最大值为，最小值为。
③由得驻点，
而，，
所以最大值为，最小值为.
④，
所以
，所以在处不可导,，所以在处不可导,
而
所以最大值为，最小值为.
11. 中哪项最大?
解 令,则

又,所以.
12. 从半径为的圆纸片上剪去一个扇形,做成一个圆锥形的漏斗:如何选取扇形的顶角,可使漏斗的容积最大?
解：设漏斗的底面半径是，则漏斗的容积为。
令，最大时容积就最大
由，得
所以， 而，所以时，漏斗的容积最大。
13. 有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为时,要使容器的表面积为最小,问底的半径与容器高的比例为多大?
解 设容器的底半径为,高为,侧面积与底面积之和为,由题设
及 ,
令,得稳定点,,所以是在内唯一的极小值点,由本节6题的结论知,它是在内的最小值点,此时,即当时,容器的表面积最小
14. 重量为的物体放在一粗糙的平面上,施加一力克服摩擦,使之在平面上滑动,其摩擦系数为,问该力应与水平成何角度,方可使用力最小?
解：设作用力对水平面的倾角为，则，即
。
令，为使最小，只要使最大。由，得
，此时，，即当时，为最大，从而为最小值，也即此时用力最省。
15. 设在处都取得极值,试求与;并问此时在与是取得极大值还是极小值?
解: ,因为,解此方程组得:
;又.所以为极小值, 为极大值.
16. 设,则当时,有(提示:求出函数在区间上的最大值).
解：设,则,
令，得,
又当时,,故单调增,当时, ,故单调减,
所以为在区间上的最大值，所以当时,有.
思考与练习 5-5
1. 在不同条件下函数在区间上是凸(凹)函数的定义是什么?
解：①设函数在区间上可导
如果对任意给定的,都有
(ⅰ) ,则称函数在区间上是凹函数, 对应的曲线称为凹的;
(ⅱ) ,则称函数在区间上是凸函数,对应的曲线称为凸的.
②设为区间上的连续函数,若对任意的和任意的,总有
, (1)
则称为上的凸函数,对应的曲线称为凸的.反之,如果对任意的和任意的,总有
, (2)
则称为上的凹函数,对应的曲线称为凹的.
2. 通过判别函数的单调性、凸凹性、和极值等,你看到拉格朗日中值定理(包括泰勒定理)起到了什么作用?
答：拉格朗日中值定理是连结函数与导数的桥梁:事实上,对于,我们在区间上考虑拉格朗日中值定理得
,
也就是
.
函数用在一点处的导数值表示出来了,所以我们说拉格朗日中值定理是利用导数的局部性态研究函数在闭区间上的整体性态的重要工具.
3. 导函数有稳定点时,是否一定是拐点?为什么?
答：不一定，还要通过判断在左右两边的符号相反，则才是拐点。
4. 函数的凸性与函数的可导性有什么关系?
答：①设为区间上的可导函数,则为上的凸函数的充要条件是为上的增函数；
②设为区间上的二阶可导函数,则在上为凸函数的充要条件是.
5. 判别下列函数的凸性:
①,其中; ② ,其中;
③; ④ .
解：①
因为，所以，所以为凸函数。
②所以为凸函数。
③，所以为凸函数
④，所以是凸函数。
6. 确定下列函数的凸性区间与拐点:
①; ②;
③; ④.
解：①,
当时,是凹区间;
当时,是凸区间;
,故点是曲线的拐点.
②,当时,是凸区间; 当时,是凹区间;曲线的两个拐点.
③曲线无拐点;
当时,是凹区间;
当时,是凸区间;
④,
当时,是凸区间;
当时,是凹区间;
当时,是凸区间;
是曲线的两个拐点.
7. 问和为何值时，点为曲线的拐点？
解 ,.易验证当时,点为曲线的拐点.
8. 证明:
(1)若为凸函数,为非负实数,则为凸函数;
(2)若f均为凸函数,则为凸函数;
(3)若为区间上凸函数,为上凸增函数,则为上凸函数.
证 (1) 因为为凸函数,所以对和,有
,
又,所以
.
所以为凸函数.
(2) 对和,有

所以为凸函数;
(3) 因为为上的凸函数,所以对和,有
.
若
,
若

综上可得
.
由于为上凸增函数,所以

,
所以为上凸函数.
注: 若为上的凸函数, 只是上凸函数,则得不到为上凸函数,例如,易证,都是上的凸函数,且,但是上的凹函数.
9. 设在区间上为凸函数,如果存在使得.求证:在区间上是常值函数.
证 反证法 若在区间上不是常值函数,则存在,使得.不失一般性,设.由定理5.19,可得
;
又因为
,即一个负数大于一个正数,此为矛盾.
10. 应用凸函数概念证明如下不等式:
①对任何非负实数,,有;
②对任意的实数,有.
证：①若,则等号成立;
若,不妨设,取函数,显然是上的严格凹函数.令,则,故有

②若,则等号成立;
若,不妨设,取函数,显然是上的严格凸函数.令,则,故有
11* 设为区间上的凸函数,,则在上满足李普希兹条件,即存在常数,使得
.
由此可知在内连续.(注意:在中未必连续)
证 任取,使得,对任意的,不妨设.因为为凸函数,所以有
,
所以
,
即
.
由于在上满足李普希兹条件,故在上连续(而且是一致连续),由的任意性可得在内连续.
但是在上未必连续.事实上,设

在上是凸函数,当在端点处不连续.
12* 设在区间上为凸函数.证明:
① 在内有单调增的左右导函数,并且;
② 设,如果在左连续(或在右连续),则在可导.
证 ① 对任意的,由的凸性条件,可得
,
由此可知函数当时单调增,且有上界,从而当时,存在有限极限,且
.
同理可证函数当时单调减,且有下界,从而当时,存在有限极限,且
.
对任意的,取,使得,因在上为凸函数,故
,
令,得到,所以在内单调增.
同理可证,所以在内单调增.
任取,再取,则有
,
.
② 对任意的,同上证法有
,
(注:上述第二个不等式由①的结论得到,第一个不等式可在和之间任取,由函数的凸性可得,由和即得)
于是,由左连续得到
,
所以
,
即在点可导.由的任意性知,结论成立.
思考与练习 5-6
1. 求下列曲线的渐近线:
①; ②; ③.
解 ①答案 有水平渐近线和垂直渐近线.
②
，，所以是垂直渐近线.又，所以,，所以的斜渐近线为.
③ 因为,
,
因此,该曲线有水平渐近线,垂直渐近线和斜渐近线.
2. 画出下列函数曲线的图形:
①; ②; ③;
④; ⑤; ⑥;
⑦; ⑧.
解①定义域为;函数无奇偶性和周期性;无铅直渐近线也无水平渐近线和斜渐近线;,列表得

-2

-1

1

—
0
+
+
+
0
+

+
+
+
0
—
0
+
图形
↘凸弧
极小
↗凸弧
拐点
↗凹弧
拐点
↗凸弧
②因为关于直线对称,故只给出邻域的情况.

1

1
—
—
—

—
—

图形
极大值1
↘凹弧
拐点
↘凸弧
③

—

—
—
—

—

图形
↗凹弧
极大值
-27/8
↘凹弧
函数无定义
↗凸弧
拐点
（0，0）
↗凸弧
④，令，得；

—
0

图形
↗凸弧

↗凸弧
⑤，令，得；

—
—
—

—
—
—

图形
↗凹弧
极大值

↘凹弧
拐点

↘凸弧
极小值

↗凸弧
⑥，列表如下

—
—
—

0
—
图形
↘凹弧
拐点
↘凸弧
⑦图形关于轴对称。函数的周期，在一个周期内讨论函数的图形。函数的零点为，渐近线为及。，令，得或；，令得。经判别可知，当时函数有极小值；当时有极大值；点均为拐点，此时，当时，。函数单调增；当时，。函数单调减。（图见像片）
⑧稳定点为,在点
.

2

—
—
—
不存在

—
—
—
0

0
—
不存在
—
—
—
0

图形
↘凸弧
拐点

↘凹弧
极小值
0
↗凹弧
极小值
↘凹弧
拐点
↘凸弧
极小值0
↗凸弧

4.求下列函数所表示曲线的渐近线:
(1); (2); (3).
解：(1)因为，所以直线为垂直渐近线因为，所以直线为水平渐近线.
(2) ，,
所以直线与直线为水平渐近线,无垂直渐近线