湖水的污染.doc

创建时间：04-8-21 9时32分
湖水污染问题数学建模
摘要
随着市场经济和现在工业的飞速发展，人类面临了直接危害人类生存的新的问题——环境污染，为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理的数学模型来解决现实问题。湖水不仅为人类的生存提供了大量的水资源和生物资源，还提供了丰富的旅游，度假和休闲的精神资源，但湖泊也承受着人们倾倒垃圾，废水等污染物的破坏，由于人们缺乏保护生态环境的意识，它们越来越受到工业和生物废水的污染，从而导致生物资源的灭绝，水质变坏，给人类带来了灾难。所以保护生态环境成为了人们越来越关心的问题。湖水治理的工作是困难的，因为一般湖水覆盖的面积比较大，周围污染源比较复杂，很难指明所有污染的原因。通常治理水体污染的办法是靠水体本身的自净能力来缓解污染，这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说事行不通的。
通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染的结果。
下降到原来的5%所需时间，在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。
一、问题重述
设一容积为V（m3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀地分布在湖中，没湖水更新的速率为r(m3/天)，并假设湖水的体积没有变化，试建立湖水污染浓度的数学模型，某时刻起污染源被切断，求污染被中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需时间。

二、模型假设
1． 湖中的污染状况与任何局部水体的湖中的位置无关。
2． 由于水体的自净能力很弱，忽略生物学因素在水体自净过程中的作用，污染物流出不因腐烂、沉积或其他任何手段从湖中消失。
3． 不考虑湖水在季节上的差异，湖水的体积保持不变，也就是说，假设由降水等原因所引起的流入增量与被蒸发、渗漏所造成的损失量相互抵消。
三、符号说明；
P(t)：t时刻湖水中的污染物含量；
K :一个大于0的常数；
S ：起始时候湖水中污染物的总量；
t ：时间，以天来进行计算；
J(t)：流入的污染物浓度；
C(t)：流出的污染物浓度；
V(t)：流入污染物的速度；
W(t)：流出污染物的速度。
四、问题分析
在问题中，要估计湖水污染程度随时间的变化，我们用t时刻湖水的污染浓度P(t)来衡量湖水的污染程度。考虑到⊿t时间内湖水中污染物的改变量，在（t+⊿）时刻，湖水污染物浓度为P(t+⊿)，故该时刻内污染物的增加量为V*[P(t+⊿)-P(t)],而湖水中污染物的增量=污染物的流进量-污染物的流出量，即V*[P(t+⊿)-P(t)]=J(t)*V(t)*⊿-C(t)*W(t)*⊿,再进行微分方程求解便可得出污染物浓度与时间的关系，也即污染程度随时间的关系。且又知道从某时刻起污染源被切断，所以就不在需要考虑流入污染物的问题，湖水中的污染物不断减少，即其浓度不断降低。
五、 建立模型与求解
根据问题的分析，污染物的增量=污染物的流入量-污染物的流出量，建立下面的等式关系：
V*[P(t+⊿)-P(t)]=J(t)*V(t)*⊿-C(t)*W(t)*⊿,对其进行变换得：
V*[P(t+⊿)-P(t)]/⊿= J(t)*V(t)-C(t)*W(t)；
令⊿t 趋近0，取极限，得：
V*dp/dt= J(t)*V(t)-C(t)*W(t)；
由题意和假设可知V(t)= W(t)=r；且污染物的流出浓度与时间成反比，假设其关系为：C(t)=k/t^2

又由于J(t)=0，所以等式进一步化为V*dp/dt=C(t)*r；
变换公式得：dp=(k*r*/t^2)*v*dt;
两边同时积分得：P=s/v-k*r/v*t
代入得：t=[k*r/(s/v-p)]/v;
由题意得P=5%s/v；
得：t=[95%（s/v）*k*r]/v.
六、 模型的应用
面对越来越紧张的环境污染形势，我们必须将环境问题作为今后发展的前提，努力做到可持续发展。这个模型具有一定的应用价值，可以在环境保护方面，特别是在湖水污染物的治理上，能够起到一定的参考价值，即在处理污染物时，或者在处理一般的溶解问题以及稀释问题上，可以得到很好的应用。

东华理工大学
2010级数学建模作业
课题：湖水污染
学院：机械与电子工程学院
姓名：仇文亮 学号：1020640216
姓名：胡劲 学号：1020640118
姓名：吴家磊 学号：1020640110