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1、 思考与练习 5-1 1. 函数在点取得极大(小)值的定义是什么?函数在区间上的最大(小)值的定义是什么? 答：设函数在区间内有定义,,若存在,对任意的有, 则称函数在点取得极小(大)值,称点是函数的极小(大)值点,而函数值就称为函数的极小(大)值。 设函数在区间内有定义,，若对任意，有，则函数值就称为函数的最小(大)值。 2. 最大(小)值是否一定是极大(小)值?反之如何? 答：最大(小)值不一定是极大(小)值，极大(小)值不一定是最大(小)值。 例如在闭区间上能取到最大值，但不是函数在区间中的极大值，也不是函数的极大值点。 3. 若函数在闭区间的端点取得最大值,且存在,则是
2、否有,为什么? 答：若函数在闭区间的端点取得最大值,且存在,但不一定有。例如，在闭区间上能取到最大值，但 。 4. 稳定点一定是极值点吗?稳定点的几何意义是什么?极值点一定是稳定点吗? 答：稳定点不一定是极值点。函数在稳定点处对应的曲线上的点的切线平行于轴。极值点不一定是稳定点。 5. 费马定理说明了稳定点和极值点的什么关系? 答：费马定理说明了若点是函数可导的极值点，则点一定是函数的稳定点。 6. 洛尔中值定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理之间有什么关系? 答：拉格朗日中值定理是洛尔中值定理的推广，如果函数在闭区间上满足,由拉格朗日中值定理立即可得洛尔中值定理。柯西中值定理
3、是拉格朗日中值定理的推广，取,由柯西中值定理就可得到拉格朗日中值定理。 7. 证明拉格朗日中值定理所用的辅助函数是怎样构造的?还有其它的构造方法吗? 答：教材中的辅助函数，即为函数与过原点的直线函数的差。还可令，即为函数与过点的直线函数的差。 8. 设,则柯西中值定理对于函数和在区间上是否成立.为什么? 答: 不能.,对任意的,所以对任意的,都没有.这是因为不满足柯西中值定理的条件(ⅲ). 9. 给定函数,是否一定存在函数使得? 答：不一定。例如，不存在函数满足（其中是Dirichlet函数）。当在给定区间上连续时，才一定存在函数使得。 10. 求下列函数的稳定点: ①；
4、 ②. 解：①由，得稳定点为 ②由，得稳定点为：。 11. 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点,使。 ①; ②,. 解 ①在闭区间,在闭区间上连续,且在两端点处,.在内,，即在内可导，根据罗尔定理:,使. ② 所以，当时，，当时，，在点不可导，故在内不存在，使的点. 12. 证明: ①方程(这里为常数)在区间内无相异的实根; ②方程(为正整数这里为实数)当为偶数时至多有两个实根;当为奇数时至多有三个实根; 证 ①用反证法: 设.若存在,使得 . 因为在上连续,在内可导,由罗尔中值定理,应,使得,而这两点均不可能在区间内,此为矛盾. ②(ⅰ
5、) 当为偶数时,用反证法:若存在为方程的三个根,令 . 因为在和上连续,在上可导,由罗尔中值定理可得: ,使,所以得 ,因为是奇数,所以,此为矛盾.所以方程当为偶数时至多有两个实根. (ⅱ) 当为奇数时,用反证法:若存在为方程的四个根,令 . 依(ⅰ)相同的理由,.使, 即 , 有三个实根.由于是偶数,这与(ⅰ)矛盾.所以方程当为奇数时至多有三个实根. 13. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式: ①,其中; ②,其中; ③对任意实数,,都有; ④. 证： ① 设,函数满足拉格朗日中值定理的条件,所以存在,使. ② 设,则对任意的,在区间上连续且可导,函数满
6、足拉格朗日中值定理的条件,所以,使 . ③令,则对任意的实数在(或上可导,且.所以。 ④令,则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件,故,使得, 又 , 故 14. 若在区间上存在有界导数,试证:在上满足Lipschitz条件.(参看第三章第2节20题). 证明：由于在区间上有界，所以存在常数，对任意的，有。利用拉格朗日中值定理，对任意，有 ，其中。 15. 设函数在上可导,证明:存在,使得 =. 证 (ⅰ) 若,则取,结论成立. (ⅱ) 若且,则同样取,结论成立.
7、ⅲ) 若,但. （ⅳ）若,且.则取,在区间上满足柯西中值定理的条件,所以,使 。 16. 设函数在点处具有二阶导数,证明: . 证 设,因为函数在点处具有连续的二阶导数,所以在的某空心邻域内具有二阶连续导数,且 ,根据定理5.6得 16*. 设函数在点处具有二阶导数,且， . 由拉格朗日中值定理知,存在,使得.证明：. 证 17. 设.证明存在,使得. 证 设,则在上满足: (1) 连续; (2) 可导.(3) 对任意的，，（4）对任意的，.由柯西中值定理得，,使 。 思考与练习 5-2 1. 不定式有哪几种形式? 答：不定式存在的形式有：，，。
8、2. 若存在,求证:.证 由洛比达法则可得 . 上述证明正确吗?如果不正确,请说明理由,并给出正确的证明方法. 答：不正确。因为题目条件只是存在，即题目没有条件“在点的某个邻域内二阶可导”，因而，对极限就不能使用洛比达法则；而且，题目也没有“在点连续”的条件，所以，极限和不一定存在，当然，也就没有 这样的运算结论。 正确的证明方法是： 3. 用洛比达法则求极限 对吗?为什么?怎样的计算方法才是正确的? 解：不对，这个极限不是型，即不满足洛比达法则的第一个条件。应直接用“商的极限等于极限的商”求极限，即。 4. 能否用洛比达法则求极限?为什么? 答：不能，
9、因为不存在，故不满足洛比达法则的第二个条件。 5. 用洛比达法则求极限(正确答案是)错在哪里?为什么? 解：。错误出在第二次使用洛比达法则时，没有检验极限不满足洛比达法则的条件。 6. 能否借用洛比达法则求数列极限?以数列极限说明具体求法. 答：可以。 先求函数极限，，所以。 7. 应用洛比达法则求下面两个极限 与 能否得到正确结果?能否用初等方法求出?这些都说明了什么? 答：不能，因为极限虽然是“”型，但使用一次洛比达法则之后得到的极限不存在，故不满足洛比达法则的第三个条件；极限也是“”型，但无论用多少次洛比达法则，所得到的极限仍是“”型，因而永远也不可能达到洛比达
10、法则的第三个条件的要求。可以用第二章的方法求出极限，即 ；。 8. 求下列不定式极限 ①; ②; ③; ④; ⑤; ⑥; ⑦; ⑧; ⑨. 解：①； ②； ③； ④； ⑤令，则，又,所以; ⑥; ⑦; ⑧令，则,而 ,所以; ⑨. 9. 设函数在点处二阶可导.证明: . 证 设,因为函数在点处二阶可导,所以在的某空心邻域内有一阶导数,故在连续，，且。 10. ① 由拉格朗日中值定理知, ,存在,使,求极限. ② 由柯西中值定理知,存在,使,求极限. 解 ① 解法1 因为, ,
11、又 所以 解法2（要用本章第3节的结论） ② 解法1，由（1）得，，所以 解法2 对使用泰勒公式。 11 设是以为周期的连续、可导函数,则对任意的有理数,至少存在一点,使. 证明：令，则 ，其中 又是以为周期的函数，所以有， 所以，故。 思考与练习 5-3 1. 求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式: ①; ②到含的项. 解 ① 所以,从而有 。 ② 则 所以。 2. 按例9的方法求下列极限: ①; ②; ③. 解：①因为, 所以, 原式； ②因为 所以； ③因为 ,由泰勒公式得到
12、 所以 因此 . 3. 求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式: ① 在处; ② ,在处. 解 ① ,所以 ,从而有 . ② ,. 从而有 另解 其中. 4. 用间接法，按指定的次数写出函数在的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式: ①,5次; ②,6次; ③,6次; ④,4次. 解：①解法1 因为,所以 , 所以 解法2 而 ② 因为,所以 ③ ④因为,所以 5. 证明：若在开区间内满足,则是次多项式. 证明：因为,所以,取定,由泰勒公式得
13、 其中，所以是次多项式。 6. 利用泰勒公式证明:对任意的,有. 证明：因为 ,所以 , 当时,而，,所以。 思考与练习 5-4 1. 怎样从几何上解释单调函数的判别法则(定理5.10与定理5.11)? 答：表示的导数，当时，表明函数图像的切线斜率非负（正），则函数的图形是沿轴正向上升（下降）的曲线，所以函数是单调函数。 2. 怎样用函数的单调性证明某些不等式? 答：证明函数不等式的方法,要证,就是要证不等式,如果差函数在区间满足(1)单调递增,也就是要证:对任意的,有;(2)在区间的左端点的值,则要证的函数不等式当然成立. 3. 判别函数在点取极值有哪些判别
14、法? 答：判别方法有：① 设函数定义在区间上,为的连续点. (i) 如果存在,使得 则函数在点处取得极大值; (ii) 如果存在,使得 则函数在点处取得极小值; (ⅲ)当时,恒正或恒负,则函数在处没有极值. ②设函数在点处具有二阶导数且,则 (i) 当时,函数在点处取得极大值; (ii) 当时,函数在点处取得极小值. ③设在点的某邻域内存在直到阶导数,在处阶可导,且,则 (ⅰ) 当为偶数时,在点处取得极值,且当时取极大值,时取极小值. (ⅱ) 当为奇数时,在点处不取极值. 4. 极值第一判别法的几何意义如何?能否说,判断不可导点是否为极值点只能用第一判别法?
15、 答: 极值第一判别法是利用函数的导数的符号来讨论函数的单调性,因而,几何意义与函数的单调性相同. 不能.因为除了第一判别法之外,极值的定义也是判别法之一. 5. 函数在稳定点是否一定取极值? 答：不一定. 6. 函数,且在闭区间中只有一个极值,那么为什么极大值就是最大值?极小值就是最小值? 证 若是在上的唯一极大值点,则存在某,使对,有. 若在上另外存在一个最大值点,使.不失一般性设.由条件可得在闭区间上连续,所以在上可取得最小值,因为且是的极大值点,故存在,使对任意的,有,因而是在区间上的一个极小值点,此与条件矛盾. 同理,若是上函数的唯一极小值点,则必是最小值点. 7.
16、 面积一定的矩形中,哪个矩形周长最小?周长一定的矩形中,哪个矩形面积最大?你能否再提出类似的问题? 答：面积一定时，当一边长为面积的平方根时，矩形的周长最小。周长一定时，当一边长为周长的四分之一时，矩形的面积最大。如圆柱体的体积与表面积的关系等. 8. 确定下列函数的单调区间和极值: ①; ②; ③; ④; ⑤; ⑥. 解：①在区间上严格递减; 在上严格递增. 所以极小值为. ②在区间和内均为严格递增。无极值 ③因为,又令,则 .当时,,故严格单调减,且, 所以,当时,,所以在内严格单调增.无极值. ④，所以在上单调递增，在上单调递减。所以极大值为，
17、极小值为。 ⑤，在内，所以在上为严格递增，无极值。 ⑥，所以在内单调递增，在内单调递减，所以极大值为。 9. 应用函数的单调性证明下列不等式: ①; ②, ; ③ , ; ④, . 解：①设,则 . 所以,当时,有所以。 ②设,有.又 ,. 所以在区间上严格递增,故得,有,即 。 ③设则 ,.(注:由教材78页的不等式(2)知,当时,.由于,而在上严格递增,在上严格递减,所以,对任意的,有,所以。 的另一证法：设，则 ，所以是凹函数，又，因此（该证法要用到函数的凹凸性结论）。 ④设,则. ,则. . . 所以,当时,有,
18、 , 所以。 10. 求下列函数在指定区间上的最大值和最小值: ①; ②; ③; ④. 解：①由，得驻点， ，所以最大值为，最小值为. ②由，得驻点，而，，所以最大值为，最小值为。 ③由得驻点， 而，， 所以最大值为，最小值为. ④， 所以 ，所以在处不可导,，所以在处不可导, 而 所以最大值为，最小值为. 11. 中哪项最大? 解 令,则 又,所以. 12. 从半径为的圆纸片上剪去一个扇形,做成一个圆锥形的漏斗:如何选取扇形的顶角,可使漏斗的容积最大? 解：设漏斗的底面半径是，则漏斗的容积为。
19、 令，最大时容积就最大 由，得 所以， 而，所以时，漏斗的容积最大。 13. 有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为时,要使容器的表面积为最小,问底的半径与容器高的比例为多大? 解 设容器的底半径为,高为,侧面积与底面积之和为,由题设 及 , 令,得稳定点,,所以是在内唯一的极小值点,由本节6题的结论知,它是在内的最小值点,此时,即当时,容器的表面积最小 14. 重量为的物体放在一粗糙的平面上,施加一力克服摩擦,使之在平面上滑动,其摩擦系数为,问该力应与水平成何角度,方可使用力最小? 解：设作用力对水平面的倾角为，则，即 。 令，为使最小，只要使最大。由，得 ，此时，，
20、即当时，为最大，从而为最小值，也即此时用力最省。 15. 设在处都取得极值,试求与;并问此时在与是取得极大值还是极小值? 解: ,因为,解此方程组得: ;又.所以为极小值, 为极大值. 16. 设,则当时,有(提示:求出函数在区间上的最大值). 解：设,则, 令，得, 又当时,,故单调增,当时, ,故单调减, 所以为在区间上的最大值，所以当时,有. 思考与练习 5-5 1. 在不同条件下函数在区间上是凸(凹)函数的定义是什么? 解：①设函数在区间上可导 如果对任意给定的,都有 (ⅰ) ,则称函数在区间上是凹函数, 对应的曲线称为凹的; (ⅱ) ,则称函数
21、在区间上是凸函数,对应的曲线称为凸的. ②设为区间上的连续函数,若对任意的和任意的,总有 , (1) 则称为上的凸函数,对应的曲线称为凸的.反之,如果对任意的和任意的,总有 , (2) 则称为上的凹函数,对应的曲线称为凹的. 2. 通过判别函数的单调性、凸凹性、和极值等,你看到拉格朗日中值定理(包括泰勒定理)起到了什么作用? 答：拉格朗日中值定理是连结函数与导数的桥梁:事实上,对于,我们在区间上考虑拉格朗日中值定理得 , 也就是 . 函数用在一点处的导数值表示出来了,所以我们说拉格朗日中值定理是利用导数的
22、局部性态研究函数在闭区间上的整体性态的重要工具. 3. 导函数有稳定点时,是否一定是拐点?为什么? 答：不一定，还要通过判断在左右两边的符号相反，则才是拐点。 4. 函数的凸性与函数的可导性有什么关系? 答：①设为区间上的可导函数,则为上的凸函数的充要条件是为上的增函数； ②设为区间上的二阶可导函数,则在上为凸函数的充要条件是. 5. 判别下列函数的凸性: ①,其中; ② ,其中; ③; ④ . 解：① 因为，所以，所以为凸函数。 ②所以为凸函数。 ③，所以为凸函数 ④，所以是凸函数。 6. 确定下列函数的凸性区间与拐点: ①; ②
23、 ③; ④. 解：①, 当时,是凹区间; 当时,是凸区间; ,故点是曲线的拐点. ②,当时,是凸区间; 当时,是凹区间;曲线的两个拐点. ③曲线无拐点; 当时,是凹区间; 当时,是凸区间; ④, 当时,是凸区间; 当时,是凹区间; 当时,是凸区间; 是曲线的两个拐点. 7. 问和为何值时，点为曲线的拐点？ 解 ,.易验证当时,点为曲线的拐点. 8. 证明: (1)若为凸函数,为非负实数,则为凸函数; (2)若f均为凸函数,则为凸函数; (3)若为区间上凸函数,为上凸增函数,则为上凸函数. 证 (1) 因为为凸函数,所
24、以对和,有 , 又,所以 . 所以为凸函数. (2) 对和,有 所以为凸函数; (3) 因为为上的凸函数,所以对和,有 . 若 , 若 综上可得 . 由于为上凸增函数,所以 , 所以为上凸函数. 注: 若为上的凸函数, 只是上凸函数,则得不到为上凸函数,例如,易证,都是上的凸函数,且,但是上的凹函数. 9. 设在区间上为凸函数,如果存在使得.求证:在区间上是常值函数. 证 反证法 若在区间上不是常值函数,则存在,使得.不失一般性,设.由定理5.19,可得 ; 又因为 ,即一个负数大于一个正数,此为矛盾. 10. 应用凸函数概念证
25、明如下不等式: ①对任何非负实数,,有; ②对任意的实数,有. 证：①若,则等号成立; 若,不妨设,取函数,显然是上的严格凹函数.令,则,故有 ②若,则等号成立; 若,不妨设,取函数,显然是上的严格凸函数.令,则,故有 11* 设为区间上的凸函数,,则在上满足李普希兹条件,即存在常数,使得 . 由此可知在内连续.(注意:在中未必连续) 证 任取,使得,对任意的,不妨设.因为为凸函数,所以有 , 所以 , 即 . 由于在上满足李普希兹条件,故在上连续(而且是一致连续),由的任意性可得在内连续. 但是在上未必连续.事实上,设 在上是凸函数,当在端点处不连
26、续. 12* 设在区间上为凸函数.证明: ① 在内有单调增的左右导函数,并且; ② 设,如果在左连续(或在右连续),则在可导. 证 ① 对任意的,由的凸性条件,可得 , 由此可知函数当时单调增,且有上界,从而当时,存在有限极限,且 . 同理可证函数当时单调减,且有下界,从而当时,存在有限极限,且 . 对任意的,取,使得,因在上为凸函数,故 , 令,得到,所以在内单调增. 同理可证,所以在内单调增. 任取,再取,则有 , . ② 对任意的,同上证法有 , (注:上述第二个不等式由①的结论得到,第一个不等式可在和之间任取,由函数的凸性可得,由和即得) 于是,
27、由左连续得到 , 所以 , 即在点可导.由的任意性知,结论成立. 思考与练习 5-6 1. 求下列曲线的渐近线: ①; ②; ③. 解 ①答案 有水平渐近线和垂直渐近线. ② ，，所以是垂直渐近线.又，所以,，所以的斜渐近线为. ③ 因为, , 因此,该曲线有水平渐近线,垂直渐近线和斜渐近线. 2. 画出下列函数曲线的图形: ①; ②; ③; ④; ⑤; ⑥; ⑦; ⑧. 解①定义域为;函数无奇偶性和周期性;无铅直渐近线也无水平渐近线和斜渐近线;,列表得 -2 -1
28、 1 — 0 + + + 0 + + + + 0 — 0 + 图形 ↘凸弧 极小 ↗凸弧 拐点 ↗凹弧 拐点 ↗凸弧 ②因为关于直线对称,故只给出邻域的情况. 1 1 — — — — — 图形 极大值1 ↘凹弧 拐点 ↘凸弧 ③ — — — — — 图形 ↗凹弧 极大值 -27/8 ↘凹弧 函数无定义 ↗凸弧 拐点 （0，0） ↗凸弧 ④，令，得；
29、 — 0 图形 ↗凸弧 ↗凸弧 ⑤，令，得； — — — — — — 图形 ↗凹弧 极大值 ↘凹弧 拐点 ↘凸弧 极小值 ↗凸弧 ⑥，列表如下 — — — 0 — 图形 ↘凹弧 拐点 ↘凸弧 ⑦图形关于轴对称。函数的周期，在一个周期内讨论函数的图形。函数的零点为，渐近线为及。，令，得或；，令得。经判别可知，当时函数有极小值；当时有极大值；点均为拐点，此时，当时，。函数单调增；当时，。函数单调减。（图见像片） ⑧稳定点为,在点 . 2 — — — 不存在 — — — 0 0 — 不存在 — — — 0 图形 ↘凸弧 拐点 ↘凹弧 极小值 0 ↗凹弧 极小值 ↘凹弧 拐点 ↘凸弧 极小值0 ↗凸弧 4.求下列函数所表示曲线的渐近线: (1); (2); (3). 解：(1)因为，所以直线为垂直渐近线因为，所以直线为水平渐近线. (2) ，, 所以直线与直线为水平渐近线,无垂直渐近线
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