求曲线、曲面积分的方法与技巧.doc

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求曲线、曲面积分的方法与技巧
一.曲线积分的计算方法与技巧
计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。
例一．计算曲线积分其中是圆上从原点到的一段弧。
本题以下采用多种方法进行计算。
解1：的方程为由由

分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。
解2：在弧上取点，
的方程为由由
的方程为由由

分析：解2是选用参变量为利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。不同的是以为参数时，路径不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。
解3：的参数方程为由由

解4：的极坐标方程为因此参数方程为
由由

分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。
解5：添加辅助线段，利用格林公式求解。因于是

而
故得
分析：在利用格林公式将所求曲线积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线,采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。是的正向边界曲线。解5中添加了辅助线段使曲线为正向封闭曲线。
解6：由于于是此积分与路径无关，故

分析：由于在闭区域上应具有一阶连续偏导数，且在内因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在上的积分为在上积分，注意点对应的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。
解7：由全微分公式

分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。
例二．计算曲线积分其中是曲线从轴正向往轴负向看的方向是顺时针的。
解1：设表示平面上以曲线为边界的曲面，其中的正侧与的正向一致，即是下侧曲面，在面上的投影区域：由斯托克斯公式

解2：利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另一形式求得出

而平面：的法向量向下，故取于是上式
分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分计算的。在利用斯托克斯公式计算时首先应验证函数在曲面连同边界上具有一阶连续的偏导数，且的正向与的侧符合右手规则。在计算空间曲线积分时，此法也是常用的。
解3：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。设则从

例三．计算其中为曲线
解1：由于当积分变量轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线积分与弧的方向无关，故有

由曲线是球面上的大圆周曲线，其长为故

由于关于原点对称，由被积函数为奇函数，得 于是

解2：利用在上，，
原式
再由对称性可得（同解1），于是
上式
分析：以上解1解2利用对称性，简化了计算。在第一类曲线积分的计算中，当积分变量在曲线方程中具有轮换对称性（即变量轮换位置，曲线方程不变）时，采用此法进行计算常常是有效的。
例四．求其中为椭圆曲线上在上半平面内从的弧。
解：添加辅助线 为的顺时针方向的上半圆周以及有向线段，其中是足够小的正数，使曲线包含在椭圆曲线内。由于
，
由格林公式，有
设有

再由 于是

分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积函数和所考虑的区域是不是满足格林公式的条件。由于本题中在点附近 无定义，于是采用在椭圆内部附近挖去一个小圆，使被积函数在相应的区域上满足格林公式条件。这种采用挖去一个小圆的方法是常用的，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行的。同时在用格林公式时，也必须注意边界曲线取正向。
例五．求八分之一的球面的边界曲线的重心，设曲线的密度
解：设边界曲线在三个坐标面内的弧段分别为则的质量为

设边界曲线的重心为，则

由对称性可知
分析：这是一个第一类曲线积分的应用题。在计算上要注意将曲线分成三个部分： 另一方面由曲线关于坐标系的对称性，利用可简化计算。
二.曲面积分的计算方法与技巧
计算曲面积分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三换”的法则，将第一类曲面积分转化为求二重积分、利用“一投，二代，三定号”的法则将第二类曲面积分转化为求二重积分，利用高斯公式将闭曲面上的积分转化为该曲面所围区域上的三重积分等。
例六．计算曲面积分其中为锥面在柱体内的部分。
解：在平面上的投影区域为，曲面的方程为

因此
对区域作极坐标变换则该变换将区域变成坐标系中的区域因此

分析：以上解是按“一投，二代，三换”的法则，将所给的第一类曲面积分化为二重积分计算的。“一投”是指将积分曲面投向使投影面积不为零的坐标面。“二代”是指将的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三换”是指将换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素，即或或上解中的投影区域在平面上，因此用代换由于投影区域是圆域，故变换成极坐标计算。
例七．设半径为的球面的球心在定球面上，问为何值时，球面在定球面内部的那部分的面积最大？
解：不妨设的球心为，那么的方程为它 与定球面的交线为即

设含在定球面内部的上那部分球面在面上的投影区域为，那么且这部分球面的方程为

则的面积为

以下只需求函数在上的最大值。
由令得唯一驻点且由问题的实际意义知在处取得最大值。即时，的面积最大，为
分析：本题是第一类曲面积分的应用题，在计算中关键是利用了球面的对称性，和确定了含在定球面内部的上那部分球面在面上的投影区域。在此基础上，按上题分析中的“一投，二代，三换”的法则即可解得结果。
例八．计算曲面积分其中为有向曲面 其法向量与轴正向的夹角为锐角。
解1：设分别表示在平面，平面上的投影区域，则，

其中
令，
又
所以
分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，常按“一投，二代，三定号”法则将各单一型化为二重积分这里的“一投”是指将积分曲面投向单一型中已指定的坐标面。“二代”是指将的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三定号”是指依曲面的定侧向量，决定二重积分前的“+”，“-”符号，当的定侧向量指向坐标面的上（右，前）方时，二重积分前面取“+”，反之取“-”。
解2:利用化组合型为单一型.
因的法向量与轴正向的夹角为锐角,取故有
于是
原式

因为所以
上式

分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，也可利用公式，先化组合型为统一的单一型，再按“一投，二代，三定号”法则将单一型化为为二重积分求得。
解3：以表示法向量指向轴负向的有向平面，为在平面上的投影区域，则

设表示由和所围成的空间区域，则由高斯公式得

因此
分析：利用高斯公式，可将曲面积分化为三重积分求得。但必需满足在闭区域上有一阶连续的偏导数，是边界曲面的外侧。本题中的曲面不是封闭曲面，故添加了，使为封闭曲面，并使的侧符合高斯公式对边界曲面的要求。
例九：计算曲面积分其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面，其法向量与轴正向的夹角恒大于
解：设表示上与轴正向同侧的曲面，由和所围立体记为由高斯公式得

因此
由于在面上的投影区域为注意到在面，面上的投影不构成区域，且在上从而

分析：是旋转曲面且指向外侧，在上补上曲面指向与轴正向相同，那么由高斯公式就可将原式化成三重积分和上的曲面积分进行计算。
例十．设空间区域由曲面与平面围成，其中为正常数。记表面的外侧为的体积为证明

证明：设 则

由高斯公式知

由于则因此

分析：由于求证的是给定的曲面积分等于某个区域的体积值，而高斯公式给出了曲面积分与该曲面包含的区域上的某个三重积分间的关系，考虑到体积值可用相应的三重积分表示，故选用高斯公式进行证明。
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