《2.2.3向量的数乘(二)》同步练习.doc

一、填空题
1．已知λ∈R，则下列说法错误的是________．
①|λa|＝λ|a|；②|λa|＝|λ|a；③|λa|＝|λ||a|；
④|λa|>0.
【解析】　当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a＝0时，④式不成立；又|λa|∈R，而λ|a|是数乘向量，故②必不成立．
【答案】　①②④
2．(2013·滨海高一检测)将[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简式为________．
【解析】　原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b＝2b－a.
【答案】　2b－a
3．若＝，则＝________.
【解析】　∵＝，∴点A，B，C三点共线且与同向，||＝(如图)，

∴||＝，又与反向，
∴＝－.
【答案】　－
4．(2013·南昌高一检测)已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线的交点为O，则用a，b表示为________．
【解析】　∵＋＝＋＝＝2，
∴＝(a＋b)．
【答案】　(a＋b)
5．点G是△ABC的重心，D是AB的中点，且＋－＝λ，则λ＝________.
【解析】　∵＋－＝＋＋＝2＝4，
∴λ＝4.
【答案】　4

图2－2－23
6．如图2－2－23所示，与分别在由点O出发的两条射线上，则下列各项中向量的终点落在阴影区域的是________．
①＋2；②＋；③－；④－.
【解析】　作出四个向量可知，只有①②满足条件．
【答案】　①②
7．已知向量a，b，若＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是________．
【解析】　通过观察，＝＋＝2a＋4b，与a＋2b有2倍关系，即2＝.符合向量共线定理，∴A，B，D三点共线．故填A，B，D.
【答案】　A，B，D
8．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．

【解析】　法一　如图，
＝＋＋
＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)
＝(b－a)．
法二　设AC交BD于O，由于N为AC的分点，则有N为OC的中点，＝＝＝(b－a)．
【答案】　b－a
二、解答题
9．已知向量a，b是两个不共线的向量，且ma－3b与向量a＋(2－m)b共线，求实数m的值．
【解】　由ma－3b与向量a＋(2－m)b共线可知，
存在实数λ满足ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，
即(m－λ)a－[3＋λ(2－m)]b＝0，
又a与b不共线，
∴
解得m＝3或m＝－1.
10．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.

【解】　如图，设＝a，＝b.
∵M，N分别是DC，BC的中点，∴＝b，＝a.
∵在△ADM和△ABN中，
即
①×2－②，得b＝(2c－d)．
②×2－①，得a＝(2d－c)．
∴＝d－c，＝c－d.
11．设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．
【解】　b与a＋c共线．证明如下：
∵a＋b与c共线，
∴存在惟一实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，
∴存在惟一实数μ，使得b＋c＝μa.②
由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.
又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0，1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，
即a＋b＋c＝0.
∴a＋c＝－b.
故a＋c与b共线.